1.1.2 空间向量的数量积运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量.
3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b, 则 叫做向量a,b的夹角,记作
范围 ,a,b同向时,夹角为 ,反向时,夹角为
向量垂直 如果
= ,那么向量a,b互相垂直,记作a b
|微|点|助|解|
设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为,
(1)区别:范围不同,0≤α≤,0≤≤π.
(2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α==;当两向量的夹角为钝角时,α=π-.
2.空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0,即0·a= .
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ,λ∈R
交换律 a·b=
分配律 (a+b)·c=
3.空间向量的投影
(1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2).
(2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的 .这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
4.空间向量的数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1) a·e=e·a=
(2) a⊥b
(3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时, a·b=
(4) 求模公式:a·a=|a|2或|a|=
(5) |a·b|≤ (当且仅当a,b共线时, 等号成立)
(6) 夹角公式:cos=
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量与的夹角不等于向量与的夹角. ( )
(2)对空间任意两个非零向量a,b,都有<-a,b>==π-. ( )
(3)若a·b=-|a||b|,则a∥b. ( )
(4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b. ( )
(5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为-e2. ( )
2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|a-b|= ( )
A.1 B. C. D.0
3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则与的夹角为 ,·= .
题型(一) 空间向量的数量积
[例1] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为B1C1,AB的中点,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量;
(2)若||=||=||=1,∠A1AB=∠BAC=60°,∠A1AC=90°,求·.
听课记录:
|思|维|建|模|
在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
[针对训练]
1.如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则·的值为 ( )
A.1 B. C. D.
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)= ,a·(a+b+c)= ,(a+b)·(b+c)= .
题型(二) 利用数量积证明垂直问题
[例2] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD';
(2)AC'⊥平面B'CD'.
听课记录:
|思|维|建|模|
用向量法证明垂直问题的方法
(1)由数量积性质a⊥b a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明.
[针对训练]
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
题型(三) 利用数量积求模与夹角
[例3] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求||;
(2)求<,>的值.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值.
|思|维|建|模|
1.求异面直线所成角的大小的一般步骤
取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量
转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值
定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值
2.求线段长度的步骤
(1)将线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|= 得所求长度.
[针对训练]
4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=,
BB1=AD=2AB=2BC=2,E是线段B1D上的点,且=2.
(1)求||的长;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
1.1.2 空间向量的数量积运算
课前预知教材
1.∠AOB 0≤≤π 0 π ⊥
2.(1)|a||b|cos |a||b|cos 0 (2)λ(a·b) b·a a·c+b·c
3.(1)|a|cos (2)投影向量
4.|a|cos θ a·b=0 -|a||b|
|a||b|
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.A 3.120°
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:(1)根据题意可得=++=-(+)-+
=--=-b-c.
(2)易知=-=b-a,且|a|=|b|=|c|=1,显然=∠A1AB==∠BAC=60°,=∠A1AC=90°,
所以·=·=-b2+a·b-b·c+a·c=-+×1×1×-0+=.
[针对训练]
1.选D 由题意,得=+=+(+)=++.故·=·=·+·+·==.
2.解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.
答案:0 1 1
[题型(二)]
[例2] 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,
所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)
=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'.
(2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0,所以⊥,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'.又B'C,B'D' 平面B'CD',B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'.
[针对训练]
3.证明:设AD=a,则AB=2a.
因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB,
所以·=·=0,
所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+·=-a2+||||·cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,所以⊥,故PA⊥BD.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)||=||=||=6,·=·=·=6×6×cos 60°=18,
∵=++=++,
则=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+3×2×18=216.
∴||=6.
(2)∵=+=-,=-,则=(-)2=-2·+=36,即||=6,
||=6,·=(-)·(-)=-·=18,
∴cos<,>===,
则<,>=60°.
[变式拓展]
解:∵=++=-++,=+,则=(-++)2=++-2·-2·+2·=72,=+2·+=108,即||=6,||=6.·=(-++)·
(+)=-++·+·=36.∴cos<,>===,即直线BD1与AC所成角的余弦值为.
[针对训练]
4.解:(1)因为=2,所以=+=++,
||2=
=+++·+·+·=+×4+×4+×1×2×+×0+×2×2×=,故||=.
(2)因为=++=-,
||=
==,
所以·=·=·+·+--·-·=0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1,
所以cos<,>===.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.(共47张PPT)
1.1.2
空间向量的数量积运算
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量.
