【新课预习衔接】2.2直线与圆的位置关系（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】2.2直线与圆的位置关系（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-12 10:35:58 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 直线与圆的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024 辽宁模拟）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣8x+4y+16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣8＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．x+2y＝0
2．（2024春 东坡区期末）已知圆x2+y2＝4上有四个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）
3．（2024 电白区期末）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1内，则直线l：ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
4．（2024 南宁期末）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（ ）
A． B．10 C． D．8
5．（2024 香坊区校级期末）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM| |AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 唐河县期末）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．若CD⊥OM，则
C．|CD|的最小值为
D．△MCD的面积的最大值为2
（多选）7．（2024 西固区校级期末）已知直线l：kx﹣y﹣k＝0与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．圆M的半径为2
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切
D．直线l被圆M截得的弦长最长为4
三．填空题（共4小题）
8．（2024 盐田区校级期末）求圆x2+y2﹣4y+3＝0上的动点P到直线3x﹣4y﹣2＝0距离的最大值 ．
9．（2024春 建华区校级月考）已知直线l：y＝x﹣1上一点A，圆C：x2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AB|的最小值为 ．
10．（2024 翠屏区校级期末）若对于圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意的点A，直线l：4x+3y+8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为 ．
11．（2024 新余期末）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 盐田区校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．
（1）从圆外一点P（2，1）向圆引切线，求切线方程；
（2）若圆C2：x2+y2＝4与圆C相交于D、E两点，求线段DE的长．
13．（2024 宜丰县校级月考）已知圆O的圆心为坐标原点，斜率为1且过点M（1，5）的直线与圆O相切，圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9．
（1）若圆O与圆C相交于E，F两点，求线段EF的长度；
（2）若直线l：ax+y﹣1＝0与圆C交于P，Q两点，是否存在实数a，使得|OP|＝|OQ|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
14．（2024 荆州区校级期末）已知直线2x﹣y+m＝0和圆O：x2+y2＝5．
（1）m为何值时，截得的弦长为2；
（2）若直线和圆交于A，B两点，此时OA⊥OB，求m的值．
15．（2024 泸县校级期末）已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y＝0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且，求k的值．
新课预习衔接 直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 辽宁模拟）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣8x+4y+16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣8＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．x+2y＝0
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据对称可知l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
【解答】解：圆，圆心C1（0，0），半径r1＝2，
，圆心C2（4，﹣2），半径r2＝2，
由题意知，l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，
∵C1（0，0），C2（4，﹣2），C1C2的中点（2，﹣1），
圆心C1C2连线的斜率为，则直线l的斜率为2，
故l的方程：y+1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两直线垂直时的斜率关系，考查了直线的点斜式方程，属于中档题．
2．（2024春 东坡区期末）已知圆x2+y2＝4上有四个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则O到直线y＝x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．
【解答】解：由圆的方程x2+y2＝4，可得圆心为原点O（0，0），半径为2，
若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y＝x+b的距离d小于1，
又直线的一般方程为x﹣y+b＝0，
所以，解得，
所以实数b的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2024 电白区期末）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1内，则直线l：ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】C
【分析】先求圆心到直线ax+by＝1的距离，通过关系判断点P（a，b）与圆的位置关系．
【解答】解：∵点P（a，b）是圆x2+y2＝1内不同于原点的一点，
∴1，
∵圆心到直线ax+by＝1的距离，d1．
故直线和圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题．
4．（2024 南宁期末）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（ ）
A． B．10 C． D．8
