【新课预习衔接】1.2直线的方程（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）

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新课预习衔接 直线的方程
一．选择题（共3小题）
1．（2024 吉林期末）设直线l的方程为x+ycosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围（　　）
A．[0，π） B．[）
C．[] D．[）∪（]
2．（2024 新城区校级期末）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 酒泉期末）过点P（﹣2，1）且倾斜角为0°的直线方程为（　　）
A．y＝1 B．x＝﹣2 C．y＝﹣2 D．x＝1
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2024 信宜市期末）△ABC的三个顶点坐标为A（4，0），B（0，3），C（6，7），下列说法中正确的是（　　）
A．边BC与直线3x﹣2y+1＝0平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y﹣12＝0
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y﹣13＝0
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D（3，5）
（多选）5．（2024 济南期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝kx﹣2在y轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
三．填空题（共5小题）
6．（2024 未央区校级模拟）经过点（1，3），且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 　 　．
7．（2024 包河区校级期中）已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 　 　．
8．（2024 连云港期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为　 　．
9．（2024 龙岗区期中）经过点P（1，2），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是 　 　．
10．（2024 榆阳区校级期中）直线l过点（2，1），若l的斜率为2，则l在y轴上的截距为　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 盐田区校级期末）已知菱形ABCD中，A（﹣4，7），C（2，﹣3），BC边所在直线过点P（5，9）．求：
（1）AD边所在直线的方程；
（2）对角线BD所在直线的方程．
12．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
13．（2024 北海期末）求符合下列条件的直线l的方程：
（1）过点A（2，1），且斜率为；
（2）过点A（1，4），B（2，3）；
（3）过点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等．
14．（2024 石景山区期末）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，7），C（6，﹣5），BC边所在直线过点P（4，﹣1）．
（Ⅰ）求BC，AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求对角线BD所在直线的方程．
15．（2024 昭阳区期末）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．
（1）求直线BC的方程；
（2）求边BC上高AD所在的直线方程．
新课预习衔接 直线的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024 吉林期末）设直线l的方程为x+ycosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围（　　）
A．[0，π） B．[）
C．[] D．[）∪（]
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】C
【分析】根据题意，分cosθ＝0和cosθ≠0两种情况加以讨论，结合余弦函数的值域和正切函数的单调性，即可得到直线l的倾斜角α的取值范围．
【解答】解：由题意，当cosθ＝0时，l的方程化x+3＝0，
此时，直线l的倾斜角α为90°；
当cosθ≠0时，将直线化成斜截式：yx
直线x+ycosθ+3＝0（θ∈R）的倾斜角为α，可得tanα
∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0
∴tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
∵0°≤α＜180°，∴结合正切函数的单调性，可得45°≤α≤135°，且α≠90°
综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围是：[]
故选：C．
【点评】本题给出直线方程含有余弦函数系数的形式，求直线倾斜角范围，着重考查了余弦函数的值域和正切函数的单调性等知识，属于基础题．
2．（2024 新城区校级期末）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．
3．（2024 酒泉期末）过点P（﹣2，1）且倾斜角为0°的直线方程为（　　）
A．y＝1 B．x＝﹣2 C．y＝﹣2 D．x＝1
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】A
【分析】由已知结合指定倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】解：由于过P（﹣2，1）的直线倾斜角为0°，即直线垂直于y轴，
所以其直线方程为y＝1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查倾斜角为90°的直线的方程，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2024 信宜市期末）△ABC的三个顶点坐标为A（4，0），B（0，3），C（6，7），下列说法中正确的是（　　）
A．边BC与直线3x﹣2y+1＝0平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y﹣12＝0
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y﹣13＝0
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D（3，5）
【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】BD
