1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解,体会向量法在研究几何问题中的作用.
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,=a,则向量在直线l上的投影向量= ,点P到直线l的距离PQ= = .
2.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离PQ= = = .
3.直线(平面)到平面的距离
(1)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为 的距离求解.
(2)如果两个平面α,β互相平行,可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面的距离转化为
的距离求解.
4.异面直线的距离
P,Q分别为异面直线a,b上的点,若PQ⊥a且PQ⊥b,则称PQ为异面直线a,b的公垂线段,其长定义为两异面直线间的距离.
基础落实训练
1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为 ( )
A.2 B.
C.4 D.
2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 ( )
A. B.
C. D.
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ= 计算点到直线的距离.
[针对训练]
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2.
(1)求平面PBC的法向量;
(2)求点O到平面PBC的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
求点到平面的距离的一般步骤
(1)建系:结合图形的特点,建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求向量:在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应的向量 ;
(3)求法向量:设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组,求出法向量;
(4)求距离:代入求点到平面的距离公式d=,计算出答案.
[针对训练]
2.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离.
题型(三) 异面直线的距离
[例3] 定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与A1D之间的距离是 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用向量法求异面直线间的距离
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求两异面直线公垂线的方向向量;
(3)找到连接异面直线上各一点的线段,求它的方向向量;
(4)求该线段的方向向量在公垂线方向向量上的投影向量的模,即为异面直线间的距离.
[针对训练]
3.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为 .
题型(四) 线面距与面面距
[例4] 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,
OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:
(1)直线MN与平面OCD的距离;
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
[针对训练]
4.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,
BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.
第1课时 距离问题
课前预知教材
1.(a·u)u
2.
3.(1)点P到平面α (2)点P到平面β
[基础落实训练] 1.B 2.A 3.C
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d===.
[针对训练]
1.解:建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),=(-1,0,3),
=(2,1,0),所以点M到直线B'D'的距离为
==.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2,
所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1).
(2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0),所以点O到平面PBC的距离d===,
所以点O到平面PBC的距离为.
[针对训练]
2.解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD,
OA 平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC 平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,
OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),
C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则故可设n=(1,-1,1),
所以点D到平面ABC的距离为==.
[题型(三)]
[例3] 选D 法一 设M是A1D上任意一点,过M作MN⊥AC,垂足为N,设=λ=λ-λ,=μ=μ+μ,则=-=μ+μ--λ+λ=μ+(μ-λ)+(λ-1),=+,由题意可知||=||=||=1,·=·=·=0.因为MN⊥AC,则·=0,可得[μ+(μ-λ)+(λ-1)]·(+)=μ+μ-λ=0,则λ=2μ,所以||=|μ+(μ-λ)+(λ-1)|=
==
≥,当且仅当μ=时,等号成立,所以直线AC与A1D之间的距离是.
法二 以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),
D(0,0,0),A1(1,0,1),可得=(-1,1,0),=(1,0,1),=(1,0,0).设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,
则取x=1,则y=1,z=-1,可得n=(1,1,-1),则在n上的投影向量的模就是两异面直线间的距离,为=.
[针对训练]
3.解析:取AC的中点O,连结OB,OD,则OD⊥AC,OB⊥AC,由条件可知,平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC=AC,OD 平面ACD,所以OD⊥平面ABC.如图,以O为原点,,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,),=(0,,),=(-,,0),=(-,0,),设与,垂直的向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),
则异面直线AD与BC的距离为==.
答案:
[题型(四)]
[例4] 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),
R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,
因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
则取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1===.
(2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===.
[针对训练]
4.解:∵A1B1∥AB,A1B1 平面ABE,AB 平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图,以D为坐标原点,
分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),
E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,
∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则即∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).
∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.(共49张PPT)
1.4.2
用空间向量研究距离、夹角问题
距离问题
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解,体会向量法在研究几何问题中的作用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,=a,则向量在直线l上的投影向量=_______,点P到直线l的距离PQ=________________=__________________.
(a·u)u
2.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离PQ=___________
=____________=_____________.
