教案设计
题目《 24.4弧长和扇形面积 》
一、教案背景1、面向学生：中学 2、学科： 数学（新人教版教材） 年级：九年级 3、课时：第1课时4、学生准备： 查找与本节课有关的资料。
二、教学目标1、知识与技能：①理解弧长和扇形面积公式。②会计算弧长、扇形的面积。 2、过程与方法： 通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程。通过运用弧长公式、扇形面积公式，发展学生的应用意识。3、情感、态度与价值观：①通过计算，提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力；②通过介绍扇面的文化，渗透艺术文化熏陶和情感的教育。③体会数学与实际生活的密切联系，充分认识学好数学的重要性，树立正确的价值观。
三、教材分析本节课关键是理解1°弧长公式和1°扇形面积公式。理解弧长公式和扇形面积公式推导，让学生体验知识的形成过程。1、重点：弧长、扇形面积公式的导出及应用。2、难点：推导弧长和扇形面积公式的过程。
四、教学方法自主学习——合作交流——汇报展示——解疑释难——当堂训练
五、教学过程
环 节 师生活动 预设学生行为 设计意图
课前延伸1、圆的周长；2、圆的面积；3、圆弧。 课前和部分同学进行交流。 学生和老师共同回顾。 教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备。
活动一：课堂导入（2分钟）1、糊纸扇的问题引入：怎样求扇形的面积？怎样求周长？2、齐读学习目标: 教师演示课件，提出问题. 学生观察画面，根据生活体验回答回答问题。 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分。直观教学，引出课题，从而确立学习目标
活动二：自主学习，合作探究(25分钟）探究1：弧长的计算问题引领：1、半径为R的圆的周长计算公式是 ，此时圆的周长（弧长）所对的圆心角是 。在半径为R的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是 。2°的圆心角所对的弧长是 。 n°的圆心角所对的弧长是 。2、在得到的半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式中，n的意义是什么？哪些量决定了弧长？3、新知应用: 请求出下图中弯形管道的展直长度L？（π取3.14，结果取整数。） 探究2：扇形面积的计算问题引领：1、认识概念： 是扇形.2、写出半径为R的圆的面积公式 ，此时圆的面积所对的圆心角是 。如果圆的半径为R，那么， 圆心角1°的扇形面积等于 ；圆心角2°的扇形面积等于 ；圆心角n°的扇形面积等于 ；3、在得到的半径为R的圆中，n°圆心角所对的扇形面积计算公式中，n的意义是什么？哪些量决定了扇形面积？如图，若OA=0.6m，∠AOB=120°，求扇形OAB的面积。2、精讲点拨：探究3：P112页例2完成以下问题：问题引领：1、请在图中标出截面半径0.6m和水高0.3m。2、观察截面上有水部分图形的形状，思考如何求它的面积？3、请完成解答过程：(,π=3.14，结果保留小数点后两位。)解：分析：要求图中阴影（弓形）面积，没有 ( http: / / www.21cnjy.com )直接的公式，需要转化为图形组合的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差。容易想到做辅助线利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形面积，问题得到解决。解：连接OA，OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D,连接AC,则AD=BD.∵OC=0.6，CD=0.3，∴OD=OC－CD=0.3,∴OD= CD∵AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC=AO=OC.∴∠AOD=60°,从而∠AOB=120°S扇形OAB=在Rt⊿AOD中∵OA=0.6,OD=0.3∴AD=0.3，∴AB=0.6，S⊿OAB=∴S= S扇形OAB- S⊿OAB≈0.22（m2）所以截面上有水部分的面积约为0.22m2。变式练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.(,π=3.14，结果保留小数点后两位。)解： 教师提出问题，引导学生分析弧长和圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式。引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论。 教师提出问题要求。教师引导学生在探 ( http: / / www.21cnjy.com )索出弧长公式的基础上,自己尝试寻找探索方法,将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出. n°的圆心角所对的扇形面积公式。教师出示幻灯片,探究3求有水部分的弓形面积。要求学生独立完成，同时点名一个学生进行板演。结束后一名学生进行点评。 教师出示练习题及变式训练。教师再次将问题拓展到水涨起来了弓形大于半圆了又该怎样计算呢？ 学生体会从特殊-一般-特殊的认知过程，会计算弧长。学生先自主学习，然后回答问题学生利用展台进行展讲。学生自主学习后观察图片，理解扇形定义，并能准确判断出什么样的图形是扇形。学生通过展讲和小组交流得到扇形的两个计算公式。学生尝试用公式解决问题。学生先独立完成解答过程，然后通过板演得出正确结论，进行整理。学生独立完成解答过程。 教师提出自主学习的 ( http: / / www.21cnjy.com )要求和时间，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式。学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论。使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。 学生在探索出弧长公式的基础上,自己尝试寻找探索方法,将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出. n°的圆心角所对的扇形面积公式。第二个公式的得出不仅锻炼学生的合作学习 ( http: / / www.21cnjy.com )能力、表达能力， 同时对知识有了深刻、全面、正确的理解，培养了他们抽象思维能力、科学严谨的学习态度和数学学习的方式方法。
