第2课时 空间中直线、平面的平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系.
空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 符号表示 图示
线线平行 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R, 使得
线面平行 l∥α u⊥n (l α)
面面平行 α∥β n1∥n2 λ∈R, 使得
|微|点|助|解|
用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点
(1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.
(2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准.
(3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行. ( )
(2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直. ( )
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. ( )
(4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. ( )
2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是 ( )
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
题型(一) 证明直线与直线平行
[例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,
点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS.
听课记录:
|思|维|建|模| 证明线线平行的两种方法
基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明
坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示
[针对训练]
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.
求证:EF∥AC1.
题型(二) 证明直线与平面平行
[例2] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=2,AB=1.求证:MN∥平面BDE.
听课记录:
|思|维|建|模| 利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
[针对训练]
2.如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点.
求证:BD1∥平面A1DE.
题型(三) 证明平面与平面平行
[例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,
且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC.
听课记录:
|思|维|建|模| 证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
[针对训练]
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面BDEF.
第2课时 空间中直线、平面的平行
课前预知教材
u1=λu2 u·n=0 n1=λn2
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.AD
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 证明:法一 如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S.则,分别为MN,RS的方向向量,又=,=,所以=,所以∥,因为M RS,所以MN∥RS.
法二 设=a,=b,=c,则=++=c-a+b,=++=b-a+c.所以=,所以∥.又R MN,所以MN∥RS.
[针对训练]
1.证明:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c).由D1E=2EB1,即=2,可得E,由BF=2FA1,即=2,可得F,∴=,=(-a,b,c),∴=.又FE与AC1不共线,
∴EF∥AC1.
[题型(二)]
[例2] 证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),M,N,P(0,0,2),所以=(0,1,0),=(1,0,-1),设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1),又=,所以·n=1×+0×1+1×=0,即⊥n,因为MN 平面BDE, 所以MN∥平面BDE.
[针对训练]
2.证明:因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,DD1⊥AD,DD1 平面AA1D1D,所以DD1⊥平面ABCD.
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0),所以=(1,0,1),=(1,1,0).
设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
令x1=1,解得y1=-1,z1=-1,
所以n1=(1,-1,-1).又=(-1,-2,1),所以·n1=0,即⊥n1.又BD1 平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.
[题型(三)]
[例3] 证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,所以AB,AP,AD两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,
则n1⊥,n1⊥,
即得
令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,
由n2⊥,n2⊥,
即得
令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1),
所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC.
[针对训练]
3.证明:如图,以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M,N,E,F.
于是=,=,=,=.设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,则
取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,
则
取z2=1,得y2=-2,x2=2,则n2=(2,-2,1)=n1.又平面AMN与平面BDEF不重合,故平面AMN∥平面BDEF.(共41张PPT)
空间中直线、平面的平行
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 符号表示 图示
线线平行 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得_________
线面平行 l∥α u⊥n _________ (l α)
面面平行 α∥β n1∥n2 λ∈R,使得_________
u1=λu2
u·n=0
n1=λn2
|微|点|助|解|
用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点
(1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.
(2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准.
(3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行. ( )
(2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直. ( )
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.
( )
(4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. ( )
×
√
√
√
2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是
( )
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析:若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,
D中a·n=-3+3=0.
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 证明直线与直线平行
[例1] 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,
AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,
且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.
求证:MN∥RS.
证明:法一 如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S.
则,分别为MN,RS的方向向量,又=,=,所以=,
所以∥,因为M RS,所以MN∥RS.
法二 设=a,=b,=c,
则=++=c-a+b,
=++=b-a+c.
所以=,所以∥.又R MN,
所以MN∥RS.
|思|维|建|模| 证明线线平行的两种方法
基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明
坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示
针对训练
1.在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
证明:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DD1=c,
则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),
A1(a,0,c).由D1E=2EB1,即=2,可得E,
由BF=2FA1,即=2,可得F,∴=,
=(-a,b,c),∴=.又FE与AC1不共线,∴EF∥AC1.
题型(二) 证明直线与平面平行
[例2] 如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,
PA=AC=2,AB=1.求证:MN∥平面BDE.