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想．
【答案】D
【分析】点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．
【解答】解：由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，
最短距离为|BC|﹣R2＝10﹣2＝8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．
故选：D．
【点评】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．
5．（2024 香坊区校级期末）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM| |AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【考点】切点弦及所在直线的方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学抽象．
【答案】D
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM| |AB|，说明要使|PM| |AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵2S△PAM＝|PA| |AM|＝2|PA|．
∴要使|PM| |AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
由直线l：2x+y+2＝0，可得直线PM的斜率为，
直线PM的方程为y﹣1（x﹣1），即y，
联立，解得P（﹣1，0）．
则以PM为直径的圆的方程为．
联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 唐河县期末）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．若CD⊥OM，则
C．|CD|的最小值为
D．△MCD的面积的最大值为2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】将直线l整理成关于k的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断A；利用CD⊥OM得出直线l的斜率，即可判断B；当直线l与MT垂直时，|CD|取得最小值，再利用几何法求弦长，即可判断C；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断D．
【解答】解：对于选项A：将直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0整理为：（2x﹣1）k+y﹣2＝0，
令，解得，即直线l过定点，故选项A正确；
对于选项B：由题意知，M（2，2），则直线OM的斜率为，
若CD⊥OM，则直线CD即直线l的斜率为﹣2k＝﹣1，解得：，故选项B正确；
对于选项C：因为直线l过定点，所以当直线l与MT垂直时，|CD|取得最小值，
此时，故选项C错误；
对于选项D：设点M到直线CD的距离为d，
则，
当且仅当4﹣d2＝d2，即时，等号成立，
故△MCD的面积的最大值为2，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
（多选）7．（2024 西固区校级期末）已知直线l：kx﹣y﹣k＝0与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．圆M的半径为2
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切
D．直线l被圆M截得的弦长最长为4
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】将直线方程变形后得到y＝k（x﹣1），求出恒过的定点，即可判断A；将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长，可判断D．
【解答】解：l：kx﹣y﹣k＝0变形为y＝k（x﹣1），故恒过定点（1，0），A正确；
M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0变形为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
圆心坐标为（2，1），半径为2，B正确；
令圆心（2，1）到直线l：kx﹣y﹣k＝0的距离，
整理得：3k2+2k+3＝0，由Δ＝4﹣36＝﹣32＜0可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若k＝1，直线方程为l：x﹣y﹣1＝0，圆心（2，1）在直线l：x﹣y﹣1＝0上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024 盐田区校级期末）求圆x2+y2﹣4y+3＝0上的动点P到直线3x﹣4y﹣2＝0距离的最大值 3 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】3．
【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解．
【解答】解：圆x2+y2﹣4y+3＝0可化为x2+（y﹣2）2＝1，其圆心为（0，2），半径为1，
圆心（0，2）到直线3x﹣4y﹣2＝0的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为2+r＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，找出d+r为所求距离的最大值是解本题的关键，是基础题．
9．（2024春 建华区校级月考）已知直线l：y＝x﹣1上一点A，圆C：x2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AB|的最小值为 ．
【考点】圆上的点到直线的距离及其最值．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】．
【分析】根据圆心到直线的距离减去半径为所求进行计算即可．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝2，
所以圆心坐标为（0，2），半径，
又直线l：x﹣y﹣1＝0，
所以圆心到直线的距离为，
所以|AB|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了圆的性质，属中档题．
10．（2024 翠屏区校级期末）若对于圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意的点A，直线l：4x+3y+8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】2．
【分析】先求得圆心与半径，当A确定时，由平面几何知识可得∠MAN＝90°时，|MN|的长度最短，过A作AH⊥MN，设∠NAH＝α，∠MAH＝90°﹣α，（0°＜α＜90°），
可得|NH|＝|AH|tanα，|MH|＝|AH|tan（90°﹣α），可得|MN|＝|AH|tanα+|AH|tan（90°﹣α）≥2|AH|，从而求得AH的最小值可求|MN|的最小值．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
∴圆心C（1，1），半径r＝2，
当A确定时，由平面几何知识可得∠MAN＝90°时，|MN|的长度最短，
过A作AH⊥MN，设∠NAH＝α，∠MAH＝90°﹣α，（0°＜α＜90°），
∴|NH|＝|AH|tanα，|MH|＝|AH|tan（90°﹣α），
