1.3.2 空间向量坐标运算的应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
进一步学习空间向量坐标运算,能运用空间向量坐标运算解决空间中平行与垂直的问题,会求两点距离、模及异面直线所成的角.
题型(一) 利用空间向量的坐标运算证明平行问题
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若O1为A1C1中点,O2为AC中点.
求证:(1)BO1∥D1O2;
(2)平面ACD1∥平面BA1C1.
听课记录:
|思|维|建|模|
判断空间向量平行的步骤
(1)向量化:将空间中的平行转化为向量的平行.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或==(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
[提醒] 由空间向量平行求值只需根据平行的条件建立方程(组)求解即可.
[针对训练]
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,
N为DE的中点,DM=DB,DA=DP=1,CD=2,求证:MN∥AP.
题型(二) 利用空间向量的坐标运算证明垂直问题
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)已知点G在平面PAD内,且GF⊥平面PCB,试确定点G的位置.
听课记录:
|思|维|建|模|
判断空间向量垂直的步骤
(1)向量化:将空间中的垂直转化为向量的垂直.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直.
[提醒] 由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可.
[针对训练]
2.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
[例3] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.
(1)求FH的长;
(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤
建系 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
求坐标 利用题设条件写出相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标
计算 利用空间向量的夹角和距离的公式求解
[针对训练]
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是B1C1,A1A的中点.
(1)求M,N的距离;
(2)求cos<,>的值.
1.3.2 空间向量坐标运算的应用
[题型(一)]
[例1] 证明:(1)如图,以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1.
依题意知B(1,1,0),O1,D1(0,0,1),O2,
∴=,=,∴=-,∴∥,即BO1∥D1O2.
(2)∵A1(1,0,1),C1(0,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),∴=(-1,1,0),=(-1,1,0),
∴=,∴AC∥A1C1.又AC 平面ACD1,A1C1 平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1.
又由(1)知BO1∥平面ACD1,而A1C1∩BO1=O1,且A1C1 平面BA1C1,BO1 平面BA1C1,∴平面ACD1∥平面BA1C1.
[针对训练]
1.证明:法一 由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N,M,
所以=(-1,0,1),=,所以=.又M AP,故MN∥AP.
法二 由题意可得=+=+=+×(+)=++
=+=(+)=.又M AP,所以MN∥AP.
[题型(二)]
[例2] 解:
(1)证明:以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a(a>0),则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F,
所以=,=(0,a,0),所以·=·(0,a,0)=0,
所以EF⊥CD.
(2)因为G∈平面PAD,设G(x,0,z),所以=.由(1)知=(a,0,0),=(0,-a,a).因为GF⊥平面PCB,所以·=·(a,0,0)=a=0,·=·(0,-a,a)=+a=0,所以x=,z=0,所以点G的坐标为,即点G为AD的中点.
[针对训练]
2.证明:由题意可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),D(1,1,0),
所以=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,).因为·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,所以⊥,
⊥,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,AD,AA1 平面A1AD,所以BC⊥平面A1AD,又BC 平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)如图,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,则有F,H,
∴=,∴||=
=.∴FH的长为.
(2)由(1)知E,F,
∴=,∴||=.
又C1(0,1,1),G,
∴=,∴||=.
∴·=×0+×+×(-1)=,∴|cos<,>|==.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
[针对训练]
3.解:(1)如图,建立空间直角坐标系,依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),N(1,0,1),
B1(0,1,2),C1(0,0,2).M,∴=,
∴||==.
∴M,N的距离为.
(2)由(1)得=(1,-1,2),=(0,1,2),
·=3,||=,||=,
∴cos<,>==.(共39张PPT)
空间向量坐标运算的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
1.3.2
课时目标
进一步学习空间向量坐标运算,能运用空间向量坐标运算解决空间中平行与垂直的问题,会求两点距离、模及异面直线所成的角.
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用空间向量的坐标运算证明平行问题
题型(二) 利用空间向量的坐标运算证明垂直问题
题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
4
题型(一) 利用空间向量的坐标运算证明平行问题
01
[例1] 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,若O1为A1C1中点,O2为AC中点.
求证:(1)BO1∥D1O2;
证明:如图,以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1.
依题意知B(1,1,0),O1,D1(0,0,1),O2,
∴=,=,∴=-,
∴∥,即BO1∥D1O2.
(2)平面ACD1∥平面BA1C1.
证明:∵A1(1,0,1),C1(0,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),
∴=(-1,1,0),=(-1,1,0),
∴=,∴AC∥A1C1.又AC 平面ACD1,
A1C1 平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1.