证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系
如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),
M,N,P(0,0,2),所以=(0,1,0),=(1,0,-1),
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1),又
=,所以·n=1×+0×1+1×=0,即⊥n,
因为MN 平面BDE, 所以MN∥平面BDE.
|思|维|建|模|
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
针对训练
2.如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,
AB=2AD=2,点E为AB的中点.求证:BD1∥平面A1DE.
证明:因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,DD1⊥AD,DD1 平面AA1D1D,所以DD1⊥平面ABCD.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0),
所以=(1,0,1),=(1,1,0).
设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
令x1=1,解得y1=-1,z1=-1,
所以n1=(1,-1,-1).
又=(-1,-2,1),
所以·n1=0,即⊥n1.
又BD1 平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.
[例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为
正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC.
题型(三) 证明平面与平面平行
证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,所以AB,AP,AD两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,则n1⊥,n1⊥,即
得
令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,由n2⊥,n2⊥,即
得
令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1),
所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC.
|思|维|建|模|
证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
3.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,
A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF.
针对训练
证明:如图,以点D为原点,分别以,,
为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M,
N,E,F.
于是=,=,=,
=.
设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,
则
取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,
则
取z2=1,得y2=-2,x2=2,则n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合,
故平面AMN∥平面BDEF.
课时跟踪检测
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1.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 ( )
A.平行或直线在平面内 B.不能确定
C.相交但不垂直 D.垂直
解析:因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.
√
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2.(多选)已知平面α与平面β平行,若n=(1,-2,4)是平面α的一个法向量,则平面β的法向量可能为 ( )
A.(-1,2,-4) B.(-1,2,4) C.(2,4,-8) D.(2,-4,8)
解析:设平面β的法向量为m,则由题意可得m∥n.对于A,m=(-1,2,-4)
=-n,满足题意;对于B,设(-1,2,4)=λ(1,-2,4),λ无解,所以不符合题意;
对于C,设(2,4,-8)=λ(1,-2,4),λ无解,所以不符合题意;
对于D,m=(2,-4,8)=2n,满足题意.故选AD.
√
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3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
√
解析:因为=(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以与平行.又四点不共线,所以直线AB与CD平行.
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4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是 ( )
A.-3 B.-4 C.3 D.4
解析:∵α∥β,∴u1∥u2,故存在实数λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得∴y+z=1-4=-3.
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5.如图,在四棱锥A1 BCDE中,A1E⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,EB∥DC,DE⊥EB,
EB=ED=1,DC=2,△A1ED为等腰直角三角形,点F在棱A1C上,若点P为DB的中点,且PF∥平面A1ED,则点F的坐标为 ( )
A. B. C. D.
解析:由题意,得A1(0,0,1),E(0,0,0),D(0,1,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P,不妨设F(x0,y0,z0),因为点F在棱A1C上,所以设=λ,λ∈[0,1],解得x0=2λ,y0=λ,z0=1-λ,所以点F的坐标为(2λ,λ,1-λ),从而=.由题意可知,=(1,0,0)为平面A1ED的一个法向量,故·=0,解得λ=,从而点F的坐标为.故选D.
√
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6.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足 ( )
A.AD=AB B.AD=AB
C.AD=AB D.AD=AB
解析:因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,
则在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直,以C为原点,
CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4),
=(0,4,4),
√
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设点D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则=(x,y,0),设平面CDB1的法向量为
m=(a,b,c),则即
令b=-x,则m=(y,-x,x).
若AC1∥平面CDB1,则·m=0,易得=(-3,0,4),所以-3y+4x=0 ①.
由D在AB上,得=,即4x+3y=12 ②,
由①②可得x=,y=2,即D为AB的中点,故AD=AB.故选B.
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7.(5分)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k= .
-2
解析:因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,
所以解得λ=-2,k=-2.
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8.(5分)设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为_________.
平行
解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β.
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9.(5分)已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),
B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是 .
-3
解析:∵l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y.∵=(1,0,-1),
=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)
=(x,y,-x-y),∴∴m=-3.
