1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量.
3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
逐点清(一) 空间中点的位置向量和直线的向量表示
[多维理解]
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.
我们把 称为点P的位置向量.
|微|点|助|解|
(1)用点的位置向量表示点时,基点可以任意选取;
(2)在确定好基点的情况下,点P的位置向量由点P的位置唯一确定;
(3)在空间直角坐标系中,如果选择坐标原点O作为基点,那么空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标.
2.直线的向量表示
(1)设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,
①点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.
②取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t.
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量 确定.
|微|点|助|解|
(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.
[微点练明]
1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(3,2,1) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(1,2,3)
2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= ( )
A.0 B.1 C. D.3
3.在空间直角坐标系中,直线l过点A(1,0,-1)且以μ=(2,3,4)为方向向量,M(x,y,z)为直线l上的任意一点,则点M的坐标满足的关系式是 ( )
A.== B.==
C.== D.==
4.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为 ,直线BC1的一个方向向量为 .
逐点清(二) 空间中平面的向量表示
[多维理解]
1.空间平面的向量表达式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,
使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.
2.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
|微|点|助|解|
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.
(3)求平面法向量的方法与步骤
①求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如,.
②设平面的法向量为n=(x,y,z).
③联立方程组并求解.
④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
[微点练明]
1.已知平面α内有两点M(-2,3,1),N(2,4,1),若平面α的一个法向量为n=(6,a,6),则a= ( )
A.- B. C.-24 D.24
2.已知点A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0)都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是 ( )
A. B.
C.(2,2,3) D.(2,-2,-1)
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量.
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.向量 2.(2)唯一
[微点练明] 1.D 2.D 3.A
4.(0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.不共线 2.法向量
[微点练明]
1.选C 由题可得=(4,1,0),因为平面α的一个法向量为n=(6,a,6),所以n⊥,
所以n·=(6,a,6)·(4,1,0)=6×4+a×1+6×0=0,解得a=-24.
2.选C 由A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0),得=(-2,-1,2),=(-1,1,0),设n=(x,y,z)是平面α的法向量,则即取x=2,则y=2,z=3,故n=(2,2,3),则与n=(2,2,3)共线的向量也是法向量,经验证,只有C正确.
3.解:(1)由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.又因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)=(2,2,0),=(1,0,2).
设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),则所以令x=2,得y=-2,z=-1,所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).
4.解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),D(0,,0),所以=(1,,-1),=(0,,-1).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).
则即
令y=1,则z=,x=0,则n=(0,1,),所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,).(共39张PPT)
1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系
空间中点、直线和平面的向量表示
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.会用向量语言描述直线和平面.
2.理解直线的方向向量和平面的法向量.
3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间中点的位置向量和直线的向量表示
逐点清(二) 空间中平面的向量表示
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间中点的位置向量和直线的向量表示
01
多维理解
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把________称为点P的位置向量.
向量
|微|点|助|解|
(1)用点的位置向量表示点时,基点可以任意选取;
(2)在确定好基点的情况下,点P的位置向量由点P的位置唯一确定;
(3)在空间直角坐标系中,如果选择坐标原点O作为基点,那么空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标.
2.直线的向量表示
(1)设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,
①点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.
②取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t.
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量______确定.
唯一
|微|点|助|解|
(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:
①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.
微点练明
1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(3,2,1) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(1,2,3)
解析:∵A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,∴直线l的一个方向向量
=(2,4,6),又∵(1,2,3)=(2,4,6),∴(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
√
2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= ( )
A.0 B.1 C. D.3
解析:因为直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,所以=(-1,2-a,b-3),又直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以=λm,
所以(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),所以解得
所以a+b=3.
√
3.在空间直角坐标系中,直线l过点A(1,0,-1)且以μ=(2,3,4)为方向向量,
M(x,y,z)为直线l上的任意一点,则点M的坐标满足的关系式是 ( )
A.== B.==
C.== D.==
解析:由方向向量得∥μ,又因为=(x-1,y,z+1),所以==.故选A.
√
4.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD
A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为_________,直线BC1的一个方向向量为_______________________.
解析:因为DD1∥AA1,=(0,0,1),
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
逐点清(二) 空间中平面的向量表示
02
多维理解
1.空间平面的向量表达式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个_________向量唯一确定.
不共线
2.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的________.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
法向量
|微|点|助|解|
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.
(3)求平面法向量的方法与步骤
①求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如,.
②设平面的法向量为n=(x,y,z).
③联立方程组并求解.
④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
微点练明
1.已知平面α内有两点M(-2,3,1),N(2,4,1),若平面α的一个法向量为n=(6,a,6),则a= ( )
A.- B. C.-24 D.24
解析:由题可得=(4,1,0),因为平面α的一个法向量为n=(6,a,6),
所以n⊥,所以n·=(6,a,6)·(4,1,0)=6×4+a×1+6×0=0,
解得a=-24.
