【新课预习衔接】2.3圆与圆的位置关系（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】2.3圆与圆的位置关系（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 110.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-12 10:36:47 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 圆与圆的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东坡区期末）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2+mx+4y﹣11＝0（m∈R）的公共弦所在直线与直线l：2x﹣y+1＝0垂直，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．（2024 三门峡期末）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）与圆D：x2+y2＝9的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
3．（2024 泰安期末）已知圆，直线，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1，则圆C1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．（2024春 长宁区期末）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．相离 D．外切
5．（2024春 新洲区期末）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0的公共弦长为，则a＝（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 淄博期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭西县期末）已知圆，圆，若圆C1与圆C2相外切，则r＝ ．
9．（2024春 西湖区校级月考）已知圆，圆，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值是 ．
10．（2024 渭滨区期末）已知两个圆x2+y2＝9，x2+（y﹣6）2＝r2，若两圆相切，则半径r为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
12．（2024 婺源县校级月考）已知圆O：x2+y2＝4．
（1）直线4x﹣3y+a＝0截圆O的弦长为，求a的值．
（2）记圆O与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，动点Q满足，问：动点Q的轨迹与圆O是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由．
13．（2024 武强县校级期中）已知圆与圆．
（1）求经过圆C1与圆C2交点的直线方程；
（2）求圆C1与圆C2的公共弦长．
14．（2024 东湖区校级期中）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2外切，求r的值；
（2）若圆C1与圆C2有两个交点，求r的取值范围．
15．（2024 温江区校级月考）已知⊙M：（x+2）2+y2＝1，⊙N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切且与圆N内切．圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线l交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
新课预习衔接 圆与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东坡区期末）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2+mx+4y﹣11＝0（m∈R）的公共弦所在直线与直线l：2x﹣y+1＝0垂直，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】求出圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出m并验证即得．
【解答】解：把圆C1与圆C2的方程相减得：mx+4y﹣7＝0，即为圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，
由直线mx+4y﹣7＝0与直线l垂直，得2m﹣4＝0，解得m＝2，
当m＝2时，圆C2：x2+y2+2x+4y﹣11＝0，即（x+1）2+（y+2）2＝16的圆心C2（﹣1，﹣2），半径r2＝4，
而圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径r1＝2，
于是，则圆C1与圆C2相交，符合题意，
所以m的值为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的公共弦所在方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
2．（2024 三门峡期末）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）与圆D：x2+y2＝9的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】将圆C化为标准方程得出其圆心与半径，圆D的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）化为标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝r2，
则圆C的圆心为C（1，﹣2），半径为r，
圆D：x2+y2＝9的圆心为D（0，0），半径为3，
则两圆心距离为，
所以两圆不可能外切．
故选：D．
【点评】本题考查两个圆的位置关系，属于基础题．
3．（2024 泰安期末）已知圆，直线，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1，则圆C1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】结合图形，由圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1得，即得圆C1的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，
【解答】解：由，得（x﹣a）2+y2＝a2（a＞0），
则圆心C1（a，0），半径a，
因为圆上3个点到直线的距离是1，
由直线，
则圆心到直线的距离，
故由题可知，则a＝2，
故圆C1的圆心为（2，0），半径是2，
又圆C2的圆心为，半径是1，
则，因为，所以两圆的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（2024春 长宁区期末）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．相离 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】B
【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d＝R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切
【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2＝9，
∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r＝3，
由圆x2+y2＝64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R＝8，
两圆心间的距离d＝|AB|＝5，
∵8﹣3＝5，即d＝R﹣r，
则两圆的位置关系是内切．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆相离（d表示两圆心间的距离，R及r分别表示两圆的半径）．
5．（2024春 新洲区期末）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0的公共弦长为，则a＝（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可．
【解答】解：圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0与圆x2+y2＝4两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为2x+ay﹣4＝0，
又x2+y2＝4，圆心为O（0，0），半径为2，公共弦长为，
则圆心O（0，0）到直线2x+ay﹣4＝0的距离，
化简得2（a2+4）＝16，
解得：a＝±2．验证知符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 淄博期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】ABC
【分析】根据题意，通过圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于A、B，由圆与圆的位置关系分析|PO|的最小值、最大值，可得A错误，B正确；对于C，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得C正确，对于D，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得D错误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1，
圆心距|C1C2|5，
则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A正确，B正确；
对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k，C正确，
对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于中档题．
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭西县期末）已知圆，圆，若圆C1与圆C2相外切，则r＝ 2 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；综合法；高考数学专题；直线与圆；数学运算．
【答案】2．
【分析】根据圆心距等于两圆半径之和计算r即可．
【解答】解：圆C1的圆心为C1（0，0），半径为r，
将C2化成标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9，
∴圆C2的圆心为C2（4，3），半径为3，
若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|5，
即5＝3+r，解得r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
9．（2024春 西湖区校级月考）已知圆，圆，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值是 6 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】6．
【分析】设P（t，0），由，求出|PM|+|PN|，取，当A，P，B三点共线时求出最小值即可．
【解答】解：如图所示：
设P（t，0），则
，
取，则|PM|+|PN|＝|PA|+|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，而，
所以当且仅当A，P，B三点共线时，|PM|+|PN|取最小值6．
故答案为：6．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，重点考查距离公式的应用，属中档题．
10．（2024 渭滨区期末）已知两个圆x2+y2＝9，x2+（y﹣6）2＝r2，若两圆相切，则半径r为 3或9 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】3或9．
【分析】根据题意，分析两圆的圆心和半径，根据两圆相内切、相外切的条件，可得关于r的方程，解可得答案．
【解答】解：由题意知：两圆圆心分别为：C1（0，0），C2（0，6），半径分别为：r1＝3，r2＝r＞0，
当两圆外切时：|C1C2|＝6＝3+r，解得：r＝3；
当两圆内切时：|C1C2|＝6＝|3﹣r|，解得：r＝9，负值舍去；
综上：r＝3或r＝9．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查圆的方程，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）设出圆的标准方程，代入三个点的坐标，求得D，E，F则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，利用点到直线的距离求得m，则可求得直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故
解此方程组，得D＝﹣6，E＝8，F＝0．
故所求圆C的方程为x2+y2﹣6x+8y＝0．
（Ⅱ）直线AB的方程为x﹣3y﹣20＝0，故设直线l的方程为3x+y+m＝0．
由题意，圆心C（3，﹣4）到直线AB与直线l的距离相等，
故有，
解得m＝0或m＝﹣10．
所以直线l的方程为3x+y＝0或3x+y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查了直线与圆的问题的综合运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
12．（2024 婺源县校级月考）已知圆O：x2+y2＝4．
（1）直线4x﹣3y+a＝0截圆O的弦长为，求a的值．
（2）记圆O与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，动点Q满足，问：动点Q的轨迹与圆O是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）a＝±5；（2）有，公共弦长为．
【分析】（1）计算圆心O到直线4x﹣3y+a＝0距离为，再根据弦长公式计算得到答案．
（2）设Q（x，y），根据得到（x+2）2+（y﹣4）2＝16，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案．
【解答】解：（1）因为圆心O到直线4x﹣3y+a＝0距离为，
所以，解得a＝±5；
（2）A（2，0），B（0，2），设Q（x，y），
由得（x﹣2）2+y2＝2[x2+（y﹣2）2]，
化简得：x2+y2+4x﹣8y+4＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝16，
所以动点Q的轨迹是以（2，4）为圆心，4为半径的圆E，
圆心距，，两圆相交，
所以两圆有两个公共点，
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x﹣2y+2＝0，
圆心（0，0）到公共弦的距离为，则公共弦长为．
【点评】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于中档题．
13．（2024 武强县校级期中）已知圆与圆．
（1）求经过圆C1与圆C2交点的直线方程；
