1.3.1 空间向量及其运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量运算的坐标表示及距离公式.
逐点清(一) 空间直角坐标系及点的坐标
[多维理解]
1.空间直角坐标系
空间 直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做
坐标 平面 在空间直角坐标系Oxyz中,通过 的平面叫做坐标平面,分别称为 平面, 平面, 平面
右手 直角 坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,如果中指指向 的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系
2.空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组 ,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的 ,y叫做点A的 ,z叫做点A的 .
3.点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (0,y,z)
4.点P(a,b,c)的对称性
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴
y轴
z轴
Oxy平面
Oyz平面
Ozx平面
坐标原点
循规记忆:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
[微点练明]
1.点P(-5,0,6)位于 ( )
A.y轴上 B.z轴上
C.Ozx平面内 D.Oyz平面内
2.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是 ( )
A.点B1的坐标为(3,5,4)
B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
3.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为 .
逐点清(二) 空间向量的坐标
[多维理解]
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a= .有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a= .
[微点练明]
1.已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且=-i+j-k,则的坐标为 ( )
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.(1,-1,1)
2.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,且BP=BD',建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{,,}为基底,
则向量的坐标为 ,向量的坐标为 ,向量的坐标为 .
4.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标.
逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示
[多维理解]
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b
减法 a-b
数乘 λa
数量积 a·b
2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则= .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
|微|点|助|解|
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
[微点练明]
1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b= ( )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m= ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则+= ( )
A.(4,-4,0) B.(-4,4,0)
C.(-2,2,0) D.(-2,2,-2)
4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则·= ( )
A.-11 B.3
C.4 D.15
5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c= ( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
逐点清(四) 空间向量性质的坐标表示
[多维理解]
1.空间向量性质的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
平行 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0
模 |a|==
夹角 公式 cos
==
2.常用公式
(1)向量的坐标公式:
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则= .
(2)空间两点间的距离公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||= .
(3)空间线段中点的坐标公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点坐标为 .
[微点练明]
1.已知A(2,-3,-1),B(-6,5,3),则||= ( )
A.2 B.4
C.2 D.12
2.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 ( )
A.向量a,b的夹角为
B.(a+2b)·(b+c)=7
C.(a+5b)⊥c
D.a∥(b-c)
3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于 ( )
A. B. C. D.
4.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 ( )
A.(1,1,-7) B.(5,3,1)
C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)
5.(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则下列结论正确的有 ( )
A.AP⊥AB B.=(6,1,-4)
C.BC= D.AP∥BC
1.3.1 空间向量及其运算的坐标表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.坐标向量 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx x轴 y轴 z轴
2.(x,y,z) 横坐标 纵坐标 竖坐标
3.(0,y,0) (x,y,0) (x,0,z) 4.(a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) (a,b,-c)
(-a,b,c) (a,-b,c) (-a,-b,-c)
[微点练明]
1.C 2.BCD 3.(2,-3,1)
[逐点清(二)]
[多维理解] xi+yj+zk (x,y,z)
[微点练明]
1.选A 根据空间向量坐标的定义,由=-i+j-k,知=(-1,1,-1).
2.选D 记x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,则=i,=j,=k,因为=+
=+=+(+)=+(-++)=++=i+j+k,所以点P的坐标为.故选D.
3.解析:因为=++=++,所以向量的坐标为.因为=++
=++,所以向量的坐标为.因为=++,所以向量的坐标为(1,1,1).
答案: (1,1,1)
4.解:建立如图所示的空间直角坐标系,设=i,=j,=k,=4i+0j+0k=(4,0,0).
=+=0i+4j+4k=(0,4,4).=+=++=-4i+4j+4k=(-4,4,4).
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 2.(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 减去
[微点练明]
1.选C b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
2.选A 因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2 m=-1,故选A.
3.选D +==(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2).
4.选C 由已知,=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),∴·=4+0+0=4.
5.选B 由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
[逐点清(四)]
[多维理解] 1.a1b1+a2b2+a3b3=0 2.(1)(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
(2) (3)
[微点练明]
1.选D 由A(2,-3,-1),B(-6,5,3)可得=(-8,8,4),所以||==12.