又由(1)知BO1∥平面ACD1,而A1C1∩BO1=O1,
且A1C1 平面BA1C1,BO1 平面BA1C1,
∴平面ACD1∥平面BA1C1.
|思|维|建|模|
判断空间向量平行的步骤
(1)向量化:将空间中的平行转化为向量的平行.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ ∈ R)或==(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
[提醒] 由空间向量平行求值只需根据平行的条件建立方程(组)求解即可.
针对训练
1.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,
PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点,
DM=DB,DA=DP=1,CD=2,求证:MN∥AP.
证明:法一 由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直,
以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=.
又M AP,故MN∥AP.
法二 由题意可得=+=+
=+×(+)
=++=+=(+)
=.又M AP,所以MN∥AP.
题型(二) 利用空间向量的坐标运算证明垂直问题
02
[例2] 如图,在四棱锥P ABCD中,PD⊥底面ABCD,
底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
解:证明:以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、
z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a(a>0),
则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),
F,
所以=,=(0,a,0),所以·=·
(0,a,0)=0,所以EF⊥CD.
(2)已知点G在平面PAD内,且GF⊥平面PCB,
试确定点G的位置.
解:因为G∈平面PAD,设G(x,0,z),
所以=.由(1)知=(a,0,0),=(0,-a,a).
因为GF⊥平面PCB,所以·=·(a,0,0)=a=0,
·=·(0,-a,a)=+a=0,所以x=,z=0,
所以点G的坐标为,即点G为AD的中点.
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判断空间向量垂直的步骤
(1)向量化:将空间中的垂直转化为向量的垂直.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直.
[提醒] 由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可.
针对训练
2.如图,在三棱台A1B1C1 ABC中,∠BAC=90°,
A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,
D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明:由题意可建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),D(1,1,0),
所以=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,).
因为·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,所以⊥,
⊥,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,AD,
AA1 平面A1AD,所以BC⊥平面A1AD,又BC 平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
03
[例3] 如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,
E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,
H为C1G的中点.
(1)求FH的长;
解:如图,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,
则有F,H,
∴=,∴||=
=.∴FH的长为.
(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
解:由(1)知E,F,
∴=,∴||=.
又C1(0,1,1),G,
∴=,
∴||=.
∴·=×0+×+×(-1)=,∴|cos<,>|==.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
|思|维|建|模|
利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤
建系 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
求坐标 利用题设条件写出相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标
计算 利用空间向量的夹角和距离的公式求解
针对训练
3.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是B1C1,A1A的中点.
(1)求M,N的距离;
解:如图,建立空间直角坐标系,依题意得A1(1,0,2),
C(0,0,0),B(0,1,0),N(1,0,1),B1(0,1,2),C1(0,0,2).M,∴=,∴||==.∴M,N的距离为.
(2)求cos<,>的值.
解:由(1)得=(1,-1,2),=(0,1,2),
·=3,||=,||=,
∴cos<,>==.
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1.已知=(1,2,3),=(a,b,b-2),若点A,B,C共线,则||=( )
A. B.2 C.3 D.9
√
解析:因为点A,B,C共线,所以与共线,所以==,
解得a=-2,b=-4,故=(-2,-4,-6),=-=(-3,-6,-9),
||==3.
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2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),·=10-3-7=0,
∴BC⊥AC,而||=,||=5,所以△ABC是直角三角形.
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3.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,则 ( )
A.A1C⊥B1D B.A1C⊥BC
C.B1D⊥BC D.B1D⊥AC
解析:以D为原点,{,,}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),
A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),所以=
(-1,1,-1),=(-1,-1,-1),=(-1,0,0),=(-1,1,0).因为·=1,·=1,·=1,·=0,
所以B1D⊥AC.故选D.
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4.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.垂直不相交 D.垂直且相交
解析:设正方体的棱长为1.以D为坐标原点,DA,DC,
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c),则取=(1,1,-1).∵=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-,∴∥,∴PQ∥BD1.
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5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 ( )
A.7 B.7 C. D.
解析:因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
所以||=,||=,所以cos∠BAC===,
所以∠BAC=60°,平行四边形面积为2S△ABC,在△ABC中由正弦定理得S△ABC
=||×||×sin∠BAC,设平行四边形的面积为S,所以S=×
×sin 60°=7.
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6.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,点M在AC1上且=,点N为B1B的中点,则||为( )
A. B. C. D.
解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),N,设M(x,y,z),
∵点M在AC1上且=,∴(x-1,y,z)=(-x,1-y,
1-z),∴x=,y=,z=,即M.又N,
∴||==.