知识要学以致用,特别是要与实际相联 ( http: / / www.21cnjy.com )系。教师出示幻灯片,求有水部分的弓形面积。学生结合图形分析解体思路,并通过小组合作将分析过程简单的写在答题纸上，请1名同学到前面讲给大家听，对不同的分析思路都给以肯定。在学生听明白的基础上，在答题纸上书写解题过程，再跟屏幕上的答案对照，完善。. 结束后再次将问题拓展到水 ( http: / / www.21cnjy.com )涨起来了时水截面面积大于半圆了又该怎样计算呢？用扇形面积加三角形面积。使学生的思维再次活跃。本例题只将书上例题数据做了改换，让学生课后看书再加以巩固。【课件展示该例题解答过程】通过例题教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤。通过变式练习使学生进一步得到巩固。对课本例题书写过程加以改进，使学生精准掌握例题。
活动三：课堂小结（3分钟）本节课你有哪些收获和体会？知识与能力方面：情感体会方面及其它： 号召学生自己总结本节课所学知识,相互补充，以进一步巩固所学知识。 学生整理知识点 通过小结和反思，激发学生主动参与意识，为每个学生创造在数学活动中获得活动经验的机会．
活动四：达标测试（15分钟）评价单 得分： 温馨提示：注意技巧 灵活应对 把握细节 相信自己必做题：（1-5题每题4分，6题10分，共30分）1、（2014 湖南衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 。2、（2014 黑龙江绥化）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）。3、（2014 河北）如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= cm2． ( http: / / www.21cnjy.com )4、（2014 湖北宜昌）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为 。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 5、（2014 四川绵阳）如图，⊙O的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）6、教材p113页3题：思考题：（2014 贵州黔西南州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π） 教师出示课件，要求学生：1、独立完成，书写工整。 2、注意解题格式。学生完成后出示答案，小组交换出示得分。 学生独立完成 测试题进行分层，巩固公式，掌握教材。练习典型题目。
板书设计24.4弧长和扇形面积一、扇形弧长 二、扇形面积 三、例题 教师手写完成。 板书课题，弧长公式，扇形公式，弧长与扇形的关系公式，三角形的面积公式，例题分析过程，变式训练题思路。条理清晰，突出重点。便于学生理解和掌握。
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B
A
C
D
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B
A(共16张PPT)
初中数学九年级上册
人民教育出版社
学习目标：
1、理解弧长和扇形的面积公式。
2、会计算弧长、扇形的面积。
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
问题情境
探究1：
内容：弧长的计算公式。
时间：3分钟
要求：1、独立完成导学单探究1中的
问题引领;
2、书写工整。
探究2：
内容：教材P112页例2前内容。
时间：4分钟
要求：1、划、圈、标、记（有关概念和公式）;
2、独立完成导学单探究2中的
问题引领;
3、书写工整。
下列图形是扇形吗？
思考：比较扇形面积公式 和弧长公式 你能用弧长表示扇形面积吗？
扇形的弧长与扇形面积的关系为：
n°
l
O
R
想一想:扇形的面积公式与什么公式类似？
（记忆时可将扇形近似的看作一个曲边三角形）
探究3：
内容：教材P112页例2。
时间：5分钟
要求：1、结合探究3中的问题引领;
独立完成例2的解答过程。
2、书写工整，注意格式。
例2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。
0
B
A
C
D
S弓形= S扇形- S△
例题点评
解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D交AB于点C，连接AC,
∵OC=0.6m，DC=0.3m，
∴ OD=OC-DC=0.3m
∴OD=DC，
又∵ AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线
∴AC=AO=OC
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°
∴有水部分的面积S=S扇形OAB -S△OAB
⌒
(π=3.14， 结果保留小数点后两位。)
练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。(π=3.14， 结果保留小数点后两位。)
0
A
B
D
C
E
变式训练
S弓形= S扇形+S△
感悟：
①当弓形面积小于半圆时
S弓形= S扇形-S△
②当弓形面积大于半圆时
S弓形= S扇形+S△
解：连接OA、OB，作OE⊥AB于E交AB于点D，并反向延长交ACB于点C , 连接AC,
∵OC=0.6m，CE=0.9m，
∴ OE=CE-OC=0.3m
∴OE=DE，
又∵ AE⊥OD,
∴AB是线段OD的垂直平分线
∴AD=AO=OD
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°
∴优弧ACB所对的圆心角是240°
∴有水部分的面积S=S扇形OAB +S△OAB
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归纳总结
本节课你有什么感受和收获？
活动6：
弧长公式
扇形面积公式
弧长的计算
扇形面积的计算
弓形的计算
两个公式
三种计算
扇形
一个概念
弧长和扇形面积
当堂训练
要求： 1、独立完成，书写工整。
2、注意解题格式。
必做题答案：（1-5题每题4分，6题10分，共30分）
1、18 2、3π 3、4cm2 4、 5、
6、解：
得分 30-20 19-10 10分以下
个人小组加分 3分 2分 1分
选做题答案：
解：（1）证明：连接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B=∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°， ∠ODE=∠A=30°
DE= BD= ，
Rt△OED利用勾股定理求得OD=2， ∴ OC=2
∴在Rt△ACO中，∠OAC=30°，
∴AO=4，
∴在Rt△COA中,由勾股定理求得AC=2
∴S阴影= S△OCA -S扇形OCD= ×2×2 - =