2.选CD |a|==,|b|==,a·b=1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0,π],则θ=,A错误.a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,B错误.a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,C正确.b-c=(-3,3,0),则b-c=-3a,故a∥(b-c),D正确.
3.选C 由题意可得,2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,即a=,所以|a|==,故选C.
4.选D ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,设D(x,y,z),则=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z),
∴解得
5.选ABC 因为·=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,故A正确;=-=(4+2,2-1,-4)=(6,1,-4),故B正确;||==,故C正确;设=λ,则(6,1,-4)=λ(1,-2,1),故此方程组无解.所以,不共线,故AP∥BC不成立,故D错误.(共49张PPT)
空间向量及其运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
1.3.1
课时目标
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量运算的坐标表示及距离公式.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间直角坐标系及点的坐标
逐点清(二) 空间向量的坐标
逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示
4
逐点清(四) 空间向量性质的坐标表示
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间直角坐标系及点的坐标
01
多维理解
1.空间直角坐标系
空间 直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做__________
坐标 平面 在空间直角坐标系Oxyz中,通过_____________的平面叫做坐标平面,分别称为______平面, ______平面, ______平面
右手 直角 坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中,让右手拇指指向______的正方向,食指指向______的正方向,如果中指指向______的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系
坐标向量
每两条坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
x轴
y轴
z轴
2.空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组_________,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的_________,y叫做点A的_________,
z叫做点A的________.
(x,y,z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
3.点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) _________ (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 _________ (0,y,z) _________
(0,y,0)
(x,y,0)
(x,0,z)
4.点P(a,b,c)的对称性
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴 __________
y轴 _________
z轴 _________
Oxy平面 _________
Oyz平面 _________
Ozx平面 _________
坐标原点 _________
(a,-b,-c)
(-a,b,-c)
(-a,-b,c)
(a,b,-c)
(-a,b,c)
(a,-b,c)
(-a,-b,-c)
循规记忆:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
微点练明
1.点P(-5,0,6)位于 ( )
A.y轴上 B.z轴上
C.Ozx平面内 D.Oyz平面内
解析:因为点P(-5,0,6)的纵坐标为0,所以点P位于Ozx平面内,故选C.
√
2.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=5,
AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,
z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是 ( )
A.点B1的坐标为(3,5,4)
B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
√
√
√
解析:易知点B1的坐标为(4,5,3),故A错误;由C1(0,5,3),B(4,5,0),设点C1关于点B对称的点为P(x,y,z),则=4,=5,=0,解得x=8,y=5,
z=-3,故P(8,5,-3),故B正确;在长方体中,AD1=BC1==5=AB,
所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),故C正确;因为CB⊥平面ABB1A1,故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4,5,0),即(8,5,0),故D正确.
3.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为_________.
解析:点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1).
(2,-3,1)
逐点清(二) 空间向量的坐标
02
多维理解
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=___________.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=________.
xi+yj+zk
(x,y,z)
微点练明
1.已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且=-i+j-k,则的坐标为( )
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.(1,-1,1)
√
解析:根据空间向量坐标的定义,由=-i+j-k,知=(-1,1,-1).
2.已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,
且BP=BD',建立如图所示的空间直角坐标系,
则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
解析:记x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,则=i,=j,=k,
因为=+=+=+(+)=+(-++)
=++=i+j+k,所以点P的坐标为.故选D.
√
3.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{,,}为基底,
则向量的坐标为____________,向量的
坐标为_________,向量的坐标为_________.
解析:因为=++=++,所以向量的坐标为.
因为=++=++,所以向量的坐标为.
因为=++,
所以向量的坐标为(1,1,1).
(1,1,1)
4.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标.
解:建立如图所示的空间直角坐标系,设=i,
=j,=k,=4i+0j+0k=(4,0,0).
=+=0i+4j+4k=(0,4,4).=+=++=-4i+4j+4k=(-4,4,4).
逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示
03
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
多维理解
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b _____________________
减法 a-b _____________________
数乘 λa _____________________
数量积 a·b _____________________
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=____________________.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_______起点坐标.
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
减去
|微|点|助|解|
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
微点练明
1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b= ( )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
√
解析:b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m= ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
√
解析:因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2 m=-1,故选A.
3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则+=( )
A.(4,-4,0) B.(-4,4,0)
C.(-2,2,0) D.(-2,2,-2)
解析:+==(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2).