3.直线(平面)到平面的距离
(1)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为______________的距离求解.
(2)如果两个平面α,β互相平行,可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面的距离转化为______________的距离求解.
4.异面直线的距离
P,Q分别为异面直线a,b上的点,若PQ⊥a且PQ⊥b,则称PQ为异面直线a,b的公垂线段,其长定义为两异面直线间的距离.
点P到平面α
点P到平面β
基础落实训练
1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为 ( )
A.2 B. C.4 D.
解析:由题意可得,=(2,-1,0),=(0,-1,2),则在上的投影向量的模为==,则点A到直线BC的距离为=
=.
√
2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:依题意,=(0,1,2),又a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===.
√
3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 ( )
A. B. C. D.
解析:因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),所以=(-1,1,0),
=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则即令x=1,得y=1,z=,则n=,
所以d==,故选C.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图,已知直三棱柱ABC A1B1C1中,AA1=1,AB=4,
BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的
距离d===.
|思|维|建|模|
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ= 计算点到直线的距离.
针对训练
1.如图,在长方体ABCD A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),
D'(0,0,3),B'(2,1,3),=(-1,0,3),=(2,1,0),
所以点M到直线B'D'的距离为
==.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图,P,O分别是正四棱柱ABCD A1B1C1D1上、下底面的中心,
AB=AA1=2. (1)求平面PBC的法向量;
解:因为P,O分别是正四棱柱ABCD A1B1C1D1上、下底面的中心,
连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为
坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AA1=2,
所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2,
所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=
(-2,0,-2).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1).
(2)求点O到平面PBC的距离.
解:由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),
又=(0,2,0),
所以点O到平面PBC的距离d===,
所以点O到平面PBC的距离为.
|思|维|建|模|
求点到平面的距离的一般步骤
(1)建系:结合图形的特点,建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求向量:在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应的向量 ;
(3)求法向量:设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组,求出法向量;
(4)求距离:代入求点到平面的距离公式d=,计算出答案.
针对训练
2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离.
解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD,
OA 平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC 平面BCD,
所以OA⊥OC,则OA,OC,OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),
C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的法向量
为n=(x,y,z),
则故可设n=(1,-1,1),
所以点D到平面ABC的距离为==.
[例3] 定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,直线AC与A1D之间的距离是 ( )
A. B. C. D.
题型(三) 异面直线的距离
解析:法一 设M是A1D上任意一点,过M作MN⊥AC,垂足为N,设=λ=λ-λ,
=μ=μ+μ,则=-=μ+μ--λ+λ=μ+(μ-λ)+(λ-1),
=+,由题意可知||=||=||=1,·=·=·=0.因为MN⊥AC,
则·=0,可得[μ+(μ-λ)+(λ-1)]·(+)=μ+μ-λ=0,则λ=2μ,所以||=|μ+
(μ-λ)+(λ-1)|==
=≥,当且仅当μ=时,等号成立,所以直线AC与A1D之间的距离是.
√
法二 以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),
A1(1,0,1),可得=(-1,1,0),=(1,0,1),=(1,0,0).
设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,则
取x=1,则y=1,z=-1,可得n=(1,1,-1),则在n上的投影
向量的模就是两异面直线间的距离,为=.
|思|维|建|模|
利用向量法求异面直线间的距离
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求两异面直线公垂线的方向向量;
(3)找到连接异面直线上各一点的线段,求它的方向向量;
(4)求该线段的方向向量在公垂线方向向量上的投影向量的模,即为异面直线间的距离.
3.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为 .
针对训练
解析:取AC的中点O,连结OB,OD,则OD⊥AC,OB⊥AC,由条件可知,平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC=AC,OD 平面ACD,所以OD⊥平面ABC.如图,以O为原点,,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(,0,0),
C(0,,0),D(0,0,),=(0,,), =(-,,0),
=(-,0,),设与,垂直的向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),则异面直线AD与BC的距离为==.