∴|MN|＝|AH|tanα+|AH|tan（90°﹣α）＝|AH|×（）≥|AH| 22|AH|，
当且仅当，即α＝45°时取等号，
又圆心C（1，1）到直线的距离d3，
∴AH的最小值为3﹣2＝1，
∴|MN|的最小值为2|AH|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查求线段长的最小值问题，考查转化想的应用，考查运算求解能力，属中档题．
11．（2024 新余期末）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ 7或﹣3 ．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】7或﹣3．
【分析】由直线l：x﹣2y+m＝0与圆x2+（y﹣1）2＝5，相切，可得圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d，可求．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，得x2+（y﹣1）2＝5，
∴圆心为（0，1），半径为，
∵直线l：x﹣2y+m＝0与圆C相切，
∴圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d，
即|m﹣2|＝5，
∴m＝7或m＝﹣3，
故答案为：7或﹣3．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离d＝r，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 盐田区校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．
（1）从圆外一点P（2，1）向圆引切线，求切线方程；
（2）若圆C2：x2+y2＝4与圆C相交于D、E两点，求线段DE的长．
【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x＝2或4x﹣3y﹣5＝0．
（2）4．
【分析】（1）设切线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，由圆心到直线的距离等于半径求解k，则切线方程可求；
（2）联立两圆方程，可得DE所在直线方程，通过垂径定理，转化求解即可．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，圆心C1（﹣1，2），半径为3，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0．
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，
解得k．
∴切线方程为4x﹣3y﹣5＝0．
综上所述，切线方程为x＝2或4x﹣3y﹣5＝0；
（2）联立，得D、E所在直线方程为x﹣2y＝0．
圆x2+y2＝4的圆心C2（0，0），在直线x﹣2y＝0上，
则线段DE的长为圆C2的直径，等于4．
【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2024 宜丰县校级月考）已知圆O的圆心为坐标原点，斜率为1且过点M（1，5）的直线与圆O相切，圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9．
（1）若圆O与圆C相交于E，F两点，求线段EF的长度；
（2）若直线l：ax+y﹣1＝0与圆C交于P，Q两点，是否存在实数a，使得|OP|＝|OQ|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）；
（2）存在a＝1，使得|OP|＝|OQ|．
【分析】（1）斜率为1且过点M（1，5）的直线方程为x﹣y+4＝0，由其与圆O相切结合点到直线的距离公式可得圆O的半径，从而可得圆O的方程．圆C的方程减去圆O的方程，可得EF所在的直线方程为2x+2y+1＝0，根据垂径定理可求|EF|；
（2）设PQ的中点为T，可得C，O，T三点共线，根据斜率公式求出kOC＝1，由垂直关系可得kl＝﹣1，从而可求a的值，再验证直线l与圆C有两个交点即可．
【解答】解：（1）斜率为1且过点M（1，5）的直线方程为y﹣5＝x﹣1，即x﹣y+4＝0．
则O到直线x﹣y+4＝0的距离为，即为圆O的半径，
所以圆O的方程为x2+y2＝8．
由圆C的方程减去圆O的方程，可得2x+1+2y+1＝1，即2x+2y+1＝0．
因为圆O与圆C相交于E，F两点，则EF所在的直线方程为2x+2y+1＝0．
O到EF的距离为，
所以．
（2）假设存在实数a，使得|OP|＝|OQ|．
设PQ的中点为T，因为|OP|＝|OQ|，所以PQ⊥OT．
又PQ⊥CT，所以C，O，T三点共线．
圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9的圆心为C（﹣1，﹣1），半径为3，
故，所以kPQ＝﹣1，即kl＝﹣1．
因为直线l：ax+y﹣1＝0，所以﹣a＝﹣1，解得a＝1，
此时直线l：x+y﹣1＝0．
圆心C到直线l的距离为，
所以直线l与圆C有两个交点，
所以存在实数a＝1，使得|OP|＝|OQ|．
【点评】本题考查圆的方程、直线的斜率的求法，考查运算求解能力，属中档题．
14．（2024 荆州区校级期末）已知直线2x﹣y+m＝0和圆O：x2+y2＝5．
（1）m为何值时，截得的弦长为2；
（2）若直线和圆交于A，B两点，此时OA⊥OB，求m的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2．
（2）当m＝±时，OA⊥OB．
【分析】（1）求得圆心到直线2x﹣y+m＝0的距离，由平面几何垂径定理知r2﹣d2＝12，即可得出结论；
（2）由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r，圆心到直线2x﹣y+m＝0的距离d，
由平面几何垂径定理知r2﹣d2＝12，即51．
得m＝±2，
∴当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2．
（2）由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴dr，即，
解得m＝±，
故当m＝±时，OA⊥OB．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．（2024 泸县校级期末）已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y＝0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且，求k的值．
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算；圆的标准方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）联立直线l与圆C的方程得到x1+x2，x1x2，从而化简得到关于k的方程，解之即可得．
【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为直线m：3x﹣2y＝0平分圆C的面积，
所以直线过圆心（a，b），即3a﹣2b＝0，
则，解得，
圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；
（2）由题意直线l的方程为y＝kx+1，
联立，消去y得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则Δ＝16（1+k）2﹣28（1+k2）＝0＝﹣4（3k2﹣8k+3）＞0，得，
故，
而，
所以
，