（2）求圆C1与圆C2的公共弦长．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x+y﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆C1的圆心和半径，求得圆心到两圆公共线所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案．
【解答】解：（1）圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，
圆，即，圆心C2（1，1），半径为r2＝1，
则，故圆C1与圆C2相交；
将圆与圆的方程相减，
可得x+y﹣1＝0，
即经过圆C1与圆C2交点的直线方程为x+y﹣1＝0；
（2）圆的圆心C1（0，0），半径为1，
（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离为，
故圆C1与圆C2的公共弦长为．
【点评】本题考查两圆的位置关系的判断及相交圆的交点直线的求法，属于基础题
14．（2024 东湖区校级期中）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2外切，求r的值；
（2）若圆C1与圆C2有两个交点，求r的取值范围．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（4，6）．
【分析】（1）根据两圆外切，可知圆心距等于r+1，列方程即可求；
（2）根据两圆有两个交点，可知圆心距属于区间 （|r﹣1|，r+1），列式即可求．
【解答】解：（1）由题意圆心C2（4，5），半径为r，
又圆C1可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，故圆心C1（1，1），半径为1，
因为圆C1与圆C2相外切，则点（1，1）与 （4，5）之间的距离等于r+1，
即，所以r＝4．
（2）若圆C1与圆C2有两个公共点，
则点 （1，1）与（4，5）之间的距离属于区间 （|r﹣1|，r+1），
即|r﹣1＜5＜r+1，
解得4＜r＜6，
所以r的取值范围为（4，6）．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
15．（2024 温江区校级月考）已知⊙M：（x+2）2+y2＝1，⊙N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切且与圆N内切．圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线l交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】整体思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）；
（2）存在，．
【分析】（1）先根据题意得到圆M与圆N的圆心和半径，再根据题意求得|PM|+|PN|＝8，|MN|＝4，从而根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C的方程；
（2）先根据题意可得过点的直线l的斜率存在，从而设直线l为，再联立曲线C的方程，消y整理得到关于x的一元二次方程，再结合点Q为中点，从而求得k的值，进而即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意可得圆M的圆心为M（﹣2，0），半径为1，圆N的圆心为N（2，0），半径为7，
设动圆P的半径为r，
由动圆P与圆M外切且与圆N内切，
则|PM|+|PN|＝r+1+（7﹣r）＝8，且|MN|＝4，
则由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，
所以a＝4，c＝2，b＝a2﹣c2＝12，
故曲线C的方程的方程为．
（2）依题意可得过点的直线l的斜率存在，
则设直线l为，
联立，消y整理得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+4k2﹣4k﹣47＝0，
当点Q为中点时，有，解得，
又，所以（定值），
故直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
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新课预习衔接 圆与圆的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东坡区期末）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2+mx+4y﹣11＝0（m∈R）的公共弦所在直线与直线l：2x﹣y+1＝0垂直，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．（2024 三门峡期末）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）与圆D：x2+y2＝9的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
3．（2024 泰安期末）已知圆，直线，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1，则圆C1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．（2024春 长宁区期末）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．相离 D．外切
5．（2024春 新洲区期末）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0的公共弦长为，则a＝（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 淄博期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭西县期末）已知圆，圆，若圆C1与圆C2相外切，则r＝ ．
9．（2024春 西湖区校级月考）已知圆，圆，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值是 ．
10．（2024 渭滨区期末）已知两个圆x2+y2＝9，x2+（y﹣6）2＝r2，若两圆相切，则半径r为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
12．（2024 婺源县校级月考）已知圆O：x2+y2＝4．
（1）直线4x﹣3y+a＝0截圆O的弦长为，求a的值．
（2）记圆O与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，动点Q满足，问：动点Q的轨迹与圆O是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由．
13．（2024 武强县校级期中）已知圆与圆．
（1）求经过圆C1与圆C2交点的直线方程；
（2）求圆C1与圆C2的公共弦长．
14．（2024 东湖区校级期中）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2外切，求r的值；
（2）若圆C1与圆C2有两个交点，求r的取值范围．
15．（2024 温江区校级月考）已知⊙M：（x+2）2+y2＝1，⊙N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切且与圆N内切．圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线l交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