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7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,
=,=3,若=x+y+z,则x+y+z=( )
A. B. C. D.
解析:如图,以A1为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的
正方向建立空间直角坐标系.不妨令AB=4,则A(2,0,0),B(2,4,0),
A1(0,0,0),C(2,0,2),M(0,0,1),N.因为=3,
所以G,则=,=(-2,0,0),=(0,4,0),
=(0,0,2),则解得故x+y+z=.
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8.(5分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,
AA1=2,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若D为A1C与AC1的交点,点E为空间中一点,且满足B1C1∥ED,
EB1∥DC1,则点E的坐标为 .
解析:由题意知B1(1,0,2),C1(0,1,2),D,设点E(x,y,z),
则=(-1,1,0),=,=,=(1-x,-y,2-z),
因为B1C1∥ED,EB1∥DC1,所以设=λ,=μ,则
且解得λ=μ=1,x=1,y=-,z=1,所以点E.
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9.(5分)在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,请写出向量a的一个坐标:___________.
解析:设a=(x,y,z),
由
得
则向量a的一个坐标为(1,2,2).
(1,2,2)
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10.(5分)已知空间三点A(-1,1,0),B(2,2,1),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离为 .
解析:由题意得=(3,1,1),=(-1,-1,0),所以cos<,>
===-,可得sin<,>=
==,所以点A到直线BC的距离为||·sin<,>
=×=.
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11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上,
存在一点E,使得⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为 .
解析:设=λ,因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2),
=(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4),
因为⊥a,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=,又A(-3,-1,4),
=,所以点E的坐标为.
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12.(5分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AD=AA1=1,
AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小为_______,若D1E⊥EC,则AE=_______.
解析:在长方体ABCD A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.又AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),
设E(1,m,0),0≤m≤2,
则=(1,m,-1),=(-1,0,-1),
∴·=-1+0+1=0,
∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.
∵=(-1,2-m,0),D1E⊥EC,
∴·=-1+m(2-m)+0=0,
解得m=1,∴AE=1.
90°
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13.(10分)如图,在四棱锥S ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点.若AB=a,SD=b.
(1)求||;(5分)
解:以D为原点,分别以射线DA,DC,DS为x轴、
y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,
G,所以=,
则||==.
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(2)求cos<,>.(5分)
解:由(1)知=,=(-a,0,0),
所以cos<,>==
==.
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14.(10分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,线段BB1,
A1C1,BC的中点分别为D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2,
AC=4,AA1=2.
(1)求证:A1F⊥DE;(5分)
解:证明:由题意易知AB,AC,AA1两两相互垂直,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A1(0,0,2),C1(4,0,2),D(0,2,1),E(2,0,2),F(2,1,0).
因为=(2,1,-2),=(2,-2,1),
所以·=2×2+1×(-2)+(-2)×1=0,因此A1F⊥DE.
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(2)求sin<,>.(5分)
解:由(1)知=(2,-2,1),=(-2,1,-2),
则||==3,
||==3,
可得cos<,>===-,
所以sin<,>==.
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15.(15分)如图,在四棱锥P ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,
且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,
BC=CD=2AD=4,PD=2.
(1)若点F为DC的中点,求cos<,>;(9分)
解:因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,
所以PC=PB=2.
又PD2=(2)2=24,PC2+CD2=(2)2+42=24,所以DC⊥PC.
而CD⊥AD,AD∥BC,故CD⊥BC,
因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以CD⊥平面PBC.
以C为原点,CP,CD所在直线分别为x,z轴,过点C作PB的平行线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,,4),
=(,-,-4),=(-2,-2,2),
所以cos <,>===-.
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3
4
2
(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当⊥时,求的值.(6分)
解:由(1)知E(2,,0),设=t,
而=(,,-4),所以=(t,t,-4t),
所以M(+t,+t,4-4t),
所以=(t-,t,4-4t).又=(-2,-2,2),
⊥,所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0,
解得t=,所以=.课时检测（六） 空间向量坐标运算的应用
1.已知=(1,2,3),=(a,b,b-2),若点A,B,C共线,则||= ( )
A. B.2
C.3 D.9
2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,则 ( )
A.A1C⊥B1D B.A1C⊥BC
C.B1D⊥BC D.B1D⊥AC
4.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 ( )
A.异面
B.平行
C.垂直不相交
D.垂直且相交
5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 ( )
A.7 B.7
C. D.
6.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,点M在AC1上且=,点N为B1B的中点,则||为 ( )
A. B.
C. D.
7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,=,=3,若=x+y+z,则x+y+z= ( )
A. B.
C. D.
8.(5分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若D为A1C与AC1的交点,点E为空间中一点,且满足B1C1∥ED,EB1∥DC1,则点E的坐标为 .
9.(5分)在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,请写出向量a的一个坐标: .