3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a,b的夹角,记作________
范围 _____________,a,b同向时,夹角为___,反向时,夹角为____
向量垂直 如果=____,那么向量a,b互相垂直,记作________
∠AOB
0≤≤π
0
π
a⊥b
|微|点|助|解|
设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为,
(1)区别:范围不同,0≤α≤,0≤≤π.
(2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α==;当两向量的夹角为钝角时,α=π-.
2.空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a,b,则________________叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=__________________.零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=_____.
(2)运算律
|a||b|cos
|a||b|cos
0
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=_________,λ∈R
交换律 a·b=_______
分配律 (a+b)·c=_____________
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
3.空间向量的投影
(1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=________________,
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2).
(2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的__________.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
|a|cos
投影向量
4.空间向量的数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1) a·e=e·a=___________
(2) a⊥b _________
(3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=_________
(4) 求模公式:a·a=|a|2或|a|=_________
(5) |a·b|≤_________ (当且仅当a,b共线时,等号成立)
(6)
夹角公式:cos=________
|a|cos θ
a·b=0
-|a||b|
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量与的夹角不等于向量与的夹角. ( )
(2)对空间任意两个非零向量a,b,都有<-a,b>==π-. ( )
(3)若a·b=-|a||b|,则a∥b. ( )
(4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b. ( )
(5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为-e2.
( )
√
√
√
×
√
2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|a-b|= ( )
A.1 B. C. D.0
√
解析:∵|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1,∴|a-b|=1.
3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则与的夹角为 ,
·= .
解析:因为在正四面体OABC中,||=||=||=||=1,
<,>=<,>=60°,所以与的夹角为120°,
·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=.
120°
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 空间向量的数量积
[例1] 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,D,E分别为B1C1,
AB的中点,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量;
解:根据题意可得=++=
-(+)-+=--=-b-c.
(2)若||=||=||=1,∠A1AB=∠BAC=60°,
∠A1AC=90°,求·.
解:易知=-=b-a,且|a|=|b|=|c|=1,
显然=∠A1AB==∠BAC=60°,
=∠A1AC=90°,
所以·=·=-b2+a·b-b·c+a·c
=-+×1×1×-0+=.
|思|维|建|模|
在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
针对训练
1.如图,在三棱锥P ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,
AB=AC=1,M为PC的中点,则·的值为( )
A.1 B. C. D.
解析:由题意,得=+=+(+)=++.故·=·=·+·+
·==.
√
2.如图,正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,
设=a,=b,=c,则a·(b+c)= ,
a·(a+b+c)= ,(a+b)·(b+c)= .
0
1
1
解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,
所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)
=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c
=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1.
题型(二) 利用数量积证明垂直问题
[例2] 如图,已知正方体ABCD A'B'C'D',
CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD';
证明:因为=+=+(+)
=(++2),=-,所以·
=(++2)·(-)=(·-·+
·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,
所以⊥,故AO⊥CD'.
(2)AC'⊥平面B'CD'.
证明:设正方体的棱长为a,则·
=(++)·(+)
=·+·+·+·
+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0,
所以⊥,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'.
又B'C,B'D' 平面B'CD',B'C∩B'D'=B',
所以AC'⊥平面B'CD'.
|思|维|建|模|
用向量法证明垂直问题的方法
(1)由数量积性质a⊥b a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明.
针对训练
3.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
求证:PA⊥BD.
证明:设AD=a,则AB=2a.
因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB,
所以·=·=0,
所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+
·=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,所以⊥,
故PA⊥BD.
[例3] 如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求||;
题型(三) 利用数量积求模与夹角
解:||=||=||=6,·=·=·=6×6×cos 60°=18,
∵=++=++,
则=(++)2=+++2·+2·+
2·=3×62+3×2×18=216.∴||=6.
(2)求<,>的值.
解:∵=+=-,=-,
则=(-)2=-2·+
=36,即||=6,||=6,·
=(-)·(-)=-·=18,
∴cos<,>===,
则<,>=60°.
本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值.
变式拓展
解:∵=++=-++,=+,则=(-++)2
=++-2·-2·+2·=72,=+2·+
=108,即||=6,||=6.
·=(-++)·(+)=-++·+·=36.
∴cos<,>===,即直线BD1与AC所成角的余弦值为.
|思|维|建|模|
1.求异面直线所成角的大小的一般步骤
取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量
转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值
定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值
2.求线段长度的步骤
(1)将线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|= 得所求长度.