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边BC中点坐标判断D．
【解答】解：直线BC的斜率为k，而直线3x﹣2y+1＝0的斜率为，两直线不平行，故A错；
BC边上高所在直线斜率为，直线方程为y（x﹣4），即3x+2y﹣12＝0，故B正确；
过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y﹣13＝0，过原点时方程为yx，故C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为（3，5），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查直线平行的判断，直线方程的求法，考查运算求解能力，属于中点题．
（多选）5．（2024 济南期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝kx﹣2在y轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【考点】直线的截距式方程；直线的倾斜角；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】CD
【分析】对于A，分截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解；
对于B，结合截距的定义，即可求解；
对于C，先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解；
对于D，根据已知条件，推得直线与x轴垂直，即可求解．
【解答】解：对于A，当截距为0时，可设直线方程为y＝kx，
直线过点P（1，2），
则直线为y＝2x，
当截距不为0时，可设直线方程为x+y＝a（a≠0），
直线过点P（1，2），
则1+2＝a，即a＝3，
故直线方程为x+y﹣3＝0，
综上所述，所求直线方程为2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0，故A错误；
对于B，直线y＝kx﹣2在y轴的截距是﹣2，故B错误；
对于C，直线的斜率为，
则直线的的倾斜角为30°，故C正确；
对于D，直线的倾斜角为90°，
则直线的斜率不存在，
直线过点（5，4），
故所求直线的方程为x＝5，即x﹣5＝0，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
6．（2024 未央区校级模拟）经过点（1，3），且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 　3x﹣y＝0或x+y﹣4＝0　．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】对应思想；构造法；直线与圆；逻辑推理．
【答案】3x﹣y＝0或x+y﹣4＝0．
【分析】分类讨论：当直线过原点时，可得斜率，可得方程，当直线不过原点时，设直线方程为x+y＝a，代入点P（1，3）可得a的方程，解方程可得a值，可得直线的方程，整理为一般式即可．
【解答】解：当直线过原点时，斜率为3，
故方程为y＝3x，整理为一般式可得3x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y＝a，
代入点P（1，3）可得1+3＝a，解得a＝4，
故直线方程为x+y＝4
整理为一般式可得x+y﹣4＝0，
综上可得直线的方程为：3x﹣y＝0或x+y﹣4＝0
故答案为：3x﹣y＝0或x+y﹣4＝0．
【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．
7．（2024 包河区校级期中）已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 　y＝2x或2x+y﹣4＝0　．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】方程思想；定义法；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【分析】对直线l是否经过原点分类，结合条件，求出l的方程．
【解答】解：若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为y＝2x．
若直线l不经过原点，可设直线l的方程为1，
把点（1，2）代入可得1，解得a＝2．
∴直线l的方程为1，即2x+y﹣4＝0．
综上可得直线l的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．
故答案为：y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论思想与计算能力，属于基础题．
8．（2024 连云港期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为　（﹣2.6，6.2）　．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出点A关于直线2x+y﹣1＝0的对称点P的坐标，再根据点P在直线BC上，利用两点式求得BC的方程，再把BC的方程和CD的方程联立方程组，求得第三个顶点C的坐标
【解答】解：由题意可知：A（1，2）关于直线2x+y﹣1＝0的对称点在直线BC上，设对称点为P（a，b），
则由 ，解得：P（﹣1.4，0.8），
用两点式求得直线BC（即PC）的方程为 9x+2y+11＝0．
再由，求得C点的坐标为（﹣2.6，6.2）．
故答案为：（﹣2.6，6.2）．
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件．还考查了用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题．
9．（2024 龙岗区期中）经过点P（1，2），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是 　2x﹣y＝0或x+2y﹣5＝0　．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】2x﹣y＝0或x+2y﹣5＝0．
【分析】根据条件分直线过原点和不过原点两种情况，求出直线l的方程即可．
【解答】解：当直线过原点时，直线的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0，
当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为2m，则在y轴上的截距为m，
此时直线的方程为，由直线经过点（1，2），
得1，解得2m＝5，故m，
所以直线的方程为x+2y﹣5＝0．
故答案为：2x﹣y＝0或x+2y﹣5＝0．
【点评】本题考查的知识要点：直线的截距式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（2024 榆阳区校级期中）直线l过点（2，1），若l的斜率为2，则l在y轴上的截距为　﹣3　．
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】﹣3
