第2课时 共线向量与共面向量 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.
3.会证明空间三点共线、四点共面.
1.空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .
2.直线的方向向量
如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .直线可以由其上一点和它的方向向量确定,即= .
|微|点|助|解|
(1)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性.
3.共面向量
(1)向量与直线平行:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l 或 ,那么称向量a 直线l.
(2)向量与平面平行:如果直线OA平行于平面α或 ,那么称向量a平行于平面α.
(3)共面向量:平行于 的向量,叫做共面向量.
4.空间向量共面的充要条件
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 .
|微|点|助|解|
共面向量的推论
(1)向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才能成立,若a,b共线,则不成立.
(2)空间一点P位于平面ABC内 存在有序实数对(x,y),使=x+y或对空间任意一点O,有=+x+y.
(3)四点P,A,B,C共面 对空间任意一点O,都有=x+y+z,且x+y+z=1.
基础落实训练
1.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行
B.=的充要条件是A与C重合,B与D重合
C.若两个非零向量与满足+=0,则与共线
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是 ( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.不共线向量
题型(一) 向量共线的判定及应用
题点1 三点共线的判定
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
听课记录:
题点2 向量共线的应用
[例2] 已知A,B,C三点共线,O为空间不同于A,B,C三点的任一点,则①=2+μ;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为 ( )
A.1,-1 B.-1,0
C.0,1 D.0,0
听课记录:
|思|维|建|模|
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:
①是否存在实数λ,使=λ;
②对空间任意一点O,若=x+y,且x+y=1,则P,A,B三点共线.
[针对训练]
1.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.
求证:四边形EFGH是梯形.
题型(二) 向量共面的判定及应用
题点1 证明共面问题
[例3] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,
求证:A1,B,N,M四点共面.
听课记录:
题点2 向量共面定理的应用
[例4] 如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
听课记录:
|思|维|建|模|
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y;②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[针对训练]
3.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,但任意三点不共线.如果=m++,则m的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).
(1)向量是否与向量,共面
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行
第2课时 共线向量与共面向量
课前预知教材
1.a=λb 2.方向向量 λa 3.(1)平行 重合 平行于 (2)在平面α内 (3)同一个平面 4.p=xa+yb
[基础落实训练]
1.AC 2.A
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 证明:如图,连接EF,FB,∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,
∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线.
[例2] 选B ∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.又由λ+m+n=0,得=--,由A,B,C三点共线知,--=1,则λ+m+n=0.故选B.
[针对训练]
1.选C 由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,
则解得
2.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴=,=.
∵=-=-=
=(-)=
=(-)=,
∴∥,且||=||≠||.
又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
[题型(二)]
[例3] 证明:如图,连接A1M,A1N,A1B,设=a,=b,=c,则=b-a,∵M为DD1的中点,
∴=c-a,又AN∶NC=2∶1,∴==(b+c),∴=-=(b+c)-a=(b-a)+
=+,∴,,为共面向量,又三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.
[例4] 证明:∵M在BD上,且BM=BD,
∴==+.
同理得=+.
∴=++=++++=+=+.又与不共线,∴根据向量共面的充要条件可知,,共面.
∵MN不在平面CDE内,∴MN∥平面CDE.
[针对训练]
3.选A 因为=-,所以由=m++得-=m++,即=m+2+,因为O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,且四点共面,所以m+2+1=1,故m=-2.
4.解:(1)∵=k,=k,
∴=++=k++k=k(+)+=k(+)+=k+=-k
=-k(+)=(1-k)-k,∴由向量共面定理知向量与向量,共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内;当0综上,当0共线向量与共面向量
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.
3.会证明空间三点共线、四点共面.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使_______.
2.直线的方向向量
如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的___________.直线可以由其上一点和它的方向向量确定,即=_____.
a=λb
方向向量
λa
|微|点|助|解|
(1)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性.
3.共面向量
(1)向量与直线平行:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l_____或_____,那么称向量a _______直线l.
(2)向量与平面平行:如果直线OA平行于平面α或__________,那么称向量a平行于平面α.
(3)共面向量:平行于____________的向量,叫做共面向量.
平行
重合
平行于
在平面α内
同一个平面
4.空间向量共面的充要条件
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使_____________.
p=xa+yb
|微|点|助|解|
共面向量的推论
(1)向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才能成立,若a,b共线,则不成立.
(2)空间一点P位于平面ABC内 存在有序实数对(x,y),使=x+y或对空间任意一点O,有=+x+y.
(3)四点P,A,B,C共面 对空间任意一点O,都有=x+y+z,
且x+y+z=1.