4.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AD∥BC,
AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=,BB1=AD=2AB
=2BC=2,E是线段B1D上的点,且=2.
(1)求||的长;
针对训练
解:因为=2,所以=+=++,
||2==+++·+·+·=+×4+×4+×1×2×+×0+×2×2×=,故||=.
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
解:因为=++=-,||=
==,
所以·=·
=·+·+--·-·
=0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1,
所以cos<,>===.
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
课时跟踪检测
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1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
解析:由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>
=180°-60°=120°.
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2.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= ( )
A. B. C.- D.
解析:因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,
所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos+|b|2,
所以16=4+12cos+9,所以cos=.
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3.如图,已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,则·=( )
A.1 B. C. D.-1
解析:因为=+=-+
=-+,且·=0,·=0,
所以·=·(-+)
=·-·+=1.故选A.
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4.在三棱锥S ABC中,(++2)·(-)=0,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
解析:∵++2=+-2=(-)+(-)=+,-
==-,∴(++2)·(-)=(+)·(-)=-
=0,∴||=||,即BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.
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5.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
√
解析:设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·
=(++)·=||2,所以在上的投影向量为·
=·=.
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6.(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 ( )
A.(++)2=3 B.·(-)=0
C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·)
解析:如图所示,(++)2=(++)2=
=3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,
故D为假命题.
√
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7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,
AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1.
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8.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥
平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
解析:设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2
=(++)2=(++)=,·=(++)·==.
设异面直线BM与CD所成的角为θ,则cos θ===.
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9.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于 .
解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2
=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ
=6+4λ=0,∴λ=-.
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10.(5分)如图,两条异面直线a,b所成的角为30°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.已知A'E=2,AF=,EF=5,则线段AA'的长为______________.
解析:因为=++,
所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·,由于AA'⊥a,AA'⊥b,则2·=0,2·=0.又因为两条异面直线a,b所成的角为30°,所以<,>=30°或<,>=150°,故52=22+||2+3+2×2×
×cos<,>,可得||=2或||=2.
2或2
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11.(5分)在正三棱柱ABC A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为b,若B1C⊥A1B,则= .
解析:如图,由题意||=||=a,||=b,且<,>=60°,
⊥,⊥,则=+=+,
=-,又B1C⊥A1B,即⊥,所以·=0,
所以(-)·(+)=·+·--·
=0+a·a·-b2-0=0,解得a=b,即=.
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12.(10分)如图,在长方体ABCD A'B'C'D'中,
E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求:
(1)·;(5分)
解:∵是长方体,而且AA'=AD=2,∴<,>=∠B'BC'=45°,
||=AA'=1,||=BC'==2,因此,·
=||||cos<,>=2×1×=2.
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(2)·.(5分)
解:∵=++,==,∴·=(++)·
=-+·+·.
∵⊥,⊥,
∴·=-=-2.
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13.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=.
(1)求线段PC的长度;(3分)
解:∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,
∴||=,∴线段PC的长度为.
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(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(4分)
解:∵·=(++)·(-)=·-·
+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1
×1+2×2×+0-0=-2,||=,
∴cos<,>===-,
故异面直线PC与BD所成角的余弦值为.
(3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(3分)
解:证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE,
∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0,
∴⊥,即PA⊥ED.
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14.(15分)如图,在六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c分别表示,.(5分)
解:如图,连接AD,因为六边形ABCDEF为正六边形,
所以+=,则=2a+2b,
所以=-=2a+2b-c,=+=-
=2a+b-c.
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(2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求:
①·;(5分)
解:因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF=.
又cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,
所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|cos=-2,a·c=b·c=|a||c|×=2.
①·=(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c
=16+8+16-12-6-8=14.
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②||.(5分)
解:因为=++=-+
=2a+2b-a+c=a+2b+c,
所以||2=(a+2b+c)2
=a2+4b2+c2+4a·b+4b·c+2a·c
=4+16+16-8+8+4=40,故||=2.课时检测（三） 空间向量的数量积运算
1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= ( )
A. B.
C.- D.
3.如图,已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,则·= ( )
A.1 B.
C. D.-1
4.在三棱锥S ABC中,(++2)·(-)=0,则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 ( )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为||·(·)
7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
8.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
9.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于 .