[例4] 如图,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD是边长为2的
正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,
AD的中点.求: (1)直线MN与平面OCD的距离;
题型(四) 线面距与面面距
解:因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),
O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),
因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,
因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,
则CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,
RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
则
取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1=
==.
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
解:因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===.
|思|维|建|模|
线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
4.如图,在直棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面为直角梯形,
AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,
AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.
针对训练
解:∵A1B1∥AB,A1B1 平面ABE,AB 平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图,以D为坐标原点,
分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,∴B(1,2,0),
∴=(0,2,0),=(-1,-,1).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则即∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).
∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===.∵直线A1B1与
平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,∴直线A1B1与平面ABE的
距离为.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为 ( )
A.2 B. C.2 D.2
解析:因为=(2,-1,2),=(1,-2,4),所以在方向上的投影向量的模为==4.设点C到直线AB的距离为d,则d=
==.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A α,B∈α,
则点A到平面α的距离为( )
A.1 B. C. D.
√
解析:因为=(-1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,1),
所以点A到平面α的距离为=.
1
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13
14
3
4
2
3.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,则异面直线B1C1与DE的距离为 ( )
A. B. C.1 D.
解析:分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图
所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(0,2,1),B1(3,2,1),
E(3,1,0),=(-3,0,0),=(3,1,0),设B1C1与DE的
公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则
取z=1,得x=y=0,则n=(0,0,1).又=(0,2,1),所以异面
直线B1C1与DE之间的距离d===1.故选C.
√
1
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3
4
2
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为DD1的中点,
F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:由题意易知直线FC1∥平面AB1E,所以F到平面AB1E的距离
即为直线FC1到平面AB1E的距离.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),F,C1(0,1,1),所以
=,=(0,1,1),=,设平面AB1E的法向量n
=(x,y,z),则即取z=2,则x=1,y=-2,
所以n=(1,-2,2),所以F到平面AB1E的距离d===.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:如图,取A1C1的中点G,连接FG,以F为坐标原点,FB,
FC,FG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则F(0,0,0),A1(0,-1,6),E(,0,3),C1(0,1,6),所以
=(0,-1,6),=(,0,3),=(0,1,6),设平面A1EF的法向量
为n=(x,y,z),所以令z=1,解得x=-,
y=6,所以平面A1EF的一个法向量为n=(-,6,1),
所以点C1到平面A1EF的距离d==.
√
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6.如图,在三棱锥A BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,
E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,
则O到直线EF的距离为 ( )
A.2 B.1 C. D.
解析:以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、
z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),
D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4),得O(2,2,2),=(-3,0,4),
取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,
a·u=,所以点O到直线EF的距离为 =.
√
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7.(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
√
√
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解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),
D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,
O,C(1,1,0),所以=(-1,0,0),=.
设∠ABE=θ,则cos θ==,sin θ=
=,故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.
=,平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.
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=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到
平面A1BD的距离d3===.
=(1,0,-1)=,所以D1C∥A1B,又因为D1C 平面A1BD,A1B 平面A1BD,
所以D1C∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD.又D1C∩B1C=C,D1C，B1C 平面B1CD1,
所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.
因为=++,所以=.又=(1,0,0),则=,所以点P到AB的距离d===,故D错误.
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8.(5分)在四棱锥S ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为 .
解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则
所以x=y=0,所以取n=(0,0,1),所以此四棱锥的高h===5.
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9.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值:
_______________________________________.
解析:因为=(1,-1,m-1),=(-1,-1,1),所以点C到直线AB的距离d==≥,解得1-≤m≤1+.
1(答案不唯一,只要1-≤m≤1+即可)
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10.(5分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被
平面AEC1F所截而得的,其中四边形AEC1F为平行四边形,
AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.设过点B平行于平面AEC1F的平面为α,则平面AEC1F与平面α之间的距离为 .
解析:由题意,以D为原点,DA,DC,DF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(2,0,0),
B(2,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,t),因为四边形AEC1F为平行四边形,可得=,即(-2,0,t)=(-2,0,2),所以t=2,即F(0,0,2),则=(0,4,1),=(-2,0,2).