【分析】根据题意，由直线的点斜式方程求出直线l的方程，将其变形为斜截式方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l过点（2，1），且l的斜率为2，
则直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），变形可得y＝2x﹣3，
即l在y轴上的截距为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查直线的点斜式方程，注意直线截距的定义，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 盐田区校级期末）已知菱形ABCD中，A（﹣4，7），C（2，﹣3），BC边所在直线过点P（5，9）．求：
（1）AD边所在直线的方程；
（2）对角线BD所在直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）4x﹣y+23＝0；
（2）3x﹣5y+13＝0．
【分析】（1）由直线BC过点P，C，求出直线的斜率，由点斜式求出直线BC的方程；因为菱形的对边平行，所以可设直线AD的方程，将A点代入可得参数的值，进而求出直线AD的方程；
（2）求出线段AC的中点及直线AC的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线BD的方程．
【解答】解：（1）因为BC边所在直线过点P（5，9），
所以直线BC的方程为：y+3（x﹣2），
即4x﹣y﹣11＝0，在菱形ABCD中可知AD∥BC，
所以设直线AD的方程为4x﹣y+m＝0，将点A（﹣4，7）代入4 （﹣4）﹣7+m＝0，
所以m＝23，
所以直线AD的方程为：4x﹣y+23＝0；
（2）由题意可得线段AC的中点M（，），即M（﹣1，2），
kAC，
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线BD的斜率为，
所以BD所在的直线方程为y﹣2（x+1），即3x﹣5y+13＝0．
【点评】本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题．
12．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）x+5y﹣3＝0；（2）x+2y﹣10＝0．
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可．
【解答】解：（1）因为B（4，3），C（3，﹣2），
所以，
因为AD是BC边上的高，
所以，
所以高AD所在直线的方程为；
（2）因为点M（3，1）为边AC的中点，
所以，
因此BC边所在直线的方程为．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题．
13．（2024 北海期末）求符合下列条件的直线l的方程：
（1）过点A（2，1），且斜率为；
（2）过点A（1，4），B（2，3）；
（3）过点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等．
【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x+2y﹣4＝0．
（2）x+y﹣5＝0．
（3）x﹣2y＝0或x+y﹣3＝0．
【分析】（1）结合直线的点斜式公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出直线l的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
（3）根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l过点A（2，1），且斜率为，
∴直线l的方程为y﹣1，即x+2y﹣4＝0．
（2）∵直线l过点A（1，4），B（2，3），
∴，
∴y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．
（3）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，
∵直线l过点P（2，1），
∴k，直线方程为y，
当直线不过原点时，设直线方程为，
∵直线l过点P（2，1），
∴，解得a＝3，即直线l的方程为x+y﹣3＝0，
综上所述，直线方程为x﹣2y＝0或x+y﹣3＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查转化能力，属于基础题．
14．（2024 石景山区期末）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，7），C（6，﹣5），BC边所在直线过点P（4，﹣1）．
（Ⅰ）求BC，AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求对角线BD所在直线的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；待定系数法求直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（Ⅰ）2x+y﹣7＝0，2x+y+1＝0；
（Ⅱ）5x﹣6y+1＝0．
【分析】（Ⅰ）由已知可得出BC∥AD，则kAD＝kCP，求出AD边所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（Ⅱ）求出线段AC的垂直平分线方程，即为对角线BD所在直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由菱形的性质可知BC∥AD，
则，
故BC边所在直线的方程为y+5＝﹣2（x﹣6），即2x+y﹣7＝0，
故AD边所在直线的方程为y﹣7＝﹣2（x+4），即2x+y+1＝0；
（Ⅱ）线段AC的中点为E（1，1），，
由菱形的几何性质可知，BD⊥AC且E为BD的中点，则
所以，对角线BD所在直线的方程为，即5x﹣6y+1＝0．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．
15．（2024 昭阳区期末）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．
（1）求直线BC的方程；
（2）求边BC上高AD所在的直线方程．
【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用两点式求直线BC方程；
（2）由（1）可求AD的斜率，利用点斜式求AD方程．
【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）．
所以直线BC的方程：整理得5x+3y+1＝0；
（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4（x﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14＝0．
【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．
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