4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则·=( )
A.-11 B.3 C.4 D.15
解析:由已知,=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1)
=(-4,9,0),∴·=4+0+0=4.
√
√
5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c=( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
解析:由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
√
逐点清(四) 空间向量性质的坐标表示
04
多维理解
1.空间向量性质的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
平行 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 __________________________
模
|a|==
夹角公式
cos==_________________________
a1b1+a2b2+a3b3=0
2.常用公式
(1)向量的坐标公式:
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=______________________.
(2)空间两点间的距离公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||
=______________________________________.
(3)空间线段中点的坐标公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点坐标为________________________.
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
1.已知A(2,-3,-1),B(-6,5,3),则||=( )
A.2 B.4
C.2 D.12
微点练明
解析:由A(2,-3,-1),B(-6,5,3)可得=(-8,8,4),
所以||==12.
√
2.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 ( )
A.向量a,b的夹角为 B.(a+2b)·(b+c)=7
C.(a+5b)⊥c D.a∥(b-c)
解析:|a|==,|b|==,a·b
=1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ===-,
因为θ∈[0,π],则θ=,A错误.
a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,B错误.
a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,C正确.
b-c=(-3,3,0),则b-c=-3a,故a∥(b-c),D正确.
√
√
3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于 ( )
A. B. C. D.
解析:由题意可得,2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,即a=,所以|a|
==,故选C.
√
4.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 ( )
A.(1,1,-7) B.(5,3,1)
C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)
√
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴=,设D(x,y,z),
则=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z),
∴解得
5.(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),
=(4,2,0),则下列结论正确的有( )
A.AP⊥AB B.=(6,1,-4)
C.BC= D.AP∥BC
解析:因为·=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,故A正确;=-=(4+2,2-1,-4)=(6,1,-4),故B正确;||==,故C正确;设=λ,
则(6,1,-4)=λ(1,-2,1),故此方程组无解.所以,不共线,
故AP∥BC不成立,故D错误.
√
√
√
课时跟踪检测
05
1
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12
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14
15
2
1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是 ( )
A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2)
C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4)
解析:设线段AB的中点坐标为(x,y,z),所以x==-1,y==-1,
z==2,故线段AB的中点坐标是(-1,-1,2).
√
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2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,3,5),则点P关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(-1,-3,5) B.(-1,3,-5)
C.(1,-3,-5) D.(-1,-3,-5)
解析:根据空间点关于x轴对称,则x轴上坐标不变,y,z轴上坐标取相反数,
故点P关于x轴的对称点的坐标是(1,-3,-5).
√
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3.已知点A(3,-1,0),若向量=(2,5,-3),则点B的坐标是( )
A.(1,-6,3) B.(5,4,-3)
C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3)
√
解析:由空间向量的坐标表示可知,=-(O为坐标原点),所以=+=(2,5,-3)+(3,-1,0)=(5,4,-3),所以点B的坐标是(5,4,-3).
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4.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,若点M是侧面CDD1C1的中心,则在基底{,,}下的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:由题可知,M为DC1的中点,=+=
+(+)=+(+)=++
,∴坐标为.
√
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5.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为 ( )
A. B.
C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1)
解析:因为向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),所以a·b=1,|a|=,所以向量b在向量a上的投影向量为·=a=.
√
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6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:由已知可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,
所以-a·c=7,即有-|a||c|cos=-14cos=7,所以cos=-.
又0°≤≤180°,所以=120°.
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7.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量p在基底{a,b+c,b-c}下的坐标是 ( )
A.(2,-1,-2) B.(2,-1,2) C.(2,1,-2) D.(2,1,2)
√
解析:∵向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),∴p=2a+3b-c,设向量p在
基底{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则p=2a+3b-c=xa+y(b+c)+z(b-c),
∴解得即(2,1,2).
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8.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 ( )
A.若|a|=2,则m=± B.若a⊥b,则m=-1
C.不存在实数λ,使得a=λb D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)
解析:因为|a|=2,所以=2,解得m=±,故A正确;
因为a⊥b,所以-2+1-m+2m=0,所以m=1,故B错误;假设a=λb,则(1,-1,m)
=λ(-2,m-1,2),所以该方程组无解,故C正确;因为a·b=-1,
所以-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),所以a+b
=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.