故有，
解得k＝1，满足Δ＞0，
所以k＝1．
【点评】本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．
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新课预习衔接 直线与圆的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024 辽宁模拟）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣8x+4y+16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣8＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．x+2y＝0
2．（2024春 东坡区期末）已知圆x2+y2＝4上有四个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）
3．（2024 电白区期末）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1内，则直线l：ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
4．（2024 南宁期末）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（ ）
A． B．10 C． D．8
5．（2024 香坊区校级期末）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM| |AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 唐河县期末）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．若CD⊥OM，则
C．|CD|的最小值为
D．△MCD的面积的最大值为2
（多选）7．（2024 西固区校级期末）已知直线l：kx﹣y﹣k＝0与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．圆M的半径为2
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切
D．直线l被圆M截得的弦长最长为4
三．填空题（共4小题）
8．（2024 盐田区校级期末）求圆x2+y2﹣4y+3＝0上的动点P到直线3x﹣4y﹣2＝0距离的最大值 ．
9．（2024春 建华区校级月考）已知直线l：y＝x﹣1上一点A，圆C：x2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AB|的最小值为 ．
10．（2024 翠屏区校级期末）若对于圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意的点A，直线l：4x+3y+8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为 ．
11．（2024 新余期末）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 盐田区校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．
（1）从圆外一点P（2，1）向圆引切线，求切线方程；
（2）若圆C2：x2+y2＝4与圆C相交于D、E两点，求线段DE的长．
13．（2024 宜丰县校级月考）已知圆O的圆心为坐标原点，斜率为1且过点M（1，5）的直线与圆O相切，圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9．
（1）若圆O与圆C相交于E，F两点，求线段EF的长度；
（2）若直线l：ax+y﹣1＝0与圆C交于P，Q两点，是否存在实数a，使得|OP|＝|OQ|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
14．（2024 荆州区校级期末）已知直线2x﹣y+m＝0和圆O：x2+y2＝5．
（1）m为何值时，截得的弦长为2；
（2）若直线和圆交于A，B两点，此时OA⊥OB，求m的值．
15．（2024 泸县校级期末）已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y＝0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且，求k的值．
新课预习衔接 直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 辽宁模拟）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣8x+4y+16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣8＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．x+2y＝0
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据对称可知l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
【解答】解：圆，圆心C1（0，0），半径r1＝2，
，圆心C2（4，﹣2），半径r2＝2，
由题意知，l是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，
∵C1（0，0），C2（4，﹣2），C1C2的中点（2，﹣1），
圆心C1C2连线的斜率为，则直线l的斜率为2，
故l的方程：y+1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两直线垂直时的斜率关系，考查了直线的点斜式方程，属于中档题．
2．（2024春 东坡区期末）已知圆x2+y2＝4上有四个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则O到直线y＝x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．
【解答】解：由圆的方程x2+y2＝4，可得圆心为原点O（0，0），半径为2，
若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y＝x+b的距离d小于1，
又直线的一般方程为x﹣y+b＝0，
所以，解得，
所以实数b的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2024 电白区期末）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1内，则直线l：ax+by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】C
【分析】先求圆心到直线ax+by＝1的距离，通过关系判断点P（a，b）与圆的位置关系．
【解答】解：∵点P（a，b）是圆x2+y2＝1内不同于原点的一点，
∴1，
∵圆心到直线ax+by＝1的距离，d1．
故直线和圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题．
4．（2024 南宁期末）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（ ）
A． B．10 C． D．8
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想．
【答案】D