新课预习衔接 圆与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东坡区期末）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2+mx+4y﹣11＝0（m∈R）的公共弦所在直线与直线l：2x﹣y+1＝0垂直，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】求出圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出m并验证即得．
【解答】解：把圆C1与圆C2的方程相减得：mx+4y﹣7＝0，即为圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，
由直线mx+4y﹣7＝0与直线l垂直，得2m﹣4＝0，解得m＝2，
当m＝2时，圆C2：x2+y2+2x+4y﹣11＝0，即（x+1）2+（y+2）2＝16的圆心C2（﹣1，﹣2），半径r2＝4，
而圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径r1＝2，
于是，则圆C1与圆C2相交，符合题意，
所以m的值为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的公共弦所在方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
2．（2024 三门峡期末）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）与圆D：x2+y2＝9的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】将圆C化为标准方程得出其圆心与半径，圆D的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y＝r2﹣5（r＞0）化为标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝r2，
则圆C的圆心为C（1，﹣2），半径为r，
圆D：x2+y2＝9的圆心为D（0，0），半径为3，
则两圆心距离为，
所以两圆不可能外切．
故选：D．
【点评】本题考查两个圆的位置关系，属于基础题．
3．（2024 泰安期末）已知圆，直线，圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1，则圆C1与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】结合图形，由圆C1上恰有3个点到直线l的距离等于1得，即得圆C1的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，
【解答】解：由，得（x﹣a）2+y2＝a2（a＞0），
则圆心C1（a，0），半径a，
因为圆上3个点到直线的距离是1，
由直线，
则圆心到直线的距离，
故由题可知，则a＝2，
故圆C1的圆心为（2，0），半径是2，
又圆C2的圆心为，半径是1，
则，因为，所以两圆的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（2024春 长宁区期末）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．相离 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】B
【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d＝R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切
【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2＝9，
∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r＝3，
由圆x2+y2＝64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R＝8，
两圆心间的距离d＝|AB|＝5，
∵8﹣3＝5，即d＝R﹣r，
则两圆的位置关系是内切．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆相离（d表示两圆心间的距离，R及r分别表示两圆的半径）．
5．（2024春 新洲区期末）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0的公共弦长为，则a＝（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可．
【解答】解：圆x2+y2+2x+ay﹣8＝0与圆x2+y2＝4两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为2x+ay﹣4＝0，
又x2+y2＝4，圆心为O（0，0），半径为2，公共弦长为，
则圆心O（0，0）到直线2x+ay﹣4＝0的距离，
化简得2（a2+4）＝16，
解得：a＝±2．验证知符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 淄博期末）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】ABC
【分析】根据题意，通过圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于A、B，由圆与圆的位置关系分析|PO|的最小值、最大值，可得A错误，B正确；对于C，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得C正确，对于D，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得D错误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1，
圆心距|C1C2|5，
则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A正确，B正确；
对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k，C正确，
对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于中档题．
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 揭西县期末）已知圆，圆，若圆C1与圆C2相外切，则r＝ 2 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；综合法；高考数学专题；直线与圆；数学运算．
【答案】2．
【分析】根据圆心距等于两圆半径之和计算r即可．
【解答】解：圆C1的圆心为C1（0，0），半径为r，
将C2化成标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9，
∴圆C2的圆心为C2（4，3），半径为3，
若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|5，
即5＝3+r，解得r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
9．（2024春 西湖区校级月考）已知圆，圆，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值是 6 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】6．
【分析】设P（t，0），由，求出|PM|+|PN|，取，当A，P，B三点共线时求出最小值即可．
【解答】解：如图所示：
设P（t，0），则
，
取，则|PM|+|PN|＝|PA|+|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，而，
所以当且仅当A，P，B三点共线时，|PM|+|PN|取最小值6．
故答案为：6．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，重点考查距离公式的应用，属中档题．