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设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,
可得y=-,z=1,所以n=,
由=(0,0,1),可得点B到平面AEC1F的距离为d===.
因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α,
所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离,
即平面AEC1F与平面α之间的距离为.
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11.(5分)如图,四棱锥P ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,
M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .
解析:连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心,取BC
中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,则EP⊥平面ABCD,以点E为原点,分别以,,为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,且底面ABCD的边长为2,△PBC是等边三角形,则D(2,1,0),M(1,-1,0),C(0,1,0),
P(0,0,),则N,O(1,0,0),则=,
=,=(1,1,0).
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设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),则
解得令z=7,则y=-,x=2,所以n=(2,-,7),
且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到
平面DMN的距离,则d===.
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12.(10分)如图,长方体ABCD A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),
C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离.
解:因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点,则E(0,2,1),F(1,0,1).
又=(-1,0,1),=(1,0,-1),且直线CE与A'F无公共点,
所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离.
又因为=(-1,0,1),=(0,2,-1),所以在上的投影向量的模为
===.
所以点F到直线CE的距离d===.
因此CE与A'F之间的距离为.
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13.(10分)如图,在直二面角D AB E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离.
解:取AB的中点O,连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形,所以OE⊥AB,OE=OA=1.
由已知得,平面ABCD⊥平面AEB,平面ABCD∩平面AEB=AB,
所以OE⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC),则C(0,1,2),A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),
所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则即
令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===.
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14.(15分)如图,已知ABCD是矩形,点P为平面ABCD外一点,
PA⊥平面ABCD,若点E为PB的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:AE⊥平面PBC;(6分)
解:证明:已知ABCD是矩形,所以AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,
AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,如图,以A为原点,
AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E,所以=,=(0,2,0),=(1,0,-1),则·=0+0
+0=0,·=+0-=0,故AE⊥BC,AE⊥PB,又BC∩PB=B,
BC,PB 平面PBC,所以AE⊥平面PBC.
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(2)在边BC上是否存在一点G,使点D到平面PAG的距离为
若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.(9分)
解:设G(1,a,0)且a∈[0,2],
设平面PAG的法向量为n=(x,y,z),又=(0,0,1),=(1,a,0),
则解得
令y=1,则n=(-a,1,0),
又=(0,2,0),则点D到平面PAG的距离为==,整理得a2=1,
解得a=1或a=-1(舍去),
故BG=||=1.课时检测（十） 距离问题
1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为 ( )
A.2 B.
C.2 D.2
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为 ( )
A.1 B.
C. D.
3.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,则异面直线B1C1与DE的距离为 ( )
A. B.
C.1 D.
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为 ( )
A. B.
C. D.
5.在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图,在三棱锥A BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 ( )
A.2 B.1
C. D.
7.(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 ( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
8.(5分)在四棱锥S ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为 .
9.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值: .
10.(5分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得的,其中四边形AEC1F为平行四边形,AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.设过点B平行于平面AEC1F的平面为α,则平面AEC1F与平面α之间的距离为 .
11.(5分)如图,四棱锥P ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .
12.(10分)如图,长方体ABCD A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),
D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离.
13.(10分)如图,在直二面角D AB E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,
其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离.
14.(15分)如图,已知ABCD是矩形,点P为平面ABCD外一点,PA⊥平面ABCD,若点E为PB的中点,
PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:AE⊥平面PBC;(6分)
(2)在边BC上是否存在一点G,使点D到平面PAG的距离为 若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.(9分)
课时检测(十)
1．选B 因为＝(2，－1,2)，＝(1，－2,4)，所以在方向上的投影向量的模为＝＝4.设点C到直线AB的距离为d，则d＝ ＝＝.
2．选B 因为＝(－1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，所以点A到平面α的距离为＝.
3.选C 分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,2,1)，B1(3,2，1)，E(3,1,0)，＝(－3，0,0)，＝(3,1,0)，设B1C1与DE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得x＝y＝0，则n＝(0,0,1)．又＝(0,2,1)，所以异面直线B1C1与DE之间的距离d＝＝＝1.故选C.