√
2.已知点A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0)都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是 ( )
A. B.
C.(2,2,3) D.(2,-2,-1)
解析:由A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0),得=(-2,-1,2),=(-1,1,0),
设n=(x,y,z)是平面α的法向量,则即
取x=2,则y=2,z=3,故n=(2,2,3),则与n=(2,2,3)共线的向量也是法向量,
经验证,只有C正确.
√
3.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,
E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
解:由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),
C(0,2,0),E(1,0,2),连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.又因为DD1⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)平面BDEF的一个法向量.
解:=(2,2,0),=(1,0,2).
设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),则所以
令x=2,得y=-2,z=-1,所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.
(答案不唯一).
4.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,
PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),
C(1,,0),D(0,,0),所以=(1,,-1),
=(0,,-1).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).
则即
令y=1,则z=,x=0,则n=(0,1,),
所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,).
课时跟踪检测
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1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
解析:因为=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
√
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2.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是 ( )
A.n=(0,0,1) B.n=(0,1,0)
C.n=(1,0,0) D.n=(1,1,1)
解析:设y轴的方向向量j=(0,1,0),z轴的方向向量k=(0,0,1),坐标平面Oyz的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,0,0),故选C.
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3.若平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 ( )
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
解析:设点Q(x,y,z)在平面α上,因为P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次验证选项,只有D满足.
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4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= ( )
A.-7 B.-5 C.5 D.7
解析:因为=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,
n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7.
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5.已知直线a,b的方向向量分别为a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),且直线a,b均平行于平面α,平面α的单位法向量为 ( )
A. B.
C.(1,1,1) D.或
解析:设平面α的单位法向量为m=(x,y,z), =1①,因为直线a,b均平行于平面α,所以有 由①②③可得x=y=z=或
x=y=z=-,故选D.
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6.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是( )
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
解析:对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;
对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;
对于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;
对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选B.
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7.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的
四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD中,AB⊥平面BCD,
∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的
空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 ( )
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
√
解析:根据题意,设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),则=(1,0,0),=(0,1,-1),设平面ACD的法向量为m=(x,y,z),
则有令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1).
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8.如图,四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,
O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为( )
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
解析:由题意建立如图所示的空间直角坐标系,∵四边形ABCD是正方形,且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,∴A(0,-1,0),
B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(0,1,0),
又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).∵平面OCB1的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,x=-z,结合选项,
可得n=(1,0,-1),故选C.
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9.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,
六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体,
给出下列结论中,正确的是 ( )
A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1)
√
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解析:由题意,B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,1).对于A、B,=(-1,1,1),∴向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,
B不正确;对于C,设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,1),所以令x=1,可得n=(1,1,1),
故C正确;对于D,设平面B1CD的法向量为m=(a,b,c),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,0),所以令b=1,得m=(0,1,1),
故D不正确.故选AC.
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10.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为__________.
解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直线AB的一个方向向量为=(1,1,4).
(1,1,4)
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11.(5分)已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, AD=,则平面SCD的一个法向量为_______________________.
(-2,1,-1)(答案不唯一)
解析:由题设,以A为坐标原点,建立如图所示的
空间直角坐标系,所以D,C(1,1,0),S(0,0,1),
则=(1,1,-1),=.设平面SCD的法向量
为n=(x,y,z),则令y=1,
故n=(-2,1,-1)是平面SCD的一个法向量.
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12.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为___________________,点P的坐标满足的条件为___________.
解析:直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).由题意知OA⊥α,
因为AP α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),则·=0,
即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3.
(1,1,1)(答案不唯一)
x+y+z=3
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13.(10分)如图,已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB=2,
AD=4,AA'=3.以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,
求下列直线的一个方向向量:
(1)AA';(6分)
解:由已知可得,长方体顶点A,B,A',D'的坐标分别为A(4,0,0),B(4,2,0),
A'(4,0,3),D'(0,0,3).
因为向量=(0,0,3),所以直线AA'的一个方向向量为=(0,0,3).
(2)BD'.(4分)
解:因为向量=(-4,-2,3),所以直线BD'的一个方向向量为=(-4,-2,3).
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14.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,
△PAB是边长为1的正三角形,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,
E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,
求平面DEF的一个法向量.
解:连接PF,CF,因为△PAB是边长为1的正三角形,PA=PB,F为AB的中点,
所以PF⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PF 平面PAB,所以PF⊥平面ABCD.
连接AC,因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.又F为AB的中点,所以CF⊥AB.
综上可知,直线FB,FC,FP两两垂直,
所以建立以F为原点,FB,FC,FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,如图所示,
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由题意,在正△PAB和正△ABC中,FP=FC=,则F(0,0,0),D,E,
所以=,=.
