【新课预习衔接】1.3两条直线的平行与垂直（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）

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新课预习衔接 两条直线的平行与垂直
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
2．（2024 邢台期末）若直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．m＝1或m B．m或m＝1 C．m D．m
3．（2024 建平县期末）已知直线mx﹣y﹣4＝0与直线（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，则实数m＝（　　）
A．﹣5 B．1 C． D．3
4．（2024 江西期末）过点（2，﹣1）且与直线2x﹣3y+9＝0平行的直线的方程是（　　）
A．2x﹣3y﹣7＝0 B．2x+3y﹣1＝0 C．3x+2y﹣4＝0 D．2x﹣3y+7＝0
5．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　 　．
9．（2024 解放区校级期末）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 　 　．
10．（2024 新洲区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
12．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
13．（2024 新化县期末）已知直线l1经过点A（2，3）．
（1）若l1与直线l2：x+2y+4＝0垂直，求l1的方程；
（2）若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
14．（2024 阿勒泰地区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（2，1）．
（1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程；
（2）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程．
15．（2024 固原期末）已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段AB的中点为D，且CD⊥AB．
（1）求m的值；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．
新课预习衔接 两条直线的平行与垂直
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】A
【分析】分别当a＝3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a＝3时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+7＝0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a＝3或a＝﹣2，
综上所述，a＝3是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题．
2．（2024 邢台期末）若直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）
A．m＝1或m B．m或m＝1 C．m D．m
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】分类讨论；分类法；直线与圆；数据分析．
【答案】B
【分析】由题意，分类讨论，利用两条直线平行的性质，求得m的值．
【解答】解：∵直线（3m﹣1）x+（m﹣1）y+1＝0与直线（m+1）x+（2﹣2m）y﹣1＝0平行，
当m＝1时，两直线即 x，x，显然两直线平行，满足条件．
当m＝﹣1时，两直线即﹣4x﹣2y+1＝0，y，显然两直线不平行．
由，求得m，
综上可得，m＝1或m，
故选：B．
【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
3．（2024 建平县期末）已知直线mx﹣y﹣4＝0与直线（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，则实数m＝（　　）
A．﹣5 B．1 C． D．3
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】根据直线平行的条件求解即可．
【解答】解：∵直线mx﹣y﹣4＝0与直线（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，
∴m×3﹣（﹣1）×（2m﹣5）＝0，解得m＝1．
当m＝1时，直线x﹣y﹣4＝0与直线﹣3x+3y+2＝0平行，故m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024 江西期末）过点（2，﹣1）且与直线2x﹣3y+9＝0平行的直线的方程是（　　）
A．2x﹣3y﹣7＝0 B．2x+3y﹣1＝0 C．3x+2y﹣4＝0 D．2x﹣3y+7＝0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解．
【解答】解：设与直线2x﹣3y+9＝0平行的直线的方程为2x﹣3y+λ＝0，
将点（2，﹣1）代入得2×2﹣3×（﹣1）+λ＝0，解得λ＝﹣7，
所以所求直线的方程为2x﹣3y﹣7＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的点斜式，两条直线的平行关系，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析．
【答案】C
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b＝1，再利用基本不等式的，求得的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，
∴（a﹣1）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab，8，当且仅当a＝2b时，等号成立．
则的最小值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可．
【解答】解：由题知，直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，
对于A，当l1⊥l2时，a+3b＝0，解得或a＝b＝0，故A错误；
对于B，当l1∥l2时，﹣ab+3＝0，解得ab＝3，故B正确；
对于C，在直线l1：ax﹣3y+1＝0中，
当x＝0时，，当y＝0时，，
所以l1与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当b＜0时，的图象为
故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线垂直、平行的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；向量法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】对于A，通过k1 k2＝﹣1是否成立来判断；对于B，将a＝﹣2代入即可判断；对于C，将直线l1变形为a（x+3）+2y＝0，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解．
【解答】解：对于A，当时，那么直线l1为，
直线l2为，此时两直线的斜率分别为和k2＝5，
所以有k1 k2＝﹣1，所以l1⊥l2，故A选项正确；
对于B，当a＝﹣2时，那么直线l1为x﹣y+3＝0，直线l2为x﹣y+3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线l1：ax+2y+3a＝0，整理可得：a（x+3）+2y＝0，故直线l1过定点（﹣3，0），故C选项正确；
对于D，当l1，l2平行时，a（a﹣1）＝6，且2（7﹣a）≠3a（a﹣1），a（7﹣a）≠3 3a，解得：a＝3，
可得直线l1为：3x+2y+9＝0，l2为：3x+2y+4＝0，
