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2025秋沪科版九上数学第21章综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是( B )
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x
2．将二次函数y＝2(x－1)2－3的图象向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是( C )
A．(－2，－3) B．(4，3) C．(4，－3) D．(1，0)
3．已知二次函数y＝ax2－1的图象经过点(1，－2)，那么a的值为( D )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( D )
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
5．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( A )
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
6．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( D )
A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( B )
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
8．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( C )
A．a＞1 B．a＞0
C．－1＜a≤1 D．－1＜a＜1
9．函数y＝与y＝kx2－k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( D )
10．如图，四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A＝60°，垂直于AD的直线EF从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形ABCD的两边分别交于点E，F(点E在点F的上方)，若△AEF的面积为y，直线EF的运动时间为x秒(0≤x≤4)，则能大致反映y与x的函数关系的图象是( C )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．抛物线y＝x2＋2的顶点坐标为__(0，2)__．
12．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝__－1__．
13．某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满定函数关系式y＝－x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为__1000__元．
14．函数y＝其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G.
(1)当m＝时，图象G与x轴的交点坐标为__(3，0)__．
(2)若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为__3或－1__．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．求抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、对称轴、顶点坐标．
解：∵抛物线y＝x2＋2x－3＝(x＋2)2－5中，a＝＞0，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－5)
16．已知点(－2，6)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．判断点(－4，－3)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
解：点(－4，－3)不在这个函数的图象上．理由：∵由点(－2，6)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，得6＝，∴k＝－12，∴y＝－，当x＝－4时，y＝－＝3≠－3，即点(－4，－3)不在这个函数的图象上
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知二次函数y＝(x－2)2－4.
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．
解：(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
描点、连线如图 (2)由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4
18．已知二次函数y＝－x2＋2x－m(m是常数).
(1)若该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴的其中一个交点坐标为(－1，0)，求一元二次方程－x2＋2x－m＝0的解．
解：(1)∵二次函数y＝－x2＋2x－m的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程－x2＋2x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即22－4×(－1)×(－m)＞0，解得m＜1 (2)二次函数y＝－x2＋2x－m的图象与x轴的其中一个交点坐标为(－1，0)，∴－1－2－m＝0，解得m＝－3，∴一元二次方程－x2＋2x－m＝0为－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或3
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图①，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.5 m；建立如图②所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4 m，身高1.9 m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.5)，设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.5，将(0，1)代入得：1＝25a＋3.5，解得a＝－，∴y＝－(x－5)2＋3.5＝－x2＋x＋1，答：抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1 (2)当y＝1.9时，－x2＋x＋1＝1.9，解得x＝1或x＝9，∴她与哥哥的水平距离为4－1＝3(m)或9－4＝5(m)，答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3 m或5 m
20．如图，已知A1，A2，A3，…An，是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……△BnPnBn＋1的面积为Sn.求：
(1)S1＝________；
(2)S10＝________；
(3)S1＋S2＋S3＋…＋Sn的和．
解：(1) (2)S10＝(－)＝ (3)∵S1＝×1×(y1－y2)＝×1×(1－)＝(1－)；∴S2＝×1×(y2－y3)＝×(－)；S3＝×1×(y3－y4)＝×(－)；…Sn＝(－)，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝
六、(本题满分12分)
21．如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A(1，m)和点B(n，－2).
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．
解：(1)由题意得：m＝＝6，－2＝，∴m＝6，n＝－3，∴A(1，6)，B(－3，－2)，由题意得解得∴一次函数的表达式为y＝2x＋4 (2)当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围为x＞1 (3)一次函数y＝2x＋4的图象平移后为y＝2x，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y＝2x与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k＜0，∴当k＝－1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为y＝－(答案不唯一)
七、(本题满分12分)
22．某生产消毒液厂家，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%(10－x)，下表是某4个月的销售记录，每月销售量y(万件)与该月销售价x(元/件)之间成一次函数关系(6≤x＜9).
月份 … 二月 三月 四月 五月 …
销售价x(元/件) … 6 7 7.6 8.5 …
该月销售量y(万件) … 30 20 14 5 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
(3)当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
(纯收入＝销售总金额－成本＋政府当月补贴)
解：(1)∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，∴设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，则解得∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋90(6≤x＜9) (2)当x＝8时，y＝－10×8＋90＝10(万件)，∵a与x之间满足关系式：a＝20%(10－x)，∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为10a＝10×20%(10－8)＝4(万元)，答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元 (3)设该月的纯收入w万元，则w＝y[(x－6)＋0.2(10－x)]＝(－10x＋90)(0.8x－4)＝－8x2＋112x－360＝－8(x－7)2＋32，∵－8＜0，6≤x＜9，∴当x＝7时，w最大，最大值为32万元，答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大
八、(本题满分14分)
23．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).
(1)求b，c，m的值；
(2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)若第(2)问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，则四边形DEFG的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：________，最大值：________.
