【新课预习衔接】2.1圆的方程（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】2.1圆的方程（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-12 10:35:48 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 圆的方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 让胡路区校级期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]
2．（2024 昌平区模拟）若圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，9] B．（﹣∞，16] C．[9，25） D．[16，25）
3．（2024 咸阳期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝81
C．x2+y2＝9 D．x2+（y+1）2＝9
4．（2024春 琼山区校级期中）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0 B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0 D．x2+y2﹣2y＝0
5．（2024 济南二模）在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 江北区校级月考）已知圆M的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M过坐标原点
B．圆M的圆心为（﹣4，3）
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
（多选）7．（2024 宝安区校级期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
三．填空题（共3小题）
8．（2024 未央区校级期末）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：（x+2）2+y2＝4外切，写出圆C的一个标准方程： ．
9．（2024 吉林期末）若直线x+y+1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝ ．
10．（2024春 大荔县期末）圆心为C（8，﹣3），且过点A（5，1）的圆的方程是 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 温州期末）已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为．
求该圆的方程．
12．（2024 哈尔滨期末）已知⊙M的圆心为（8，6），且⊙M过点A（4，3）．
（1）求⊙M的标准方程；
（2）若直线l与⊙M相切于点A，求l的方程．
13．（2024春 博爱县校级期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x（x＞0）上，点A（﹣1，1）在圆C上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程．
14．（2024 新化县期末）已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
15．（2024 佳木斯期末）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
新课预习衔接 圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 让胡路区校级期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]
【考点】二元二次方程表示圆的条件；圆的一般方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】方程配方后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根据圆的半径大于0求解．
【解答】解：由方程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，
所以当时表示圆，解得k＜6．
故选：C．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查知识的应用能力，是基础题．
2．（2024 昌平区模拟）若圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，9] B．（﹣∞，16] C．[9，25） D．[16，25）
【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数m的取值范围．
【解答】解：圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0，整理得（x+4）2+（y﹣3）2＝25﹣m（m＜25），
由于圆与x轴和y轴均有公共点，
所以且且m＜25；
解得m≤9．
故实数m的取值范围为（﹣∞，9]．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024 咸阳期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝81
C．x2+y2＝9 D．x2+（y+1）2＝9
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【答案】D
【分析】设圆心坐标C（a，b），由对称知识求出圆心C的坐标为（0，﹣1），由此能求出半径为3的圆C的标准方程．
【解答】解：设圆心坐标C（a，b），
由圆心C与点P关于直线y＝x+1对称，得到直线CP与y＝x+1垂直，
结合y＝x+1的斜率为1得直线CP的斜率为﹣1，
所以1，化简得a+b+1＝0①，
再由CP的中点在直线y＝x+1上，
得到1，化简得a﹣b﹣1＝0②
联解①②，可得a＝0，b＝﹣1，
∴圆心C的坐标为（0，﹣1），
∴半径为3的圆C的标准方程为x2+（y+1）2＝9．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．
4．（2024春 琼山区校级期中）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0 B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0 D．x2+y2﹣2y＝0
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】设圆心为C（0，b），半径为r，根据条件，建立方程组r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，求出b，r，即可求出结果．
【解答】解：由题可设圆心为C（0，b），半径为r，
所以r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，解得b＝﹣1，r＝1，
故圆C的方程为x2+（y+1）2＝1，即x2+y2+2y＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题．
5．（2024 济南二模）在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】求出圆心M坐标以及圆的半径，即可得出圆M的标准方程．
【解答】解：因为圆M以P1P2为直径，所以圆心M的坐标为（0，5），
半径为，
∴圆M的标准方程为x2+（y﹣5）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 江北区校级月考）已知圆M的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M过坐标原点
B．圆M的圆心为（﹣4，3）
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】对于A：代入O（0，0）即可判断；对于BC：将一般方程化为标准方程即可判断；对于D：根据题意结合垂径定理求弦长．
【解答】解：把O（0，0）代入可得0＝0，即方程成立，
所以圆M过坐标原点，故A正确；
由x2+y2﹣8x+6y＝0整理得（x﹣4）2+（y+3）2＝25，
可知圆M的圆心为（4，﹣3），圆M的半径为5，故B错误，C正确；
因为圆心到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
（多选）7．（2024 宝安区校级期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其圆心为（4，﹣3），A正确；
对于B，由于（1﹣4）2+（0+3）2＜25，点（1，0）在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于（﹣3﹣4）2+（1+3）2＞25，点（﹣3，1）在圆外，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 未央区校级期末）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：（x+2）2+y2＝4外切，写出圆C的一个标准方程： （x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一） ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）．