10.(5分)已知空间三点A(-1,1,0),B(2,2,1),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离为 .
11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上,存在一点E,使得⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为 .
12.(5分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小为 ,若D1E⊥EC,则AE= .
13.(10分)如图,在四棱锥S ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点.若AB=a,SD=b.
(1)求||;(5分)
(2)求cos<,>.(5分)
14.(10分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,线段BB1,A1C1,BC的中点分别为D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2.
(1)求证:A1F⊥DE;(5分)
(2)求sin<,>.(5分)
15.(15分)如图,在四棱锥P ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2.
(1)若点F为DC的中点,求cos<,>;(9分)
(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当⊥时,求的值.(6分)
课时检测(六)
1．选C 因为点A，B，C共线，所以与共线，所以＝＝，解得a＝－2，b＝－4，故＝(－2，－4，－6)，＝－＝(－3，－6，－9)，||＝＝3.
2．选C 因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而||＝，||＝5，所以△ABC是直角三角形．
3.选D 以D为原点，{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
所以＝(－1,1，－1)，＝(－1，－1，－1)，＝(－1,0,0)，＝(－1,1,0)．因为·＝1，·＝1，·＝1，·＝0，所以B1D⊥AC.故选D.
4.选B 设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)．设＝(a，b，c)，则取＝(1,1，－1)．∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1.
5．选B 因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)，所以||＝，||＝，
所以cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝××sin 60°＝7.
6.选C 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，N，设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－1，y，z)＝(－x，1－y,1－z)，∴x＝，y＝，z＝，即M.
又N，∴||
＝＝.
7.选C 如图，以A1为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．不妨令AB＝4，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，A1(0,0,0)，C(2，0,2)，M(0,0,1)，N.因为＝3，所以G，则＝，＝(－2,0,0)，＝(0,4,0)，＝(0,0,2)，则解得故x＋y＋z＝.
8．解析：由题意知B1(1,0,2)，C1(0,1,2)，D，设点E(x，y，z)，则＝(－1,1,0)，＝，＝，＝(1－x，－y，2－z)，因为B1C1∥ED，EB1∥DC1，所以设＝λ，＝μ，则且解得λ＝μ＝1，x＝1，y＝－，z＝1，所以点E.
答案：
9．解析：设a＝(x，y，z)，
由
得
则向量a的一个坐标为(1,2,2)．
答案：(1,2,2)
10．解析：由题意得＝(3,1,1)，＝(－1，－1,0)，所以cos〈，〉＝＝＝－，可得sin〈，〉＝＝＝，所以点A到直线BC的距离为||·sin〈，〉＝×＝.
答案：
11．解析：设＝λ，因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，因为⊥a，所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝，又A(－3，－1,4)，＝，所以点E的坐标为.
答案：
12．解析：在长方体ABCD A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示
的空间直角坐标系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．则D(0,0,0)，D1(0，0,1)，A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,2,0)，设E(1，m,0)，0≤m≤2，
则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)，
∴·＝－1＋0＋1＝0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.
∵＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC，
∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，
解得m＝1，∴AE＝1.
答案：90° 1
13．解：(1)以D为原点，分别以射线DA，DC，DS为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a，0)，C(0，a,0)，
E，F，G，所以＝，
则||＝＝.
(2)由(1)知＝，＝(－a,0,0)，
所以cos〈，〉＝＝＝＝.
14．解：(1)证明：由题意易知AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A1(0,0,2)，C1(4，0,2)，D(0，2,1)，E(2,0,2)，F(2,1,0)．
因为＝(2,1，－2)，＝(2，－2,1)，
所以·＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0，因此A1F⊥DE.
(2)由(1)知＝(2，－2,1)，＝(－2,1，－2)，
则||＝＝3，||＝＝3，
可得cos〈，〉＝＝＝－，
所以sin〈，〉＝＝.
15．解：(1)因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB＝90°，BC＝CD＝4，所以PC＝PB＝2.
又PD2＝(2)2＝24，PC2＋CD2＝(2)2＋42＝24，所以DC⊥PC.
而CD⊥AD，AD∥BC，故CD⊥BC，
因为PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，所以CD⊥平面PBC.
以C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(2，0,0)，B(2，2，0)，F(0,0,2)，A(，，4)，＝(，－，－4)，
＝(－2，－2，2)，
所以cos 〈，〉＝＝
＝－.
(2)由(1)知E(2，，0)，设＝t，
而＝(，，－4)，所以＝(t，t，－4t)，
所以M(＋t，＋t,4－4t)，所以＝(t－，t,4－4t)．又＝(－2，－2，2)，⊥，所以·＝－2×(t－)－2×t＋8－8t＝0，解得t＝，所以＝.