基础落实训练
1.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行
B.=的充要条件是A与C重合,B与D重合
C.若两个非零向量与满足+=0,则与共线
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
√
√
解析:当b=0时,若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行,故A正确;
由=知,||=||,且与同向,但A与C,B与D不一定重合,故B不正确;因为+=0,所以=-,故与共线,故C正确;
当b=0时,若a∥b,则不存在实数λ,使a=λb或b=λa,故D不正确.故选AC.
2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是 ( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.不共线向量
解析:由向量共面的充要条件可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题点1 三点共线的判定
[例1] 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:
E,F,B三点共线.
题型(一) 向量共线的判定及应用
证明:如图,连接EF,FB,∵=-=-
=(++)-=(++)-
=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,
∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线.
题点2 向量共线的应用
[例2] 已知A,B,C三点共线,O为空间不同于A,B,C三点的任一点,则①=2+μ;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+
n=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为( )
A.1,-1 B.-1,0 C.0,1 D.0,0
解析:∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.
又由λ+m+n=0,得=--,由A,B,C三点共线知,
--=1,则λ+m+n=0.故选B.
√
|思|维|建|模|
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:
①是否存在实数λ,使=λ;
②对空间任意一点O,若=x+y,且x+y=1,则P,A,B三点共线.
针对训练
1.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,
若A,C,D三点共线,则λ=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析:由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,
因为A,C,D三点共线,所以∥,
则存在唯一实数μ,使得=μ,
则解得
2.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.
求证:四边形EFGH是梯形.
证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴=,=.
∵=-=-=
=(-)==(-)=,∴∥,且||=||≠||.又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.
题点1 证明共面问题
[例3] 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,M为DD1的中点,
N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面.
题型(二) 向量共面的判定及应用
证明:如图,连接A1M,A1N,A1B,设=a,=b,=c,
则=b-a,∵M为DD1的中点,∴=c-a,又AN∶NC
=2∶1,∴==(b+c),∴=-=(b+c)-a
=(b-a)+=+,
∴,,为共面向量,又三向量有相同的起点A1,
∴A1,B,N,M四点共面.
题点2 向量共面定理的应用
[例4] 如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
证明:∵M在BD上,且BM=BD,∴==+.同理得=+.
∴=++=++++=+=+.
又与不共线,∴根据向量共面的充要条件可知,,共面.
∵MN不在平面CDE内,∴MN∥平面CDE.
|思|维|建|模|
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y;②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,
用待定系数法求出参数.
针对训练
3.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,但任意三点不共线.如果=m++,则m的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
√
解析:因为=-,所以由=m++得-
=m++,即=m+2+,因为O为空间任意一点,
A,B,C,P满足任意三点不共线,且四点共面,所以m+2+1=1,
故m=-2.
4.如图,已知斜三棱柱ABC A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).
(1)向量是否与向量,共面
解:∵=k,=k,
∴=++=k++k
=k(+)+=k(+)+
=k+=-k=-k(+)
=(1-k)-k,∴由向量共面定理知向量与向量,共面.
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行
解:当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内;当0综上,当0课时跟踪检测
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1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,下列各组向量共面的是 ( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
解析:由正方体的性质可得,=,由图形(图略)易知,,共面.
√
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2.(多选)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 ( )
A.=3-- B.=++
C.++=0 D.+++=0
解析:A选项,3-1-1=1,∴点M,A,B,C共面,A正确;
B选项,++=≠1,B错误;
C选项,原式可整理为=--,∴点M,A,B,C共面,C正确;
D选项,原式可整理为=---,-1-1-1=-3≠1,D错误.
√
√
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3.已知e1,e2,e3为空间三个不共面的向量,向量a=e1+μe2+4e3,
b=3e1+9e2+λe3,若a与b共线,则λ+μ= ( )
A.-3 B.3 C.-15 D.15
√
解析:因为a与b共线,设a=kb(k∈R),即e1+μe2+4e3=k(3e1+9e2+λe3),
所以解得
故λ+μ=15.
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4.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为( )
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
√
解析:由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共线,同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共线,所以,共线,即∥.
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5.(多选)下列命题为真命题的有 ( )
A.若d1,d2都是直线l的方向向量,则必有d1=d2
B.若∥,则A,B,C三点共线
C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b
D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0
√
√
√
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解析:向量d1,d2都是直线l的方向向量,可得向量d1,d2是共线向量,即d1∥d2,不一定有d1=d2,故A错误;因为∥,且,有公共点A,所以A,B,C三点共线,故B正确;由于a=4e1-e2=-4=-4b,所以a∥b,故C正确;易知D正确.