10.(5分)如图,两条异面直线a,b所成的角为30°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.
已知A'E=2,AF=,EF=5,则线段AA'的长为 .
11.(5分)在正三棱柱ABC A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为b,若B1C⊥A1B,则= .
12.(10分)如图,在长方体ABCD A'B'C'D'中,E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求:
(1)·;(5分)
(2)·.(5分)
13.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=.
(1)求线段PC的长度;(3分)
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(4分)
(3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(3分)
14.(15分)如图,在六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c分别表示,.(5分)
(2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求:
①·;(5分)②||.(5分)
课时检测(三)
1．选C 由题意，可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
2．选D 因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以|c|＝|a＋b|，所以|c|2＝|a|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋|b|2，所以16＝4＋12cos〈a，b〉＋9，所以cos〈a，b〉＝.
3．选A 因为＝＋＝－＋＝－＋，且·＝0，·＝0，所以·＝·(－＋)＝·－·＋2＝1.故选A.
4．选C ∵＋＋2＝＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴(＋＋2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，即BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
5．选B 设AC＝2，BD＝1，由·＝·＝0，＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝||2，所以在上的投影向量为·＝·＝.
6.选AB 如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；·(－)＝·＝0，故B为真命题；连接CD1，易知与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为||||||，故D为假命题．
7．选A 由题意可知，＝＋，则·＝·(＋)＝2＋·.因为棱长为1，AB⊥BPi，所以·＝0，所以·＝2＋·＝1＋0＝1，故集合{y|y＝·，i＝1,2,3，…，8}中的元素个数为1.
8．选C 设AB＝BC＝CD＝1，由题意得＝(＋)＝(＋＋)，所以||2＝(＋＋)2＝(2＋2＋2)＝，·＝(＋＋)·＝2＝.设异面直线BM与CD所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.
9．解析：∵m⊥n，∴m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ·3×4·cos 135°＋3×4·cos 135°＋λ·16＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ＝0，∴λ＝－.
答案：－
10．解析：因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，由于AA′⊥a，AA′⊥b，则2·＝0,2·＝0.又因为两条异面直线a，b所成的角为30°，所以〈，〉＝30°或〈，〉＝150°，故52＝22＋||2＋3＋2×2××cos〈，〉，可得||＝2或||＝2.
答案：2或2
11．解析：如图，由题意||＝||＝a，||＝b，且〈，〉＝60°，⊥，⊥，则＝＋＝＋，＝－，又B1C⊥A1B，即⊥，所以·＝0，所以(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝0＋a·a·－b2－0＝0，解得a＝b，即＝.
答案：
12．解：(1)∵是长方体，而且AA′＝AD＝2，∴〈，〉＝∠B′BC′＝45°，||＝AA′＝1，||＝BC′＝＝2，因此，·＝||||cos〈，〉＝2×1×＝2.
(2)∵＝＋＋，＝＝，∴·＝(＋＋)·＝－2＋·＋·.∵⊥，⊥，
∴·＝－2＝－2.
13．解：(1)∵＝＋＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋1－2×2－2×1＝3，∴||＝，∴线段PC的长度为.
(2)∵·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋·－·＋·－·＝－1×2×－2×2＋1×1＋2×2×＋0－0＝－2，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线PC与BD所成角的余弦值为.
(3)证明：∵E为AB的中点，∴AD＝AE，
∵·＝·(－)＝·－·＝2×1×－2×1×＝0，
∴⊥，即PA⊥ED.
14．解：(1)如图，连接AD，因为六边形ABCDEF为正六边形，所以＋
＝，则＝2a＋2b，所以＝－＝2a＋2b－c，＝＋＝－＝2a＋b－c.
(2)因为六边形ABCDEF为正六边形，所以∠BAF＝.又cos∠BAA1＝cos∠FAA1＝，AB＝2，AA1＝4，
所以|a|＝|b|＝2，|c|＝4，a·b＝|a||b|·cos ＝－2，a·c＝b·c＝|a||c|×＝2.
①·＝(2a＋b－c)·(2a＋2b－c)＝4a2＋2b2＋c2＋6a·b－3b·c－4a·c＝16＋8＋16－12－6－8＝14.
②因为＝＋＋＝－＋＝2a＋2b－a＋c＝a＋2b＋c，所以||2＝(a＋2b＋c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b＋4b·c＋2a·c＝4＋16＋16－8＋8＋4＝40，故||＝2.