√
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9.如图,已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是 ( )
A. B.
C. D.
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解析:由题意,得A'(1,0,1),B(1,1,0),C'(0,1,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1),
设点P(x,y,z)在平面A'BC'中,则由共面向量定理得,存在唯一的有序实数对(λ,μ),
使=λ+μ,所以即在A中,
代入点坐标,无解,故A错误;在B中,代入点坐标,解得
故B正确;在C中,代入点坐标,无解,故C错误;在D中,代入点坐标,
无解,故D错误.故选B.
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(参考数据:r≈6.371,≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.-2 755 B.2 755 C.-2 246 D.2 246
√
解析:设点P在Oxy平面上的射影为P',则OP=r,OP'=rcos 30°=r,
因为OP'与x轴正方向的夹角为60°,由OP'在x轴上的射影长为rcos 60°=r≈×6.371×1 000≈2 755,所以空间点P的横坐标约为2 755,故选B.
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11.(5分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为__________,的坐标为___________,
的坐标为_____________.
(1,0,0)
(1,0,1)
(-1,1,-1)
解析:由题图,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
B1(1,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,0,0)-(0,0,0)
=(1,0,0),=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),
=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1).
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12.(5分)已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),C(-1,4,-1),D(3,6,x),
若A,B,C,D四点共面,则x= .
-3
解析:由题可知=(3,-2,1),=(-1,3,-2),=(3,5,x-1),因为A,B,C,D四点共面,所以=m+n(m,n∈R),
则(3,5,x-1)=m(3,-2,1)+n(-1,3,-2)=(3m-n,-2m+3n,m-2n),
即解得m=2,n=3,所以x=-3.
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13.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),
点P在xOz平面内,且||=||,请写出一个满足条件的点P的坐标:_______________________________________.
解析:设P(x,0,z),由||=||,
得
=,
化简得x+3z=3.
(0,0,1)(答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可)
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14.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求cos;(5分)
解:由题设得a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
所以cos====-.
(2)ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.(5分)
解:由ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),而(ka+b)⊥(ka-2b),
所以(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=(2k+5)(k-2)=0,
解得k=-或k=2.
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15.(10分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,
E为棱C1C的中点,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标.
解:在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线,与CC1相交于点D,如图所示,AB⊥平面BB1C1C,BD 平面BB1C1C,
BB1 平面BB1C1C,∴AB⊥BD,AB⊥BB1.又∵BB1⊥BD,
∴BD,BB1,BA两两垂直,以B为原点,分别以BD,BB1,
BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,则CD=,BD=,∴A(0,0,),B(0,0,0),
C,A1(0,2,),B1(0,2,0),C1,E为棱CC1的中点,则有E.
10课时检测（五） 空间向量及其运算的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是 ( )
A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2)
C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4)
2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,3,5),则点P关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(-1,-3,5) B.(-1,3,-5)
C.(1,-3,-5) D.(-1,-3,-5)
3.已知点A(3,-1,0),若向量=(2,5,-3),则点B的坐标是 ( )
A.(1,-6,3) B.(5,4,-3)
C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3)
4.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,若点M是侧面CDD1C1的中心,则在基底{,,}下的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为 ( )
A. B.
C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1)
6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
7.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量p在基底{a,b+c,b-c}下的坐标是 ( )
A.(2,-1,-2) B.(2,-1,2)
C.(2,1,-2) D.(2,1,2)
8.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 ( )
A.若|a|=2,则m=±
B.若a⊥b,则m=-1
C.不存在实数λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)
9.如图,已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是 ( )
A. B.
C. D.
10.将地球看作半径为r km的球体,如图所示,将空间直角坐标系的原点置于球心,赤道位于Oxy平面上,
z轴的正方向为球心指向正北极方向,本初子午线(,是0度经线)位于Oxz平面上,且交x轴于点S(r,0,0).
已知赤道上一点E位于东经60度,则地球上位于西经60度,北纬30度的空间点P的横坐标约为 ( )
(参考数据:r≈6.371,≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.-2 755 B.2 755
C.-2 246 D.2 246
11.(5分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为 ,的坐标为 ,的坐标为 .
12.(5分)已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),C(-1,4,-1),D(3,6,x),若A,B,C,D四点共面,则x= .
