【新课预习衔接】3.2双曲线（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】3.2双曲线（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 103.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-12 10:36:54 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 双曲线
一．选择题（共5小题）
1．（2024 如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
2．（2024 周口二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e sin∠PF1F2＝1，且4a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
3．（2024 宁德期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．y＝±3x D．
4．（2024 南岗区校级期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣4）2＝4相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2024秋 琼山区校级月考）双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．y＝±ax
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 浙江模拟）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx±ny＝0
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
（多选）7．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为3x±4y＝0
B．双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D．若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
三．填空题（共3小题）
8．（2024 辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1作斜率为的直线与C的右支交于点P，且点M满足，且，则C的离心率是 ．
9．（2024 盐田区校级期末）与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
10．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 克州期末）已知双曲线C：的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线y＝x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
12．（2024 青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求．
13．（2024 道里区校级期末）已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，且右顶点P到该条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M（3，2），求直线l的方程．
14．（2024 枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点．
（1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标；
（2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率；
（3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程．
15．（2024春 赤坎区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
新课预习衔接 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【考点】双曲线上的点与焦点的距离．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解结论．
【解答】解：M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，|MF1|＝5，
所以，
由双曲线定义可知||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4，
所以|MF2|＝1或者9，又|MF2|≥c﹣a＝2，
所以|MF2|＝9．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024 周口二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e sin∠PF1F2＝1，且4a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义和离心率公式、三角形的面积公式，推得m＝4a，n＝2a，再由余弦定理可得b＝2a，可得渐近线方程．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，
由e sin∠PF1F2＝1，且4a2，
可得sin∠PF1F2，cos∠PF1F2，
m 2c 4a2，
解得m＝4a，n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠PF1F2，
即，化为16ab＝4a2+4b2+12a2，
即为b＝2a，
则双曲线的渐近线方程为2x±y＝0．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
3．（2024 宁德期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．y＝±3x D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】由双曲线方程求得a与b的值，则渐近线方程可求．
【解答】解：由双曲线，得a＝1，b，
∴双曲线的渐近线方程是y．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题．
4．（2024 南岗区校级期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣4）2＝4相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】分别求得双曲线的渐近线方程和圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，结合双曲线的离心率公式可得所求值．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay＝0，
圆x2+（y﹣4）2＝4的圆心为（0，4），半径为2，
又渐近线与圆相切，可得2，
化为b2＝3a2，
则离心率e2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．（2024秋 琼山区校级月考）双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．y＝±ax
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可．
【解答】解：双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）即，故渐近线方程为．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线渐近线相关知识，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 浙江模拟）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx±ny＝0
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【考点】双曲线的几何特征；曲线与方程；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】ABD
【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：mx2+ny2＝1为相应的标准方程，即可判断A，B，C；m＝0，n＞0时，方程即为，即可判断D．
【解答】解：对于A，若m＞n＞0，则，
故曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示椭圆，其焦点在y轴上，故A正确；
对于B，若m＝n＞0，，
则曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示半径为的圆，故B正确；
对于C，若mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，
则曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示焦点在x轴上的双曲线，
则，故渐近线方程为，
即，故C错误；
对于D，若m＝0，n＞0，曲线C：mx2+ny2＝1，即ny2＝1，