【分析】点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．
【解答】解：由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，
最短距离为|BC|﹣R2＝10﹣2＝8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．
故选：D．
【点评】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．
5．（2024 香坊区校级期末）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM| |AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【考点】切点弦及所在直线的方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学抽象．
【答案】D
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM| |AB|，说明要使|PM| |AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵2S△PAM＝|PA| |AM|＝2|PA|．
∴要使|PM| |AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
由直线l：2x+y+2＝0，可得直线PM的斜率为，
直线PM的方程为y﹣1（x﹣1），即y，
联立，解得P（﹣1，0）．
则以PM为直径的圆的方程为．
联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 唐河县期末）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．若CD⊥OM，则
C．|CD|的最小值为
D．△MCD的面积的最大值为2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】将直线l整理成关于k的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断A；利用CD⊥OM得出直线l的斜率，即可判断B；当直线l与MT垂直时，|CD|取得最小值，再利用几何法求弦长，即可判断C；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断D．
【解答】解：对于选项A：将直线l：2kx+y﹣k﹣2＝0整理为：（2x﹣1）k+y﹣2＝0，
令，解得，即直线l过定点，故选项A正确；
对于选项B：由题意知，M（2，2），则直线OM的斜率为，
若CD⊥OM，则直线CD即直线l的斜率为﹣2k＝﹣1，解得：，故选项B正确；
对于选项C：因为直线l过定点，所以当直线l与MT垂直时，|CD|取得最小值，
此时，故选项C错误；
对于选项D：设点M到直线CD的距离为d，
则，
当且仅当4﹣d2＝d2，即时，等号成立，
故△MCD的面积的最大值为2，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
（多选）7．（2024 西固区校级期末）已知直线l：kx﹣y﹣k＝0与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．圆M的半径为2
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切
D．直线l被圆M截得的弦长最长为4
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】将直线方程变形后得到y＝k（x﹣1），求出恒过的定点，即可判断A；将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长，可判断D．
【解答】解：l：kx﹣y﹣k＝0变形为y＝k（x﹣1），故恒过定点（1，0），A正确；
M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0变形为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
圆心坐标为（2，1），半径为2，B正确；
令圆心（2，1）到直线l：kx﹣y﹣k＝0的距离，
整理得：3k2+2k+3＝0，由Δ＝4﹣36＝﹣32＜0可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若k＝1，直线方程为l：x﹣y﹣1＝0，圆心（2，1）在直线l：x﹣y﹣1＝0上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024 盐田区校级期末）求圆x2+y2﹣4y+3＝0上的动点P到直线3x﹣4y﹣2＝0距离的最大值 3 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】3．
【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解．
【解答】解：圆x2+y2﹣4y+3＝0可化为x2+（y﹣2）2＝1，其圆心为（0，2），半径为1，
圆心（0，2）到直线3x﹣4y﹣2＝0的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为2+r＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，找出d+r为所求距离的最大值是解本题的关键，是基础题．
9．（2024春 建华区校级月考）已知直线l：y＝x﹣1上一点A，圆C：x2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AB|的最小值为 ．
【考点】圆上的点到直线的距离及其最值．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】．
【分析】根据圆心到直线的距离减去半径为所求进行计算即可．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝2，
所以圆心坐标为（0，2），半径，
又直线l：x﹣y﹣1＝0，
所以圆心到直线的距离为，
所以|AB|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了圆的性质，属中档题．
10．（2024 翠屏区校级期末）若对于圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意的点A，直线l：4x+3y+8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】2．
【分析】先求得圆心与半径，当A确定时，由平面几何知识可得∠MAN＝90°时，|MN|的长度最短，过A作AH⊥MN，设∠NAH＝α，∠MAH＝90°﹣α，（0°＜α＜90°），
可得|NH|＝|AH|tanα，|MH|＝|AH|tan（90°﹣α），可得|MN|＝|AH|tanα+|AH|tan（90°﹣α）≥2|AH|，从而求得AH的最小值可求|MN|的最小值．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
∴圆心C（1，1），半径r＝2，
当A确定时，由平面几何知识可得∠MAN＝90°时，|MN|的长度最短，
过A作AH⊥MN，设∠NAH＝α，∠MAH＝90°﹣α，（0°＜α＜90°），
∴|NH|＝|AH|tanα，|MH|＝|AH|tan（90°﹣α），
∴|MN|＝|AH|tanα+|AH|tan（90°﹣α）＝|AH|×（）≥|AH| 22|AH|，
当且仅当，即α＝45°时取等号，
又圆心C（1，1）到直线的距离d3，
