(共93张PPT)
万有引力定律及其应用(综合融通课)
第 4 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一) 开普勒行星运动定律
3
逐点清(二) 宇宙速度
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)
万有引力与重力的关系问题
CONTENTS
目录
5
逐点清(四) 天体质量和密度的计算
6
课时跟踪检测
课前基础先行
一、开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个焦点上
椭圆
面积
三次方
二次方
续表
2．适用条件
(1)公式适用于_____间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球
_____间的距离，如图所示。
质点
球心
三、宇宙速度
第一宇宙速度 第一宇宙速度又叫_____速度，是人造卫星的最小_____速度，其数值为____km/s
第二宇宙速度 使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____
km/s，大致为第一宇宙速度的____倍
第三宇宙速度 使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____
km/s
环绕
发射
7.9
地球
11.2
太阳
16.7
情境创设
一颗卫星围绕地球运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点，运动示意图如图所示。
√
×
√
(4)开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律。 ( )
(5)卫星在B点的速度应大于11.2 km/s。 ( )
(6)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。 ( )
(7)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。 ( )
×
×
√
×
(8)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 ( )
(9)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。 ( )
(10)开普勒在牛顿定律的基础上，推导出了行星运动的定律。 ( )
(11)开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律。( )
√
√
×
√
逐点清(一)
开普勒行星运动定律
课堂
1．[对开普勒第一定律的理解]
(多选)下列说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D．太阳是静止不动的
|题|点|全|练|
√
√
解析：太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；
行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；
椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；
太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。
2．[开普勒第二定律的应用]
(多选)如图所示是行星N绕恒星M运动情况示意图，下列说法正确的是( )
A．速度最大点是A点
B．速度最大点是C点
C．N从A到B做减速运动
D．N从B到A做减速运动
√
√
解析：由开普勒第二定律可知，近恒星处行星速度大而远恒星处速度小，故A点速度最大，B点速度最小，所以由A至B速度减小，由B至A速度增大，故A、C正确。
√
|精|要|点|拨|
逐点清(二) 宇宙速度
课堂
|题|点|全|练|
√
√
√
√
|精|要|点|拨|
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
逐点清(三)
万有引力与重力的关系问题
课堂
2．不同位置处重力加速度的比较
地面 地下 天上
续表
考法全训
考法1 万有引力与重力的大小关系
1．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是( )
√
√
考法2 天体表面的重力加速度的计算
A．4.0×108 m/s2 B．6.0×1010 m/s2
C．1.2×1011 m/s2 D．2.0×1013 m/s2
√
3．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是( )
√
考法3 地球表面某高度和某深度的重力加速度
逐点清(四)
天体质量和密度的计算
课堂
方法1 “自力更生”法(g－R)
√
方法2 “借助外援”法(T－r)
√
课时跟踪检测
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一、立足基础，体现综合
1．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量 B．向心力大小
C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小
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2．(2024·广州模拟预测)2023年10月26日，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。如图所示，已知空间站在距地球表面高度约为400 km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
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A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期，则可以计算出地球的质量
C．“神舟十七号”需先进入空间站所在的轨道，再加速追上空间站完成对接
D．空间站在轨运行时，舱内航天员的加速度为0
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解析：第一宇宙速度是最大的环绕速度，空间站绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，A错误；
“神舟十七号”需先进入低于空间站所在的轨道，再加速做离心运动追上空间站完成对接，C错误；
空间站在轨运行时，舱内航天员做匀速圆周运动，则加速度不为0，D错误。
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3．(2024年1月·甘肃高考适应性演练)某星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则一物体在该星球和地球表面的重量比约为( )
A．3 B．30
C．900 D．9 000
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4．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)和中圆轨道(MEO)，如图所示。以下关于北斗导航卫星的说法正确的是( )
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A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相同
B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度
C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方
D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度
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倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；
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6．(多选)天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是( )
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A．图中两阴影部分的面积不相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．探测器在P点的加速度大于在N点的加速度
解析：根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是题图中两阴影部分不在同一轨道，故面积不相等，故A正确；
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从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器的轨道半长轴变小，根据开普勒第三定律可知周期变小，故B错误；
从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器做向心运动，需要减速，探测器机械能变小，故C错误；
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二、注重应用，强调创新
10．(2024年1月·安徽高考适应性演练)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面相距很近(可视为相切)，卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为( )
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12．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是( )
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13．(2024·辽阳统考)(多选)假设某探月航天器先绕地球表面附近做匀速圆周运动，周期为T1，线速度大小为v1，然后飞向月球，绕月球表面附近做匀速圆周运动，周期为T2，线速度大小为v2，已知地球的质量大于月球的质量，地球的半径为月球半径的4倍，地球与月球均视为质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是( )
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A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
解析：恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；
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4课时跟踪检测(二十二) 万有引力定律及其应用
一、立足基础，体现综合
1．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
2．(2024·广州模拟预测)2023年10月26日，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。如图所示，已知空间站在距地球表面高度约为400 km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期，则可以计算出地球的质量
C．“神舟十七号”需先进入空间站所在的轨道，再加速追上空间站完成对接
D．空间站在轨运行时，舱内航天员的加速度为0
3．(2024年1月·甘肃高考适应性演练)某星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则一物体在该星球和地球表面的重量比约为( )
A．3 B．30
C．900 D．9 000
4．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)和中圆轨道(MEO)，如图所示。以下关于北斗导航卫星的说法正确的是( )
A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相同
B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度
C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方
D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度
5．我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知万有引力常量为G，由此可知地球的质量为( )