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则
即
令y=2,则x=,z=-2,即n=(,2,-2),
所以平面DEF的一个法向量为n=(,2,-2)(答案不唯一).课时检测（七） 空间中点、直线和平面的向量表示
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是 ( )
A.n=(0,0,1) B.n=(0,1,0)
C.n=(1,0,0) D.n=(1,1,1)
3.若平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 ( )
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= ( )
A.-7 B.-5
C.5 D.7
5.已知直线a,b的方向向量分别为a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),且直线a,b均平行于平面α,平面α的单位法向量为 ( )
A.
B.
C.(1,1,1)
D.或
6.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是 ( )
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
7.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD中,AB⊥平面BCD,
∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 ( )
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
8.如图,四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为 ( )
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
9.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,
正确的是 ( )
A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1)
10.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为 .
11.(5分)已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, AD=,则平面SCD的一个法向量为 .
12.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为 ,点P的坐标满足的条件为 .
13.(10分)如图,已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB=2,AD=4,AA'=3.以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA';(6分)
(2)BD'.(4分)
14.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的一个法向量.
课时检测(七)
1．选A 因为＝(2,4,6)，又(1,2,3)＝(2，4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．选C 设y轴的方向向量j＝(0,1,0)，z轴的方向向量k＝(0,0,1)，坐标平面Oyz的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1,0,0)，故选C.
3．选D 设点Q(x，y，z)在平面α上，因为P(1，1,1)，所以＝(x－1，y－1，z－1)，由·n＝(x－1)×1＋(y－1)×2＋(z－1)×3＝0，得x＋2y＋3z＝6，依次验证选项，只有D满足．
4．选D 因为＝(－1,1，－2)，＝(－2,0,1)，所以n·＝－1＋λ－2μ＝0，n·＝－2＋μ＝0，可得μ＝2，λ＝5，所以λ＋μ＝7.
5．选D 设平面α的单位法向量为m＝(x，y，z), ＝1①，因为直线a，b均平行于平面α，所以有 由①②③可得x＝y＝z＝或x＝y＝z＝－，故选D.
6．选B 对于A，＝(2,0，－2)，n·＝1×2＋1×0＋1×(－2)＝0；对于B，＝(－3,3,1)，n·＝1×(－3)＋1×3＋1×1＝1≠0；对于C，＝(－4,3,1)，n·＝1×(－4)＋1×3＋1×1＝0；对于D，＝(1，－6,5)，n·＝1×1＋1×(－6)＋1×5＝0，故选B.
7．选B 根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，则＝(1,0,0)，＝(0,1，－1)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则有令y＝1，可得z＝1，则m＝(0,1,1)．
8.选C 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，且AB＝，∴AO＝OC＝1，∴OA1＝1，∴A(0，－1,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，∴＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，又＝＝(1,1,0)，∴B1(1,1,1)，＝(1,1,1)．∵平面OCB1的法向量为n＝(x，y，z)，则得y＝0，x＝－z，结合选项，可得n＝(1,0，－1)，故选C.
9．选AC 由题意，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)．对于A、B，＝(－1,1,1)，∴向量(－2,2,2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C，设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则又＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，所以令x＝1，可得n＝(1,1,1)，故C正确；对于D，设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则又＝(0，－1,1)，＝(－1，0,0)，所以令b＝1，得m＝(0,1,1)，故D不正确．故选AC.
10．解析：∵A(1,1，t)，B(2,2,4)，∴＝(1,1，4－t)．又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，∴·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0，∴直线AB的一个方向向量为＝(1,1,4)．
答案：(1,1,4)
11．解析：由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，＝.设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝1，故n＝(－2,1，－1)是平面SCD的一个法向量．
答案：(－2,1，－1)(答案不唯一)
12．解析：直线OA的一个方向向量为＝(1,1,1)．由题意知OA⊥α，因为AP α，所以OA⊥AP，＝(x－1，y－1，z－1)，则·＝0，即x－1＋y－1＋z－1＝0，所以x＋y＋z＝3.
答案：(1,1,1)(答案不唯一) x＋y＋z＝3
13．解：(1)由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4,0,0)，B(4,2,0)，A′(4，0,3)，D′(0,0,3)．
因为向量＝(0,0,3)，所以直线AA′的一个方向向量为＝(0,0,3)．
(2)因为向量＝(－4，－2,3)，所以直线BD′的一个方向向量为＝(－4，－2,3)．
14．解：连接PF，CF，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF 平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
连接AC，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形．又F为AB的中点，所以CF⊥AB.综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直，
所以建立以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，由题意，在正△PAB和正△ABC中，FP＝FC＝，则F(0,0,0)，D，E， 所以＝，＝.设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则x＝，z＝－2，即n＝(，2，－2)，
所以平面DEF的一个法向量为n＝(，2，－2)(答案不唯一)．
