1.1.1集合的含义 导学案（含答案）——高中数学人教A版（2019）必修第一册

1.1.1　集合的含义
学习目标
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.
2.体会元素与集合间的“从属关系”.
3.记住常用数集的表示符号并会应用．
学习重难点
重点： 集合的定义和集合中元素的特征．
难点： 元素与集合关系的应用.
学习过程
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P2～3，思考并完成以下问题
集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？
元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合． (　　)
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．(　　)
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)
2．下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
A．0∈N　　　　　　　　 B．π∈Q
C.∈Q D．－1 Z
3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
二、新知精讲
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的_______叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的________是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：_________、___________、_____________.
[点睛]　集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A中的元素 a ___A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a_ ___A a不属于集合A
[点睛]　对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
(2)∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，例如R∈0是错误的．
3．常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 _______ _________ _______ ______ _______
三、题型探究
题型一 集合的基本概念
[例1]　下列各组对象，能构成一个集合的是(　　)
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④　　　　　　　　 B．②③④
C．②③ D．②④
[方法总结]
判断一组对象能否组成集合的标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[活学活用]
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________．(填序号)
题型二 元素与集合的关系
[例2]　(1)下列关系中，正确的有(　　)
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[方法总结]
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[活学活用]
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a B，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；
－5________A；17________B.
题型三 集合中元素的特性及应用（一题多变、发散思维）
[例3]　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[一题多变]
1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
[方法总结]
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
四、易错误区
忽略集合元素中的互异性而出错
[典例]　含有三个元素的集合也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．
[易错警示]　
错误原因 纠错心得
错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素. 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论.
五、达标检测
1．下列各组集合，表示相等集合的是(　　)
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{3,2}，N＝{2,3}；
③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A．①　　　　　　　　 B．②
C．③ D．以上都不对
2．已知集合M＝{1，a}，则实数a满足的条件是(　　)
A．a∈R B．a∈Q
C．a＝1 D．a≠1
3．集合{x∈N|2x－5＜0}中所有元素的和为________．
4．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＋q＝________.
六、本课小结
1.研究对象能否构成集合，就要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体.
2.集合元素的三个特征
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的
②互异性：给定的集合，它的任何两个元素都是不同的
③无序性：集合中元素没有顺序
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．答案：A
3．答案：A
4．答案：2
新知精讲
1.(1)研究对象 (2)总体 (3) 元素 (4) 确定性、无序性、互异性
2.∈
3. N N*或N＋ Z Q R
题型探究
[例1][解析]　①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．
[答案]　B
[例2][解析]　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2) 由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
[答案] 　 C 0,1,2
[例3][解析]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案]　－1
[一题多变]
1．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝，或a＝－.
2．解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3．解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．
综上可知，a＝0.
活学活用
1．解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．
答案：①③
2．解析：选D　∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
3．解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.
所以－5 A.
令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈B.
答案：∈　 　∈
易错误区
[错解]　∵＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得或
[正解]　∵＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得或
由集合中元素的互异性，得a≠1，∴a＝－1，b＝0.
达标检测
1．解析：①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)；②中由元素的无序性知是相等集合；
③中M表示一个元素点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
答案：B
2．解析：由元素的互异性可知，a≠1.
答案：D
3．解析：由2x－5＜0得x＜，
∵x∈N，
∴x＝0,1,2，
∴元素之和为3.
答案：3
4．解析：由得：
∴p＋q＝0.
答案：0