10．（2024 渭滨区期末）已知两个圆x2+y2＝9，x2+（y﹣6）2＝r2，若两圆相切，则半径r为 3或9 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】3或9．
【分析】根据题意，分析两圆的圆心和半径，根据两圆相内切、相外切的条件，可得关于r的方程，解可得答案．
【解答】解：由题意知：两圆圆心分别为：C1（0，0），C2（0，6），半径分别为：r1＝3，r2＝r＞0，
当两圆外切时：|C1C2|＝6＝3+r，解得：r＝3；
当两圆内切时：|C1C2|＝6＝|3﹣r|，解得：r＝9，负值舍去；
综上：r＝3或r＝9．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查圆的方程，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）设出圆的标准方程，代入三个点的坐标，求得D，E，F则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，利用点到直线的距离求得m，则可求得直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故
解此方程组，得D＝﹣6，E＝8，F＝0．
故所求圆C的方程为x2+y2﹣6x+8y＝0．
（Ⅱ）直线AB的方程为x﹣3y﹣20＝0，故设直线l的方程为3x+y+m＝0．
由题意，圆心C（3，﹣4）到直线AB与直线l的距离相等，
故有，
解得m＝0或m＝﹣10．
所以直线l的方程为3x+y＝0或3x+y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查了直线与圆的问题的综合运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
12．（2024 婺源县校级月考）已知圆O：x2+y2＝4．
（1）直线4x﹣3y+a＝0截圆O的弦长为，求a的值．
（2）记圆O与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，动点Q满足，问：动点Q的轨迹与圆O是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）a＝±5；（2）有，公共弦长为．
【分析】（1）计算圆心O到直线4x﹣3y+a＝0距离为，再根据弦长公式计算得到答案．
（2）设Q（x，y），根据得到（x+2）2+（y﹣4）2＝16，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案．
【解答】解：（1）因为圆心O到直线4x﹣3y+a＝0距离为，
所以，解得a＝±5；
（2）A（2，0），B（0，2），设Q（x，y），
由得（x﹣2）2+y2＝2[x2+（y﹣2）2]，
化简得：x2+y2+4x﹣8y+4＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝16，
所以动点Q的轨迹是以（2，4）为圆心，4为半径的圆E，
圆心距，，两圆相交，
所以两圆有两个公共点，
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x﹣2y+2＝0，
圆心（0，0）到公共弦的距离为，则公共弦长为．
【点评】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于中档题．
13．（2024 武强县校级期中）已知圆与圆．
（1）求经过圆C1与圆C2交点的直线方程；
（2）求圆C1与圆C2的公共弦长．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x+y﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆C1的圆心和半径，求得圆心到两圆公共线所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案．
【解答】解：（1）圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，
圆，即，圆心C2（1，1），半径为r2＝1，
则，故圆C1与圆C2相交；
将圆与圆的方程相减，
可得x+y﹣1＝0，
即经过圆C1与圆C2交点的直线方程为x+y﹣1＝0；
（2）圆的圆心C1（0，0），半径为1，
（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离为，
故圆C1与圆C2的公共弦长为．
【点评】本题考查两圆的位置关系的判断及相交圆的交点直线的求法，属于基础题
14．（2024 东湖区校级期中）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2外切，求r的值；
（2）若圆C1与圆C2有两个交点，求r的取值范围．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（4，6）．
【分析】（1）根据两圆外切，可知圆心距等于r+1，列方程即可求；
（2）根据两圆有两个交点，可知圆心距属于区间 （|r﹣1|，r+1），列式即可求．
【解答】解：（1）由题意圆心C2（4，5），半径为r，
又圆C1可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，故圆心C1（1，1），半径为1，
因为圆C1与圆C2相外切，则点（1，1）与 （4，5）之间的距离等于r+1，
即，所以r＝4．
（2）若圆C1与圆C2有两个公共点，
则点 （1，1）与（4，5）之间的距离属于区间 （|r﹣1|，r+1），
即|r﹣1＜5＜r+1，
解得4＜r＜6，
所以r的取值范围为（4，6）．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
15．（2024 温江区校级月考）已知⊙M：（x+2）2+y2＝1，⊙N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切且与圆N内切．圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线l交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】整体思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）；
（2）存在，．
【分析】（1）先根据题意得到圆M与圆N的圆心和半径，再根据题意求得|PM|+|PN|＝8，|MN|＝4，从而根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C的方程；
（2）先根据题意可得过点的直线l的斜率存在，从而设直线l为，再联立曲线C的方程，消y整理得到关于x的一元二次方程，再结合点Q为中点，从而求得k的值，进而即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意可得圆M的圆心为M（﹣2，0），半径为1，圆N的圆心为N（2，0），半径为7，
设动圆P的半径为r，
由动圆P与圆M外切且与圆N内切，
则|PM|+|PN|＝r+1+（7﹣r）＝8，且|MN|＝4，
则由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，
所以a＝4，c＝2，b＝a2﹣c2＝12，
故曲线C的方程的方程为．
（2）依题意可得过点的直线l的斜率存在，
则设直线l为，
联立，消y整理得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+4k2﹣4k﹣47＝0，
当点Q为中点时，有，解得，
又，所以（定值），
故直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
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