【分析】根据题意，设要求圆的圆心为（a，0），由圆与圆的位置关系求出圆C的半径，对a取特殊值即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为（a，0），
圆M（x+2）2+y2＝4，圆心为（﹣2，0），半径为2，
又由圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M（x+2）2+y2＝4外切，则圆C的半径为a，
故圆C的方程为（x﹣a）2+y2＝a2（a＞0），
当a＝1时，要求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
9．（2024 吉林期末）若直线x+y+1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝ ﹣1 ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解．
【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0），
因为直线x+y+1＝0是圆（x+a）2+y2＝1的一条对称轴，所以圆心（a，0）在此直线上，
所以a+0+1＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，属基础题．
10．（2024春 大荔县期末）圆心为C（8，﹣3），且过点A（5，1）的圆的方程是 （x﹣8）2+（y+3）2＝25 ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的圆心为C（8，﹣3），可设圆C的半径为r＞0，得圆的标准方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝r2．再结合点A（5，1）在圆C上，代入可得r2＝25，可得圆C的方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
【解答】解：∵圆的圆心为C（8，﹣3），
∴可设圆方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝r2，其中r＞0，是圆C的半径
又∵点A（5，1）在圆C上
∴（5﹣8）2+（1+3）2＝r2，可得r2＝25，半径r＝5，
因此圆C的方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
故答案为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
【点评】本题给出圆的圆心坐标和圆上一点的坐标，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程的知识点，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 温州期末）已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为．
求该圆的方程．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，可设所求圆心为P（a，b），半径为r，由①截y轴所得的弦长为2可得r2＝a2+1；由②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，从而有rb；再由③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为可得a﹣2b＝±1，综合可求得a，b的值，从而可得该圆的方程．
【解答】解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，
因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2＝a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故rb，即r2＝2b2，
∴2b2﹣a2＝1①，
又∵P（a，b）到直线x﹣2y＝0的距离为，
即，
即a﹣2b＝±1．②
解①②组成的方程组得：或，于是即r2＝2b2＝2，
∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝2或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．
12．（2024 哈尔滨期末）已知⊙M的圆心为（8，6），且⊙M过点A（4，3）．
（1）求⊙M的标准方程；
（2）若直线l与⊙M相切于点A，求l的方程．
【考点】圆的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25；
（2）4x+3y﹣25＝0．
【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；
（2）利用直线与圆的位置关系求解．
【解答】解：（1）由题可知，⊙M的半径为，
所以⊙M的标准方程为（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25．
（2）因为直线l与⊙M相切于点A，且，
所以kl×kAM＝﹣1，所以，
由点斜式得，，
即4x+3y﹣25＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法及直线垂直的性质的应用，属于基础题．
13．（2024春 博爱县校级期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x（x＞0）上，点A（﹣1，1）在圆C上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；
（2）x＝﹣1或3x+4y+3＝0．
【分析】（1）设圆心坐标为（m，m）（m＞0），根据点A（﹣1，1）在圆上列方程可得m＝1，可得结论；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x+1），根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得．
【解答】解：（1）由圆C的圆心在直线y＝x（x＞0）上，可设圆心C的坐标为（m，m）（m＞0），
又圆C的半径为2，点A（﹣1，1）在圆C上，
则，
解得m＝1，（m＝﹣1舍去），
故圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
（2）①当切线的斜率不存在时，直线x＝﹣1与圆C相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
由题意，解得，
所以切线方程为，整理为3x+4y+3＝0，
由①②知，过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程为x＝﹣1或3x+4y+3＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．
14．（2024 新化县期末）已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
【考点】圆的一般式方程与标准方程的互化．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝15，圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）C＝15或﹣5．
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案．
【解答】解：（1）由x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y2+4y+4＝15，
则圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝15，
圆M的圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）由，得圆心M到直线x+3y+C＝0的距离为，
则圆心M到直线x+3y+C＝0的距离，得C＝15或﹣5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（2024 佳木斯期末）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
【考点】圆的一般方程．
【专题】分类讨论；转化思想；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组求出圆心和半径，进一步求出圆的方程．
（2）利用直线与圆相切的应用求出直线的方程．
【解答】解：（1）圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，设圆心的坐标为（a，a）
所以圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝r2，
且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
所以，
解得a＝0，r＝2，
所以圆的方程为x2+y2＝4．
（2）由于圆的方程为x2+y2＝4，
所以，经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程，
有两种情况，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为x＝2，
当直线的斜率存在时y﹣1＝k（x﹣2），
所以圆心到直线的距离d＝2，
解得，
所以直线的方程为，
所以直线的方程为x＝2或．