即，则C是两条直线，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查圆锥曲线的性质，属基础题．
（多选）7．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为3x±4y＝0
B．双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D．若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】CD
【分析】根据双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，即可分别求解．
【解答】解：∵双曲线，
∴a＝3，b＝4，c＝5，且焦点在x轴上，
对A选项，渐近线方程为y＝±x＝±x，
即4x±3y＝0，∴A选项错误；
对B选项，双曲线C与椭圆的离心率分别为，，
∴双曲线C与椭圆的离心率不互为倒数，∴B选项错误；
对C选项，∵双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，
又|PF1|＝|PF2|+2a＝|PF2|+6，∴|PF2|+6＝2|PF2|，
∴|PF2|＝6，|PF1|＝12，又|F1F2|＝2c＝10，
∴△PF1F2的周长为6+12+10＝28，∴C选项正确；
对D选项，若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为2a＝6，∴D选项正确．
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，属基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1作斜率为的直线与C的右支交于点P，且点M满足，且，则C的离心率是 ．
【考点】双曲线的离心率；双曲线的定义．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】．
【分析】根据题意得到F2M是线段F1P的垂直平分线，从而得到|PF2|＝2c，再利用推得|PF1|＝4b，结合双曲线的定义得到关于a，b，c的齐次方程，进而得解．
【解答】解：如图，直线F1P的斜率为．
由，得点M为PF1的中点，
又，所以F2M是线段F1P的垂直平分线，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
过点O作ON⊥PF1于点N，由已知得，
所以，
所以，
所以，即|ON|＝a，所以，
又ON//MF2，O为F1F2的中点，所以|MF1|＝2|NF1|＝2b，所以|PF1|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝4b﹣2c＝2a，即2b＝c+a，
所以4b2＝（c+a）2，可得4（c2﹣a2）＝（c+a）2，整理得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，
即3e2﹣2e﹣5＝0，解得或e＝﹣1（舍去），
又题中直线与C的右支有交点，所以，即b2＞a2，
所以c2﹣a2＞a2，即c2＞2a2，所以，即，
所以C的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．
9．（2024 盐田区校级期末）与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出c的值，再由双曲线的离心率得出a，进而可得双曲线的标准方程．
【解答】解：由椭圆方程，可得焦点为（3，0），（﹣3，0），
设双曲线的半焦距为c，则c＝3，因双曲线的离心率为，则，
故a＝2，所以，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
10．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 9 ．
【考点】双曲线的几何特征；圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】9．
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到m+n＝1，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值．
【解答】解：先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点（﹣1，0）与点（1，0），
于是点（﹣1，0）与点（1，0）也是双曲线的两个焦点，
因此m+n＝1，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当n＝2m时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 克州期末）已知双曲线C：的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线y＝x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据实轴长可求a，根据焦点坐标可求c，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
【解答】解：（1）由已知2a＝2，a＝1，
又，则，
所以双曲线方程为；
（2）由，得3x2﹣4x﹣8＝0，
则Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣8）＝112＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
12．（2024 青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据离心率的定义得到b2＝3a2，利用点在双曲线上代入求解即可，
（2）设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可．
【解答】解：（1）∵离心率为2，∴2，即c＝2a，则a2+b2＝c2＝4a2，
即b2＝3a2，则双曲线方程为
∵双曲线经过点P（4，6），
∴1，得a2＝4，
∴C的方程为．
（2）由题意，点M坐标为（1，6），点N坐标为（0，6），
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
法一：
①若直线AB斜率存在，设直线AB方程为y＝kx+m，
，消去y可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0，
则3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，
且．
整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，
即，
化简得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，
即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，
因为直线AB不过点P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，
所以直线AB的方程为y＝k（x+2）+6，恒过定点Q（﹣2，6）．
②若直线AB斜率不存在，则x1＝x2，y1+y2＝0．
则，
解得x1＝x2＝﹣2，所以直线AB的方程为x＝﹣2，过定点Q（﹣2，6）．
综上，直线AB恒过定点Q（﹣2，6）．
法二：∵直线AB不过点P（4，6），∴可设直线AB方程为m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．
由可得，
即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，
即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）] [m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，
得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，
等式左右两边同时除以（x﹣4）2得，
Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，
，解得．
所以直线AB方程为，恒过定点Q（﹣2，6）
设点M到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，
．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
13．（2024 道里区校级期末）已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，且右顶点P到该条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M（3，2），求直线l的方程．
【考点】双曲线的中点弦．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）；
（2）6x﹣y﹣16＝0．
【分析】（1）根据已知条件渐近线与直线x+2y＝0垂直，右顶点P到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；
（2）用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得直线l的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，
且直线x+2y＝0的斜率为，且双曲线C的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，
因为右顶点（a，0）到该条渐近线的距离为，所以，
解得a＝1，所以b＝2，所以双曲线C的方程为．