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6.如图,已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,=,=,
=2,AC1与平面EFG交于点M,则=( )
A. B. C. D.
解析:由题设=λ(0<λ<1),因为=++=3+3+,所以=3λ+3λ+λ,又因为M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=,即=.
√
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2
7.已知正方体ABCD A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有=+
7+6-4,那么点M必在( )
A.平面BAD1内 B.平面BA1D内
C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内
√
解析:=+7+6-4=++6-4=++
6-4=+6(-)-4(-)=11-6-4,又11-6-4=1,于是M,B,A1,D1四点共面,所以点M必在平面BA1D1内.
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8.(5分)已知a=3m-2n-4p≠0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,则x= ,y= .
解析:因为a∥b且a≠0,所以存在实数t,使得b=ta,即(x+1)m+8n+2yp=
t(3m-2n-4p),又因为m,n,p不共面,所以解得
-13
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2
9.(5分)设e1,e2是空间不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,
=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k= .
-8
解析:由已知得=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,∵A,B,D三点共线,
∴与共线,即存在λ∈R,使得=λ,∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.∵e1,e2不共线,
∴∴k=-8.
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10.(5分)如图,在四棱锥P ABCD中,BC∥AD,AD=2BC,
点E是棱PD的中点,PC与平面ABE交于点F,
设=x+y+z,则= ;y+z-2x= .
解析:=+=+=+(-)
=-++,设=λ=-+λ+λ,
由A,B,E,F四点共面,有-+λ+λ=1,解得λ=,故=.
又=x+y+z,
所以x=-,y=,z=,则y+z-2x=++=2.
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11.(10分)已知a,b,c是空间中不共面的向量,若=2a-b+c,=a+2b-c,
=-a+m b+n c.
(1)若B,C,D三点共线,求m,n的值;(4分)
解:因为B,C,D三点共线,设=λ,
又=-=-a+3b-2c,=-=-3a+(m+1)b+(n-1)c,
所以解得
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(2)若A,B,C,D四点共面,求mn的最大值.(6分)
解:因为A,B,C,D四点共面,设=x+y,则-a+m b+n c=x(2a-b+c)+
y(a+2b-c)=(2x+y)a+(-x+2y)b+(x-y)c,
所以 解得3m+5n=-1.
所以mn=m·=-=-+,当m=-时,mn取到最大值.故mn的最大值为.
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12.(10分)在正四面体P ABC中,点P在平面ABC内的投影为O,点M是线段PO的中点,过M的平面分别与PA,PB,PC交于E,F,G三点.
(1)若=α+β+γ,求α+β+γ的值;(4分)
解:在正四面体P ABC中,P在底面ABC内的投影O为正△ABC的重心,
∴=(+)=(-+-)=-++,∴α=-,β=,
γ=,∴α+β+γ=0.
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(2)设=x,=y,=z,求++的值.(6分)
解:∵=2=+=++,且=x,=y,=z,
∴2=++,即=++,∵M,E,F,G共面,
∴++=1,即++=6.
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13.(15分)如图,从 ABCD所在平面外一点O作向量=k,=k,=k,=k.求证:
(1)A',B',C',D'四点共面;(7分)
证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以=+,
因为=k,=k,=k,=k,
所以=-=k(-)=k=k(+)=k(-+-)=k-k+k-k=-+-=+,所以,,共面.
因为,,有公共端点A',所以A',B',C',D'四点共面.
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(2)平面A'B'C'D'∥平面ABCD.(8分)
证明:因为=-=k-k=k,
所以∥,所以A'B'∥AB.
因为A'B' 平面A'B'C'D',AB 平面A'B'C'D',
所以AB∥平面A'B'C'D'.
由(1)知=k,所以∥,所以A'C'∥AC.
因为A'C' 平面A'B'C'D',AC 平面A'B'C'D',
所以AC∥平面A'B'C'D'.
因为AB∩AC=A,AB,AC 平面ABCD,
所以平面A'B'C'D'∥平面ABCD.课时检测（二） 共线向量与共面向量
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,下列各组向量共面的是 ( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2.(多选)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 ( )
A.=3--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
3.已知e1,e2,e3为空间三个不共面的向量,向量a=e1+μe2+4e3,b=3e1+9e2+λe3,若a与b共线,则λ+μ= ( )
A.-3 B.3
C.-15 D.15
4.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,
若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为 ( )
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
5.(多选)下列命题为真命题的有 ( )
A.若d1,d2都是直线l的方向向量,则必有d1=d2
B.若∥,则A,B,C三点共线
C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b
D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0
6.如图,已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,=,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则= ( )
A. B. C. D.
7.已知正方体ABCD A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有=+7+6-4,那么点M必在 ( )
A.平面BAD1内 B.平面BA1D内
C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内
8.(5分)已知a=3m-2n-4p≠0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,则x= ,y= .