【点评】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
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新课预习衔接 圆的方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 让胡路区校级期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]
2．（2024 昌平区模拟）若圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，9] B．（﹣∞，16] C．[9，25） D．[16，25）
3．（2024 咸阳期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝81
C．x2+y2＝9 D．x2+（y+1）2＝9
4．（2024春 琼山区校级期中）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0 B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0 D．x2+y2﹣2y＝0
5．（2024 济南二模）在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 江北区校级月考）已知圆M的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M过坐标原点
B．圆M的圆心为（﹣4，3）
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
（多选）7．（2024 宝安区校级期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
三．填空题（共3小题）
8．（2024 未央区校级期末）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：（x+2）2+y2＝4外切，写出圆C的一个标准方程： ．
9．（2024 吉林期末）若直线x+y+1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝ ．
10．（2024春 大荔县期末）圆心为C（8，﹣3），且过点A（5，1）的圆的方程是 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 温州期末）已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为．
求该圆的方程．
12．（2024 哈尔滨期末）已知⊙M的圆心为（8，6），且⊙M过点A（4，3）．
（1）求⊙M的标准方程；
（2）若直线l与⊙M相切于点A，求l的方程．
13．（2024春 博爱县校级期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x（x＞0）上，点A（﹣1，1）在圆C上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程．
14．（2024 新化县期末）已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
15．（2024 佳木斯期末）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
新课预习衔接 圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 让胡路区校级期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]
【考点】二元二次方程表示圆的条件；圆的一般方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】方程配方后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根据圆的半径大于0求解．
【解答】解：由方程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，
所以当时表示圆，解得k＜6．
故选：C．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查知识的应用能力，是基础题．
2．（2024 昌平区模拟）若圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，9] B．（﹣∞，16] C．[9，25） D．[16，25）
【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数m的取值范围．
【解答】解：圆x2+8x+y2﹣6y+m＝0，整理得（x+4）2+（y﹣3）2＝25﹣m（m＜25），
由于圆与x轴和y轴均有公共点，
所以且且m＜25；
解得m≤9．
故实数m的取值范围为（﹣∞，9]．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024 咸阳期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝9 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝81
C．x2+y2＝9 D．x2+（y+1）2＝9
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【答案】D
【分析】设圆心坐标C（a，b），由对称知识求出圆心C的坐标为（0，﹣1），由此能求出半径为3的圆C的标准方程．
【解答】解：设圆心坐标C（a，b），
由圆心C与点P关于直线y＝x+1对称，得到直线CP与y＝x+1垂直，
结合y＝x+1的斜率为1得直线CP的斜率为﹣1，
所以1，化简得a+b+1＝0①，
再由CP的中点在直线y＝x+1上，
得到1，化简得a﹣b﹣1＝0②
联解①②，可得a＝0，b＝﹣1，
∴圆心C的坐标为（0，﹣1），
∴半径为3的圆C的标准方程为x2+（y+1）2＝9．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．
4．（2024春 琼山区校级期中）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0 B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0 D．x2+y2﹣2y＝0
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】设圆心为C（0，b），半径为r，根据条件，建立方程组r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，求出b，r，即可求出结果．
【解答】解：由题可设圆心为C（0，b），半径为r，
所以r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，解得b＝﹣1，r＝1，
故圆C的方程为x2+（y+1）2＝1，即x2+y2+2y＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题．
5．（2024 济南二模）在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+（y+5）2＝5 B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25 D．x2+（y﹣5）2＝25
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】求出圆心M坐标以及圆的半径，即可得出圆M的标准方程．
【解答】解：因为圆M以P1P2为直径，所以圆心M的坐标为（0，5），
半径为，
∴圆M的标准方程为x2+（y﹣5）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 江北区校级月考）已知圆M的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M过坐标原点
B．圆M的圆心为（﹣4，3）
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】对于A：代入O（0，0）即可判断；对于BC：将一般方程化为标准方程即可判断；对于D：根据题意结合垂径定理求弦长．
【解答】解：把O（0，0）代入可得0＝0，即方程成立，
所以圆M过坐标原点，故A正确；
由x2+y2﹣8x+6y＝0整理得（x﹣4）2+（y+3）2＝25，
可知圆M的圆心为（4，﹣3），圆M的半径为5，故B错误，C正确；
因为圆心到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
（多选）7．（2024 宝安区校级期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其圆心为（4，﹣3），A正确；
对于B，由于（1﹣4）2+（0+3）2＜25，点（1，0）在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于（﹣3﹣4）2+（1+3）2＞25，点（﹣3，1）在圆外，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 未央区校级期末）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：（x+2）2+y2＝4外切，写出圆C的一个标准方程： （x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一） ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）．