13.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在xOz平面内,且||=||,请写出一个满足条件的点P的坐标: .
14.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求cos;(5分)
(2)ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.(5分)
15.(10分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E为棱C1C的中点,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标.
课时检测(五)
1．选A 设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1,2)．
2．选C 根据空间点关于x轴对称，则x轴上坐标不变，y，z轴上坐标取相反数，故点P关于x轴的对称点的坐标是(1，－3，－5)．
3．选B 由空间向量的坐标表示可知，＝－(O为坐标原点)，所以＝＋＝(2,5，－3)＋(3，－1，0)＝(5,4，－3)，所以点B的坐标是(5,4，－3)．
4.选D 由题可知，M为DC1的中点，＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，∴坐标为.
5．选A 因为向量a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，所以a·b＝1，|a|＝，所以向量b在向量a上的投影向量为·＝a＝.
6．选C 由已知可得a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，且|a|＝.又(a＋b)·c＝7，所以－a·c＝7，即有－|a||c|cos〈a，c〉＝－14cos〈a，c〉＝7，所以cos〈a，c〉＝－.又0°≤〈a，c〉≤180°，所以〈a，c〉＝120°.
7．选D ∵向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,3，－1)，∴p＝2a＋3b－c，设向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是(x，y，z)，则p＝2a＋3b－c＝xa＋y(b＋c)＋z(b－c)，
∴解得即(2,1,2)．
8．选AC 因为|a|＝2，所以＝2，解得m＝±，故A正确；因为a⊥b，所以－2＋1－m＋2m＝0，所以m＝1，故B错误；假设a＝λb，则(1，－1，m)＝λ(－2，m－1,2)，所以该方程组无解，故C正确；因为a·b＝－1，所以－2＋1－m＋2m＝－1，解得m＝0，所以a＝(1，－1,0)，b＝(－2，－1,2)，所以a＋b＝(－1，－2,2)，故D错误．故选AC.
9．选B 由题意，得A′(1,0,1)，B(1,1,0)，C′(0，1,1)，则＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，设点P(x，y，z)在平面A′BC′中，则由共面向量定理得，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使＝λ＋μ，
所以
即在A中，代入点坐标，无解，故A错误；在B中，代入点坐标，解得故B正确；在C中，代入点坐标，无解，故C错误；在D中，代入点坐标，无解，故D错误．故选B.
10.选B 设点P在Oxy平面上的射影为P′，则OP＝r，OP′＝rcos 30°＝r，因为OP′与x轴正方向的夹角为60°，由OP′在x轴上的射影长为rcos 60°＝r≈×6.371×1 000
≈2 755，所以空间点P的横坐标约为2 755，故选B.
11．解析：由题图，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，B1(1，0,1)，C1(1,1,1)，∴＝(1,0,0)－(0,0,0)＝(1,0,0)，1＝(1,1,1)－(0,1,0)＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,1)＝(－1,1，－1)．
答案：(1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)
12．解析：由题可知＝(3，－2,1)，＝(－1，3，－2)，＝(3,5，x－1)，因为A，B，C，D四点共面，所以＝m＋n(m，n∈R)，则(3,5，x－1)＝m(3，－2,1)＋n(－1,3，－2)＝(3m－n，－2m＋3n，m－2n)，即解得m＝2，n＝3，所以x＝－3.
答案：－3
13．解析：设P(x,0，z)，由||＝||，
得
＝，
化简得x＋3z＝3.
答案：(0,0,1)(答案不唯一，符合(x,0，z)，x＋3z＝3即可)
14．解：(1)由题设得a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以cos〈a，b〉＝
＝＝＝－.
(2)由ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，而(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝(2k＋5)(k－2)＝0，
解得k＝－或k＝2.
15．解：在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线，与CC1相交于点D，如图所示，AB⊥平面BB1C1C，BD 平面BB1C1C，BB1 平面BB1C1C，∴AB⊥BD，AB⊥BB1.又∵BB1⊥BD，∴BD，BB1，BA两两垂直，以B为原点，分别以BD，BB1，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，则CD＝，BD＝，∴A(0，0，)，B(0,0,0)，C，A1(0,2，)，B1(0,2,0)，C1，E为棱CC1的中点，则有E.