∴AH的最小值为3﹣2＝1，
∴|MN|的最小值为2|AH|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查求线段长的最小值问题，考查转化想的应用，考查运算求解能力，属中档题．
11．（2024 新余期末）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝ 7或﹣3 ．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】7或﹣3．
【分析】由直线l：x﹣2y+m＝0与圆x2+（y﹣1）2＝5，相切，可得圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d，可求．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，得x2+（y﹣1）2＝5，
∴圆心为（0，1），半径为，
∵直线l：x﹣2y+m＝0与圆C相切，
∴圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d，
即|m﹣2|＝5，
∴m＝7或m＝﹣3，
故答案为：7或﹣3．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离d＝r，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 盐田区校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．
（1）从圆外一点P（2，1）向圆引切线，求切线方程；
（2）若圆C2：x2+y2＝4与圆C相交于D、E两点，求线段DE的长．
【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x＝2或4x﹣3y﹣5＝0．
（2）4．
【分析】（1）设切线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，由圆心到直线的距离等于半径求解k，则切线方程可求；
（2）联立两圆方程，可得DE所在直线方程，通过垂径定理，转化求解即可．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，圆心C1（﹣1，2），半径为3，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0．
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，
解得k．
∴切线方程为4x﹣3y﹣5＝0．
综上所述，切线方程为x＝2或4x﹣3y﹣5＝0；
（2）联立，得D、E所在直线方程为x﹣2y＝0．
圆x2+y2＝4的圆心C2（0，0），在直线x﹣2y＝0上，
则线段DE的长为圆C2的直径，等于4．
【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2024 宜丰县校级月考）已知圆O的圆心为坐标原点，斜率为1且过点M（1，5）的直线与圆O相切，圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9．
（1）若圆O与圆C相交于E，F两点，求线段EF的长度；
（2）若直线l：ax+y﹣1＝0与圆C交于P，Q两点，是否存在实数a，使得|OP|＝|OQ|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）；
（2）存在a＝1，使得|OP|＝|OQ|．
【分析】（1）斜率为1且过点M（1，5）的直线方程为x﹣y+4＝0，由其与圆O相切结合点到直线的距离公式可得圆O的半径，从而可得圆O的方程．圆C的方程减去圆O的方程，可得EF所在的直线方程为2x+2y+1＝0，根据垂径定理可求|EF|；
（2）设PQ的中点为T，可得C，O，T三点共线，根据斜率公式求出kOC＝1，由垂直关系可得kl＝﹣1，从而可求a的值，再验证直线l与圆C有两个交点即可．
【解答】解：（1）斜率为1且过点M（1，5）的直线方程为y﹣5＝x﹣1，即x﹣y+4＝0．
则O到直线x﹣y+4＝0的距离为，即为圆O的半径，
所以圆O的方程为x2+y2＝8．
由圆C的方程减去圆O的方程，可得2x+1+2y+1＝1，即2x+2y+1＝0．
因为圆O与圆C相交于E，F两点，则EF所在的直线方程为2x+2y+1＝0．
O到EF的距离为，
所以．
（2）假设存在实数a，使得|OP|＝|OQ|．
设PQ的中点为T，因为|OP|＝|OQ|，所以PQ⊥OT．
又PQ⊥CT，所以C，O，T三点共线．
圆C：（x+1）2+（y+1）2＝9的圆心为C（﹣1，﹣1），半径为3，
故，所以kPQ＝﹣1，即kl＝﹣1．
因为直线l：ax+y﹣1＝0，所以﹣a＝﹣1，解得a＝1，
此时直线l：x+y﹣1＝0．
圆心C到直线l的距离为，
所以直线l与圆C有两个交点，
所以存在实数a＝1，使得|OP|＝|OQ|．
【点评】本题考查圆的方程、直线的斜率的求法，考查运算求解能力，属中档题．
14．（2024 荆州区校级期末）已知直线2x﹣y+m＝0和圆O：x2+y2＝5．
（1）m为何值时，截得的弦长为2；
（2）若直线和圆交于A，B两点，此时OA⊥OB，求m的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2．
（2）当m＝±时，OA⊥OB．
【分析】（1）求得圆心到直线2x﹣y+m＝0的距离，由平面几何垂径定理知r2﹣d2＝12，即可得出结论；
（2）由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r，圆心到直线2x﹣y+m＝0的距离d，
由平面几何垂径定理知r2﹣d2＝12，即51．
得m＝±2，
∴当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2．
（2）由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴dr，即，
解得m＝±，
故当m＝±时，OA⊥OB．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．（2024 泸县校级期末）已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y＝0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且，求k的值．
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算；圆的标准方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）联立直线l与圆C的方程得到x1+x2，x1x2，从而化简得到关于k的方程，解之即可得．
【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为直线m：3x﹣2y＝0平分圆C的面积，
所以直线过圆心（a，b），即3a﹣2b＝0，
则，解得，
圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；
（2）由题意直线l的方程为y＝kx+1，
联立，消去y得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则Δ＝16（1+k）2﹣28（1+k2）＝0＝﹣4（3k2﹣8k+3）＞0，得，
故，
而，
所以
，
故有，
解得k＝1，满足Δ＞0，
所以k＝1．
【点评】本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．
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