解：(1)把A(－1，0)，C(0，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴这个抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5，令y＝0，则－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝－1，∴B(5，0)，∴m＝5 (2)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴对称轴为x＝2，设D(x，－x2＋4x＋5)，∵DE∥x轴，DG∥y轴，EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2(－x2＋4x＋5)＋2(x－4＋x)＝－2x2＋12x＋2＝－2(x－3)2＋20，∵－2<0，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3，8) (3)第(2)问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，∴四边形DEFG的周长＝2(－n2＋4n＋5)＋2(n－4＋n)＝－2n2＋12n＋2＝－2(n－3)2＋20，∵≤3≤4，∴当n＝3时，四边形DEFG的周长最大，最大值20.∵|3－|<|3－4|，∴当n＝4时，四边形DEFG的周长最小，最小值18，∴最小值18，最大值20
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2025秋沪科版九上数学第21章综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是( B )
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x
2．将二次函数y＝2(x－1)2－3的图象向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是( C )
A．(－2，－3) B．(4，3) C．(4，－3) D．(1，0)
3．已知二次函数y＝ax2－1的图象经过点(1，－2)，那么a的值为( D )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( D )
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
5．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( A )
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
6．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( D )
A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( B )
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
8．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( C )
A．a＞1 B．a＞0
C．－1＜a≤1 D．－1＜a＜1
9．函数y＝与y＝kx2－k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( D )
10．如图，四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A＝60°，垂直于AD的直线EF从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形ABCD的两边分别交于点E，F(点E在点F的上方)，若△AEF的面积为y，直线EF的运动时间为x秒(0≤x≤4)，则能大致反映y与x的函数关系的图象是( C )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．抛物线y＝x2＋2的顶点坐标为__(0，2)__．
12．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝__－1__．
13．某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满定函数关系式y＝－x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为__1000__元．
14．函数y＝其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G.
(1)当m＝时，图象G与x轴的交点坐标为__(3，0)__．
(2)若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为__3或－1__．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．求抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、对称轴、顶点坐标．
解：∵抛物线y＝x2＋2x－3＝(x＋2)2－5中，a＝＞0，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－5)
16．已知点(－2，6)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．判断点(－4，－3)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
解：点(－4，－3)不在这个函数的图象上．理由：∵由点(－2，6)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，得6＝，∴k＝－12，∴y＝－，当x＝－4时，y＝－＝3≠－3，即点(－4，－3)不在这个函数的图象上
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知二次函数y＝(x－2)2－4.
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．
解：(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
描点、连线如图 (2)由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4
18．已知二次函数y＝－x2＋2x－m(m是常数).
(1)若该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴的其中一个交点坐标为(－1，0)，求一元二次方程－x2＋2x－m＝0的解．
解：(1)∵二次函数y＝－x2＋2x－m的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程－x2＋2x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即22－4×(－1)×(－m)＞0，解得m＜1 (2)二次函数y＝－x2＋2x－m的图象与x轴的其中一个交点坐标为(－1，0)，∴－1－2－m＝0，解得m＝－3，∴一元二次方程－x2＋2x－m＝0为－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或3
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图①，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.5 m；建立如图②所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4 m，身高1.9 m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.5)，设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.5，将(0，1)代入得：1＝25a＋3.5，解得a＝－，∴y＝－(x－5)2＋3.5＝－x2＋x＋1，答：抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1 (2)当y＝1.9时，－x2＋x＋1＝1.9，解得x＝1或x＝9，∴她与哥哥的水平距离为4－1＝3(m)或9－4＝5(m)，答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3 m或5 m
20．如图，已知A1，A2，A3，…An，是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……△BnPnBn＋1的面积为Sn.求：
(1)S1＝________；
(2)S10＝________；
(3)S1＋S2＋S3＋…＋Sn的和．
解：(1) (2)S10＝(－)＝ (3)∵S1＝×1×(y1－y2)＝×1×(1－)＝(1－)；∴S2＝×1×(y2－y3)＝×(－)；S3＝×1×(y3－y4)＝×(－)；…Sn＝(－)，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝
六、(本题满分12分)
21．如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A(1，m)和点B(n，－2).
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．
解：(1)由题意得：m＝＝6，－2＝，∴m＝6，n＝－3，∴A(1，6)，B(－3，－2)，由题意得解得∴一次函数的表达式为y＝2x＋4 (2)当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围为x＞1 (3)一次函数y＝2x＋4的图象平移后为y＝2x，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y＝2x与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k＜0，∴当k＝－1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为y＝－(答案不唯一)
七、(本题满分12分)
22．某生产消毒液厂家，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%(10－x)，下表是某4个月的销售记录，每月销售量y(万件)与该月销售价x(元/件)之间成一次函数关系(6≤x＜9).
月份 … 二月 三月 四月 五月 …
销售价x(元/件) … 6 7 7.6 8.5 …
该月销售量y(万件) … 30 20 14 5 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
(3)当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
(纯收入＝销售总金额－成本＋政府当月补贴)
解：(1)∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，∴设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，则解得∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋90(6≤x＜9) (2)当x＝8时，y＝－10×8＋90＝10(万件)，∵a与x之间满足关系式：a＝20%(10－x)，∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为10a＝10×20%(10－8)＝4(万元)，答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元 (3)设该月的纯收入w万元，则w＝y[(x－6)＋0.2(10－x)]＝(－10x＋90)(0.8x－4)＝－8x2＋112x－360＝－8(x－7)2＋32，∵－8＜0，6≤x＜9，∴当x＝7时，w最大，最大值为32万元，答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大
八、(本题满分14分)
23．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).
(1)求b，c，m的值；
(2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)若第(2)问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，则四边形DEFG的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：________，最大值：________.
解：(1)把A(－1，0)，C(0，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴这个抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5，令y＝0，则－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝－1，∴B(5，0)，∴m＝5 (2)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴对称轴为x＝2，设D(x，－x2＋4x＋5)，∵DE∥x轴，DG∥y轴，EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2(－x2＋4x＋5)＋2(x－4＋x)＝－2x2＋12x＋2＝－2(x－3)2＋20，∵－2<0，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3，8) (3)第(2)问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，∴四边形DEFG的周长＝2(－n2＋4n＋5)＋2(n－4＋n)＝－2n2＋12n＋2＝－2(n－3)2＋20，∵≤3≤4，∴当n＝3时，四边形DEFG的周长最大，最大值20.∵|3－|<|3－4|，∴当n＝4时，四边形DEFG的周长最小，最小值18，∴最小值18，最大值20
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