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10.(5分)已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中,AB=AD=DE=CD=1,CD⊥AE.
现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折,满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设
=2,=μ,若AP∥平面DBN,则实数μ的值为 .
3
解析:易得CD⊥DE,CD⊥DA,又平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,AD 平面ABCD,则AD⊥平面CDEF.
又DE 平面CDEF,所以AD⊥DE.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0,0),E(0,0,1),C(0,2,0),
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所以=+=+=+(-)=+=,
同理可得=+=+=+=.
设平面DBN的法向量为n=(x,y,z),
则令y=1,则n=(-1,1,-4).又=+=,
AP∥平面DBN,所以·n=+-=0,解得μ=3.
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11.(10分)如图,已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,
M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:
(1)MN∥平面CC1D1D;(6分)
证明:以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的
正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
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(2)平面MNP∥平面CC1D1D.(4分)
证明:由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的
一个法向量,由于=(0,2,0),
=(0,1,-1),则
即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
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12.(10分)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭,既美观又利于采光,其中一角如图所示,为多面体ABCDE A1B1C1D1,AB⊥AE,AE∥BC,AB∥ED,AA1⊥底面ABCDE,四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面,AB∥A1B1,D1E,
B1B的中点分别为F,G,AB=AE=2DE=2BC=4,AA1=1.求证:FG∥平面C1CD.
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证明:过点E作AA1的平行线Ez,以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(4,4,0),C(4,2,0),
D(2,0,0),B1(2,4,1),C1(2,2,1),D1(0,2,1),=(2,0,-1),
=(0,-2,-1),
因为D1E,B1B的中点分别为F,G,
所以F,G,则=(3,3,0).
设平面C1CD的法向量为n1=(x,y,z),则
令x=1,则n1=(1,-1,2).
因为n1·=3-3+0=0,所以n1⊥,
因为FG 平面C1CD,所以FG∥平面C1CD.
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13.(15分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB 若存在,确定点E的位置,若不存在,请说明理由.
解:连接OA1,因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O 平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
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由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以OB=AC=1,
所以O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(1,0,0),
则=(0,1,),=(1,1,0).设平面AA1B的法向量为n=(x,y,z),则有即令y=1,得x=-1,z=-,所以n=.
设E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,),
所以所以E(1-λ,2λ,λ),
所以=(1-λ,2λ,λ).由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=.
所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB,且E为BC1的中点.课时检测（八） 空间中直线、平面的平行
1.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 ( )
A.平行或直线在平面内 B.不能确定
C.相交但不垂直 D.垂直
2.(多选)已知平面α与平面β平行,若n=(1,-2,4)是平面α的一个法向量,则平面β的法向量可能为 ( )
A.(-1,2,-4) B.(-1,2,4)
C.(2,4,-8) D.(2,-4,8)
3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是 ( )
A.-3 B.-4
C.3 D.4
5.如图,在四棱锥A1 BCDE中,A1E⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,EB∥DC,DE⊥EB,EB=ED=1,
DC=2,△A1ED为等腰直角三角形,点F在棱A1C上,若点P为DB的中点,且PF∥平面A1ED,则点F的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足 ( )
A.AD=AB B.AD=AB
C.AD=AB D.AD=AB
7.(5分)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k= .
8.(5分)设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为 .
9.(5分)已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是 .
10.(5分)已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中,AB=AD=DE=CD=1,CD⊥AE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折,满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设=2,=μ,若AP∥平面DBN,则实数μ的值为 .
11.(10分)如图,已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:
(1)MN∥平面CC1D1D;(6分)
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.(4分)
12.(10分)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭,既美观又利于采光,其中一角如图所示,为多面体ABCDE A1B1C1D1,AB⊥AE,AE∥BC,AB∥ED,AA1⊥底面ABCDE,四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面,AB∥A1B1,D1E,B1B的中点分别为F,G,AB=AE=2DE=2BC=4,AA1=1.求证:FG∥平面C1CD.
13.(15分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB 若存在,确定点E的位置,若不存在,请说明理由.