【分析】根据题意，设要求圆的圆心为（a，0），由圆与圆的位置关系求出圆C的半径，对a取特殊值即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为（a，0），
圆M（x+2）2+y2＝4，圆心为（﹣2，0），半径为2，
又由圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M（x+2）2+y2＝4外切，则圆C的半径为a，
故圆C的方程为（x﹣a）2+y2＝a2（a＞0），
当a＝1时，要求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
9．（2024 吉林期末）若直线x+y+1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝ ﹣1 ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解．
【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0），
因为直线x+y+1＝0是圆（x+a）2+y2＝1的一条对称轴，所以圆心（a，0）在此直线上，
所以a+0+1＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，属基础题．
10．（2024春 大荔县期末）圆心为C（8，﹣3），且过点A（5，1）的圆的方程是 （x﹣8）2+（y+3）2＝25 ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的圆心为C（8，﹣3），可设圆C的半径为r＞0，得圆的标准方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝r2．再结合点A（5，1）在圆C上，代入可得r2＝25，可得圆C的方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
【解答】解：∵圆的圆心为C（8，﹣3），
∴可设圆方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝r2，其中r＞0，是圆C的半径
又∵点A（5，1）在圆C上
∴（5﹣8）2+（1+3）2＝r2，可得r2＝25，半径r＝5，
因此圆C的方程为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
故答案为：（x﹣8）2+（y+3）2＝25．
【点评】本题给出圆的圆心坐标和圆上一点的坐标，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程的知识点，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 温州期末）已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为．
求该圆的方程．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，可设所求圆心为P（a，b），半径为r，由①截y轴所得的弦长为2可得r2＝a2+1；由②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，从而有rb；再由③圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离为可得a﹣2b＝±1，综合可求得a，b的值，从而可得该圆的方程．
【解答】解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，
因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2＝a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故rb，即r2＝2b2，
∴2b2﹣a2＝1①，
又∵P（a，b）到直线x﹣2y＝0的距离为，
即，
即a﹣2b＝±1．②
解①②组成的方程组得：或，于是即r2＝2b2＝2，
∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝2或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．
12．（2024 哈尔滨期末）已知⊙M的圆心为（8，6），且⊙M过点A（4，3）．
（1）求⊙M的标准方程；
（2）若直线l与⊙M相切于点A，求l的方程．
【考点】圆的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25；
（2）4x+3y﹣25＝0．
【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；
（2）利用直线与圆的位置关系求解．
【解答】解：（1）由题可知，⊙M的半径为，
所以⊙M的标准方程为（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25．
（2）因为直线l与⊙M相切于点A，且，
所以kl×kAM＝﹣1，所以，
由点斜式得，，
即4x+3y﹣25＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法及直线垂直的性质的应用，属于基础题．
13．（2024春 博爱县校级期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x（x＞0）上，点A（﹣1，1）在圆C上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；
（2）x＝﹣1或3x+4y+3＝0．
【分析】（1）设圆心坐标为（m，m）（m＞0），根据点A（﹣1，1）在圆上列方程可得m＝1，可得结论；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x+1），根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得．
【解答】解：（1）由圆C的圆心在直线y＝x（x＞0）上，可设圆心C的坐标为（m，m）（m＞0），
又圆C的半径为2，点A（﹣1，1）在圆C上，
则，
解得m＝1，（m＝﹣1舍去），
故圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
（2）①当切线的斜率不存在时，直线x＝﹣1与圆C相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
由题意，解得，
所以切线方程为，整理为3x+4y+3＝0，
由①②知，过点B（﹣1，0）且与圆C相切的直线方程为x＝﹣1或3x+4y+3＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．
14．（2024 新化县期末）已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
【考点】圆的一般式方程与标准方程的互化．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝15，圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）C＝15或﹣5．
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案．
【解答】解：（1）由x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y2+4y+4＝15，
则圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝15，
圆M的圆心坐标M（1，﹣2），半径为；
（2）由，得圆心M到直线x+3y+C＝0的距离为，
则圆心M到直线x+3y+C＝0的距离，得C＝15或﹣5．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（2024 佳木斯期末）在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
【考点】圆的一般方程．
【专题】分类讨论；转化思想；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组求出圆心和半径，进一步求出圆的方程．
（2）利用直线与圆相切的应用求出直线的方程．
【解答】解：（1）圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，设圆心的坐标为（a，a）
所以圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝r2，
且圆C经过点P（2，0）和点Q（﹣1，）．
所以，
解得a＝0，r＝2，
所以圆的方程为x2+y2＝4．
（2）由于圆的方程为x2+y2＝4，
所以，经过点M（2，1）且与圆C恰有1个公共点的直线的方程，
有两种情况，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为x＝2，
当直线的斜率存在时y﹣1＝k（x﹣2），
所以圆心到直线的距离d＝2，
解得，
所以直线的方程为，
所以直线的方程为x＝2或．
【点评】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
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