4.选D 由题意易知直线FC1∥平面AB1E，所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，B1(1,1,1)，F，C1(0,1,1)，所以＝，＝(0,1,1)，＝，设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)，则即取z＝2，则x＝1，y＝－2，所以n＝(1，－2,2)，所以F到平面AB1E的距离d＝＝＝.
5.选C 如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标原点，FB，FC，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0，0,0)，A1(0，－1,6)，E(，0,3)，C1(0，1,6)，所以＝(0，－1，6)，＝(，0,3)，＝(0,1,6)，设平面A1EF的法向量为n＝(x，y，z)，所以令z＝1，解得x＝－，y＝6，所以平面A1EF的一个法向量为n＝(－，6,1)，所以点C1到平面A1EF的距离d＝＝.
6.选C 以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6,0,0)，C(0,6,0)，D(0，0,6)，E(3,0,0)，F(0,0,4)，得O(2，2,2)，＝(－3,0,4)，取a＝＝(－1,2,2)，u＝＝(－3,0,4)＝，则a2＝9，a·u＝，所以点O到直线EF的距离为 ＝.
7.选BC 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1，1,1)，D1(0,1,1)，E，
O，C(1,1,0)，
所以＝(－1,0,0)，＝.
设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝，故点A到直线BE的距离d1＝||sin θ＝1×＝，故A错误.＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1,1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确.＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)．
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.
＝(1,0，－1)＝，所以D1C∥A1B，
又因为D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD.
又D1C∩B1C＝C，D1C，B1C 平面B1CD1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确．因为＝＋＋，所以＝.
又＝(1,0,0)，则＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝，故D错误．
8．解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以x＝y＝0，所以取n＝(0,0，1)，所以此四棱锥的高h＝＝＝5.
答案：5
9．解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1,1)，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋.
答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可)
10．解析：由题意，以D为原点，DA，DC，DF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(2,0,0)，B(2,4,0)，E(2，4,1)，C1(0,4,3)，
设F(0,0，t)，因为四边形AEC1F为平行四边形，可得＝，即(－2,0，t)＝(－2,0,2)，所以t＝2，即F(0,0,2)，则＝(0,4,1)，＝(－2,0,2)．
设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)，则
取x＝1，可得y＝－，z＝1，
所以n＝，由＝(0,0,1)，可得点B到平面AEC1F的距离为d＝＝＝.
因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α，
所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离，即平面AEC1F与平面α之间的距离为.
答案：
11．解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，则D(2,1,0)，M(1，－1,0)，C(0，1,0)，P(0,0，)，则N，O(1，0,0)，则＝，＝，＝(1,1,0)．设平面DMN的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得令z＝7，则y＝－，x＝2，所以n＝(2，－，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d＝＝＝.
答案：
12．解：因为E和F分别是棱DD′和BB′的中点，
则E(0,2,1)，F(1,0,1)．又＝(－1,0,1)，
＝(1,0，－1)，且直线CE与A′F无公共点，
所以CE∥A′F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A′F之间的距离．
又因为＝(－1,0,1)，＝(0,2，－1)，
所以在上的投影向量的模为＝＝＝.所以点F到直线CE的距离d＝＝＝.因此CE与A′F之间的距离为.
13．解：取AB的中点O，连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形，所以OE⊥AB，OE＝OA＝1.
由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB＝AB，
所以OE⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC)，则C(0,1,2)，A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，所以＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.
14．解：(1)证明：已知ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,1)，E，
所以＝，＝(0,2,0)，＝(1,0，－1)，则·＝0＋0＋0＝0，·＝＋0－＝0，故AE⊥BC，AE⊥PB，又BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
(2)设G(1，a,0)且a∈[0,2]，
设平面PAG的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0,0,1)，＝(1，a,0)，
则解得令y＝1，则n＝(－a,1,0)，
又＝(0,2,0)，则点D到平面PAG的距离为＝＝，整理得a2＝1，
解得a＝1或a＝－1(舍去)，故BG＝||＝1.