课时检测(八)
1．选A 因为u·a＝2＋0－2＝0，所以u⊥a，所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．
2．选AD 设平面β的法向量为m，则由题意可得m∥n.对于A，m＝(－1,2，－4)＝－n，满足题意；对于B，设(－1,2,4)＝λ(1，－2,4)，λ无解，所以不符合题意；对于C，设(2,4，－8)＝λ(1，－2,4)，λ无解，所以不符合题意；对于D，m＝(2，－4,8)＝2n，满足题意．故选AD.
3．选A 因为＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)，所以＝－2，所以与平行．又四点不共线，所以直线AB与CD平行．
4．选A ∵α∥β，∴u1∥u2，故存在实数λ，使得u1＝λu2，即(－3，y,2)＝λ(6，－2，z)，故解得∴y＋z＝1－4＝－3.
5．选D 由题意，得A1(0,0,1)，E(0,0,0)，D(0，1,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P，不妨设F(x0，y0，z0)，因为点F在棱A1C上，所以设＝λ，λ∈[0,1]，解得x0＝2λ，y0＝λ，z0＝1－λ，所以点F的坐标为(2λ，λ，1－λ)，从而＝.由题意可知，＝(1,0,0)为平面A1ED的一个法向量，故·＝0，解得λ＝，从而点F的坐标为.故选D.
6.选B 因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，则在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC，BC，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，C1(0,0,4)，1＝(0,4,4)，设点D(x，y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4)，则＝(x，y,0)，设平面CDB1的法向量为m＝(a，b，c)，
则即
令b＝－x，则m＝(y，－x，x)．
若AC1∥平面CDB1，则·m＝0，易得＝(－3,0,4)，所以－3y＋4x＝0 ①.
由D在AB上，得＝，即4x＋3y＝12 ②，
由①②可得x＝，y＝2，即D为AB的中点，故AD＝AB.故选B.
7．解析：因为a∥b，所以m＝λn，即(4，k，k－1)＝λ，所以解得λ＝－2，k＝－2.
答案：－2
8．解析：因为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，所以v＝(－3，－6,6)＝－3(1,2，－2)＝－3u，所以v∥u，所以α∥β.
答案：平行
9．解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y.∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴
∴m＝－3.
答案：－3
10．解析：易得CD⊥DE，CD⊥DA，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD 平面ABCD，则AD⊥平面CDEF.又DE 平面CDEF，所以AD⊥DE.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，E(0,0,1)，C(0,2,0)，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，
同理可得＝＋＝＋＝＋＝.
设平面DBN的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，则n＝(－1,1，－4)．
又＝＋＝，
AP∥平面DBN，所以·n＝＋－＝0，解得μ＝3.
答案：3
11．证明：(1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，
D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由(1)知＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0,2,0)，＝(0,1，－1)，则
即＝(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.
12．证明：过点E作AA1的平行线Ez，以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，B(4,4,0)，C(4,2,0)，D(2,0,0)，B1(2,4,1)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，＝(2,0，－1)，＝(0，－2，－1)，
因为D1E，B1B的中点分别为F，G，
所以F，G，则＝(3,3,0)．
设平面C1CD的法向量为n1＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n1＝(1，－1,2)．
因为n1·＝3－3＋0＝0，所以n1⊥，
因为FG 平面C1CD，所以FG∥平面C1CD.
13．解：连接OA1，因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，
又平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O 平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.连接OB，由AB＝BC，得OB⊥AC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意可知，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，所以OB＝AC＝1，
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)，B(1,0,0)，
则＝(0,1，)，＝(1,1,0)．设平面AA1B的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令y＝1，得x＝－1，z＝－，所以n＝.
设E(x0，y0，z0)，＝λ(0≤λ≤1)，由＝(－1,2，)得(x0－1，y0，z0)＝λ(－1，2，)，
所以所以E(1－λ，2λ，λ)，
所以＝(1－λ，2λ，λ)．由OE∥平面AA1B，得·n＝0，即－1＋λ＋2λ－λ＝0，解得λ＝.所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB，且E为BC1的中点．