此时两直线的距离，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断方法，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　3x﹣4y+8＝0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】3x﹣4y+8＝0．
【分析】联立，解得两条直线的交点P的坐标，设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，把P坐标代入解得m，即可得出要求的直线方程．
【解答】解：联立，解得，∴两条直线的交点为P（0，2），
设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，
把P（0，2）代入可得0﹣8+m＝0，
解得m＝8，
∴要求的直线方程为3x﹣4y+8＝0，
故答案为：3x﹣4y+8＝0．
【点评】本题考查了直线的交点、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2024 解放区校级期末）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 　﹣8　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】﹣8．
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，分类讨论，求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，l1∥l2，
当m+6＝0时，m＝﹣6，此时，直线l1：﹣3x+5y＝23，l2：x＝4，不满足条件．
当m+6≠0时，由题意可得，求得m＝﹣8．
综上，m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
10．（2024 新洲区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为　a＝0或a＝2　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解此方程即可得出a的值．
【解答】解：∵直线x+ay﹣a＝0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直
∴1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或a＝2
故答案为a＝0或a＝2
【点评】本题考查两条直线垂直关系与两直线系数之间的关系，解题的关键是正确利用此垂直关系建立方程，本题考查了方程的思想
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）a＝5；
（2）或a＝1．
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的充要条件列方程求参数值即可．
【解答】解：（1）由l1∥l2，则（a+1）×[﹣（a﹣2）]＝﹣2（2a﹣1），且﹣2×1≠﹣（a﹣2）×（﹣1），
解得a＝5；
（2）由l1⊥l2，则（a+1）（2a﹣1）+2（a﹣2）＝0，
解得或a＝1．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
12．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】对应思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两直线垂直的公式A1A2+B1B2＝0，即可求解；
（2）根据两直线平行，A1B2＝A2B1，求解a，再代回直线验证．
【解答】解：（1）若l1⊥l2，则
1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或2；
（2）若l1∥l2，则
∴a2＝﹣2a+3，解得a＝﹣3或1．
a＝﹣3时，l1：x﹣3y+3＝0，l2：3x﹣9y+5＝0，满足l1∥l2，
a＝1时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，此时l1与l2重合，
所以a＝﹣3．
【点评】本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题．
13．（2024 新化县期末）已知直线l1经过点A（2，3）．
（1）若l1与直线l2：x+2y+4＝0垂直，求l1的方程；
（2）若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）2x﹣y﹣1＝0；
（2）x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．
【分析】（1）根据两直线垂直得到l1的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程．
【解答】解：（1）由题可知，l2的斜率为，
设l1的斜率为k，因为l1⊥l2，所以，则k＝2，
又l1经过点A（2，3），所以l1的方程为y﹣3＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣1＝0；
（2）若l1在两坐标轴上的截距为0，即l1经过原点，设l1的方程为y＝kx，
将A（2，3）代入解析式得2k＝3，解得，
故l1的方程为3x﹣2y＝0，
若l1在两坐标轴上的截距不为0，则设l1的方程为，
由，得a＝5，
故l1的方程为x+y﹣5＝0，
综上，l1的方程为x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题．
14．（2024 阿勒泰地区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（2，1）．
（1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程；
（2）在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x﹣y+5＝0；
（2）x+y+1＝0．
【分析】（1）根据题意，求得直线BC的斜率kBC＝1，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，求得BC边上的高线斜率k＝﹣1，结合直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：（1）由△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（4，3），C（2，1），
可得直线BC的斜率，
所以过点A且与直线BC平行的直线方程为y﹣2＝（x+3），即x﹣y+5＝0．
（2）由直线BC的斜率kBC＝1，可得BC边上的高线斜率k＝﹣1，
所以BC边上的高线方程为y﹣2＝﹣（x+3），
即BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
15．（2024 固原期末）已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段AB的中点为D，且CD⊥AB．
（1）求m的值；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程；中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】转化思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）m＝﹣1；
（2）3x﹣y+4＝0．
【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，
（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程．
【解答】解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以D的坐标为（1，2），
因为CD⊥AB，所以，
解得m＝﹣1．
（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则，
所以，
所以直线AE的方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．
【点评】本题考查直线方程的应用，属于基础题．
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