9.(5分)设e1,e2是空间不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k= .
10.(5分)如图,在四棱锥P ABCD中,BC∥AD,AD=2BC,点E是棱PD的中点,PC与平面ABE交于点F,设=x+y+z,则= ;y+z-2x= .
11.(10分)已知a,b,c是空间中不共面的向量,若=2a-b+c,=a+2b-c,=-a+m b+n c.
(1)若B,C,D三点共线,求m,n的值;(4分)
(2)若A,B,C,D四点共面,求mn的最大值.(6分)
12.(10分)在正四面体P ABC中,点P在平面ABC内的投影为O,点M是线段PO的中点,过M的平面分别与PA,PB,PC交于E,F,G三点.
(1)若=α+β+γ,求α+β+γ的值;(4分)
(2)设=x,=y,=z,求++的值.(6分)
13.(15分)如图,从 ABCD所在平面外一点O作向量=k,=k,=k,=k.求证:
(1)A',B',C',D'四点共面;(7分)
(2)平面A'B'C'D'∥平面ABCD.(8分)
课时检测(二)
1．选C 由正方体的性质可得，＝，由图形(图略)易知，，共面．
2．选AC A选项，3－1－1＝1，∴点M，A，B，C共面，A正确；B选项，＋＋＝≠1，B错误；C选项，原式可整理为＝－－，∴点M，A，B，C共面，C正确；D选项，原式可整理为＝－－－，－1－1－1＝－3≠1，D错误．
3．选D 因为a与b共线，设a＝kb(k∈R)，即e1＋μe2＋4e3＝k(3e1＋9e2＋λe3)，所以解得故λ＋μ＝15.
4．选B 由＝λ，＝λ，得＝－＝λ(－)＝λ，所以，共线，同理，由＝μ，＝μ，得＝μ，所以，共线，所以，共线，即∥.
5．选BCD 向量d1，d2都是直线l的方向向量，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2，不一定有d1＝d2，故A错误；因为∥，且，有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D正确．
6．选A 由题设＝λ(0<λ<1)，因为＝＋＋＝3＋3＋，所以＝3λ＋3λ＋λ，又因为M，E，F，G四点共面，所以3λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝，即＝.
7．选C ＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，又11－6－4＝1，于是M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内．
8．解析：因为a∥b且a≠0，所以存在实数t，使得b＝ta，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝t(3m－2n－4p)，又因为m，n，p不共面，所以解得
答案：－13 8
9．解析：由已知得＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴∴k＝－8.
答案：－8
10．解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＋，设＝λ＝－＋λ＋λ，由A，B，E，F四点共面，有－＋λ＋λ＝1，解得λ＝，故＝.又＝x＋y＋z，所以x＝－，y＝，z＝，则y＋z－2x＝＋＋＝2.
答案： 2
11．解：(1)因为B，C，D三点共线，设＝λ，
又＝－＝－a＋3b－2c，＝－＝－3a＋(m＋1)b＋(n－1)c,
所以解得
(2)因为A，B，C，D四点共面，设＝x＋y，则－a＋m b＋n c＝x(2a－b＋c)＋y(a＋2b－c)＝(2x＋y)a＋(－x＋2y)b＋(x－y)c，
所以 解得3m＋5n＝－1.
所以mn＝m·＝－＝－2＋，当m＝－时，mn取到最大值.故mn的最大值为.
12．解：(1)在正四面体P ABC中，P在底面ABC内的投影O为正△ABC的重心，∴＝(＋)＝(－＋－)＝－＋＋，∴α＝－，β＝，γ＝，∴α＋β＋γ＝0.
(2)∵＝2＝＋＝＋＋，且＝x，＝y，＝z，∴2＝＋＋，即＝＋＋，∵M，E，F，G共面，∴＋＋＝1，即＋＋＝6.
13．证明：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋，因为＝k，＝k，＝k，＝k，
所以＝－＝k(－)＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝k－k＋k－k＝－＋－＝＋，所以，，共面．因为，，有公共端点A′，所以A′，B′，C′，D′四点共面．
(2)因为＝－＝k－k＝k，所以∥，所以A′B′∥AB.
因为A′B′ 平面A′B′C′D′，AB 平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′.
由(1)知＝k，所以∥，所以A′C′∥AC.因为A′C′ 平面A′B′C′D′，AC 平面A′B′C′D′，所以AC∥平面A′B′C′D′.
因为AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABCD，
所以平面A′B′C′D′∥平面ABCD.