A. B.
C. D.
6．(多选)天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是( )
A．图中两阴影部分的面积不相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．探测器在P点的加速度大于在N点的加速度
7.若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，航天员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度ρ为( )
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
8.如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球之间的万有引力大小约为(已知引力常量为G)( )
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.04
9．(2023·山东高考)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
二、注重应用，强调创新
10．(2024年1月·安徽高考适应性演练)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面相距很近(可视为相切)，卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
11．如图所示为某卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，且与圆形轨道Ⅰ和Ⅲ分别相切于P、Q点，两圆形轨道的半径之比为1∶2，则下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行周期之比为∶
B．卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行周期之比为3∶8
C．卫星在轨道Ⅱ上经过P、Q两点时的速度大小之比为1∶4
D．卫星在轨道Ⅱ上经过P、Q两点时的加速度大小之比为2∶1
12．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是( )
13．(2024·辽阳统考)(多选)假设某探月航天器先绕地球表面附近做匀速圆周运动，周期为T1，线速度大小为v1，然后飞向月球，绕月球表面附近做匀速圆周运动，周期为T2，线速度大小为v2，已知地球的质量大于月球的质量，地球的半径为月球半径的4倍，地球与月球均视为质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是( )
A．2v1B．T1<8T2
C．地球与月球质量的比值为64
D．地球与月球平均密度的比值为
14．(2023·湖南高考)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( )
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
课时跟踪检测(二十二)
1．选C 根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
2．选B 第一宇宙速度是最大的环绕速度，空间站绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，A错误；根据G＝mr，空间站的轨道半径已知，若再已知空间站的运行周期，则可以计算出地球的质量，B正确；“神舟十七号”需先进入低于空间站所在的轨道，再加速做离心运动追上空间站完成对接，C错误；空间站在轨运行时，舱内航天员做匀速圆周运动，则加速度不为0，D错误。
3．选A 设中心天体质量为M，由万有引力提供重力得G＝mg，解得重力加速度g＝，该星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则该星球与地球表面的重力加速度之比为3∶1，即一物体在该星球和地球表面的重量比约为3。故选A。
4．选A 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星的运行速度大小为v，引力常量为G；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有G＝m，得v＝，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有G＝ma，得a＝G，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星的运行轨道半径，由v＝可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D错误。
5．选C 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝mr2，又由开普勒第三定律可知r3＝pT2，联立解得M＝，C项正确。
6．选AD 根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是题图中两阴影部分不在同一轨道，故面积不相等，故A正确；从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的轨道半长轴变小，根据开普勒第三定律可知周期变小，故B错误；从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器做向心运动，需要减速，探测器机械能变小，故C错误；根据公式＝ma，可得探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，故D正确。
7．选C 设地球质量为M，飞船运动半径为r，对飞船研究可知G＝mr，解得r＝，由几何关系可知R＝，则地球密度ρ＝，V＝πR3，解得ρ＝，故选C。
8．选D 由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G＝，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝G＝，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G＝，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04，D正确。
9．选C 设月球所在高度处重力加速度为g′，由F引＝得，在地球表面附近g＝，同理在月球所在高度处g′＝，由于r＝60R，则g′＝g，对月球由牛顿第二定律得m′g′＝m′r2，解得T＝120π，故C正确。
10．选A 设星球的半径为R，卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1＝，a2＝，由开普勒第三定律得＝＝k，整理得R＝，星球表面的重力加速度为gc，根据万有引力等于重力得G＝mgc，又星球的质量M＝ρR3，联立得ρ＝＝，故选A。
11．选B 由开普勒第三定律得＝＝，解得＝，＝，故A错误，B正确；由开普勒第二定律得RvPΔt＝×2RvQΔt，解得＝，故C错误；由牛顿第二定律得G＝maP，G＝maQ，联立解得＝，故D错误。
12．选B 若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得＝mg′，得到加速度g′＝，随着距离增大，加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心r～R范围内的球壳对物体没有引力，那么地球对其产生的引力就是半径为r的中心球体对其产生的引力，因此g″＝＝＝Gρ·πr，即加速度与距离成正比，故选B。
13．选BD 由万有引力提供向心力可知G＝m，解得v＝，故＝＝>，故2v1>v2，A错误；由T＝可知＝＝<，故T1<8T2，B正确；由万有引力提供向心力可知G＝m，解得M＝，故＝＝64，C错误；由上述分析可知ρ＝＝＝，得＝，D正确。
14．选B 恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由万有引力提供向心力可得＝m，整理得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝R3ρ，得R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝2G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。
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