（2）若直线l⊥x轴，则A、B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不合乎题意；
设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则，
则，所以，
化简得．
因为线段AB的中点为M（3，2），所以x1+x2＝6，y1+y2＝4，
所以，解得k＝6，双曲线渐近线为y＝±2x，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点M（3，2）的直线与双曲线有两个交点．
所以直线l的方程为6x﹣y﹣16＝0．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（2024 枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点．
（1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标；
（2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率；
（3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程．
【考点】双曲线与平面向量．
【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】（1）（±，0）；
（2）±．
（3）x21．
【分析】（1）由题意可得：e，2b＝2，解得b，a，c，即可得出双曲线C的焦点坐标；
（2）a＝1，，可得双曲线C的方程为x21，c＝2．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得关于x的一元二次方程，Δ＞0，由，可得（x1+x2+4） （x2﹣x1）+（y1+y2） （y2﹣y1）＝0，利用根与系数的关系即可得出结论．
（3）由，可得 0，OA⊥OB，|AB|＝4．直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：e，2b＝2，
解得b，a＝1，c，
∴双曲线C的焦点坐标为（±，0）；
（2）a＝1，，∴双曲线C的方程为x21，c2．
设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36（k2+1）＞0，
则x1+x2，x1x2，
∵，
∴（x1+x2+4，y1+y2） （x2﹣x1，y2﹣y1）＝0，
∴（x1+x2+4） （x2﹣x1）+（y1+y2） （y2﹣y1）＝0，
∴x1+x2+4+k2（x1+x2﹣4）＝0，
∴4k2（4）＝0，
化为：k2，解得k＝±±．
（3）由，
可得 0，∴OA⊥OB，|AB|＝4．
直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），
把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，
Δ＞0，x1+x2，x1x2，
∵ 0，∴x1x2+y1y2＝0，x1x2（x1﹣c）（x2﹣c）＝0，
化为8x1x2﹣3c（x1+x2）+3c2＝0，
∴83c×（）+3c2＝0，
化为b2＝3a2，c2＝4a2，
∴ba，c＝2a，
∴x1+x2a，x1x2a2，
∴4，
解得a＝1，b，
∴双曲线C的方程为x21．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、方程的解法、向量数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．（2024春 赤坎区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】；
（2）．
【分析】（1）利用双曲线的性质及点在双曲线上待定系数法求解即可；
（2）设M与N的坐标，利用两点斜率公式及F在以线段MN为直径的圆上，得出点坐标之间关系式结合N在双曲线上消元计算即可．
【解答】解：（1）易知双曲线C的渐近线为，
根据题意可知，
解之得a2＝3，b2＝1，
故双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）可知F（2，0），设，显然，
由题意可知MF⊥NF，则，
而，
所以．
【点评】本题考查了根据双曲线过的点求标准方程，根据双曲线的渐近线求标准方程，双曲线中的定值问题，属于中档题．
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新课预习衔接 双曲线
一．选择题（共5小题）
1．（2024 如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
2．（2024 周口二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e sin∠PF1F2＝1，且4a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
3．（2024 宁德期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．y＝±3x D．
4．（2024 南岗区校级期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣4）2＝4相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2024秋 琼山区校级月考）双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．y＝±ax
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 浙江模拟）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx±ny＝0
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
（多选）7．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为3x±4y＝0
B．双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D．若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
三．填空题（共3小题）
8．（2024 辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1作斜率为的直线与C的右支交于点P，且点M满足，且，则C的离心率是 ．
9．（2024 盐田区校级期末）与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
10．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 克州期末）已知双曲线C：的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线y＝x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
12．（2024 青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求．
13．（2024 道里区校级期末）已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，且右顶点P到该条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M（3，2），求直线l的方程．
14．（2024 枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点．
（1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标；
（2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率；
（3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程．
15．（2024春 赤坎区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
新课预习衔接 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【考点】双曲线上的点与焦点的距离．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解结论．
【解答】解：M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，|MF1|＝5，
所以，
由双曲线定义可知||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4，
所以|MF2|＝1或者9，又|MF2|≥c﹣a＝2，
所以|MF2|＝9．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024 周口二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e sin∠PF1F2＝1，且4a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义和离心率公式、三角形的面积公式，推得m＝4a，n＝2a，再由余弦定理可得b＝2a，可得渐近线方程．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，
由e sin∠PF1F2＝1，且4a2，
可得sin∠PF1F2，cos∠PF1F2，
m 2c 4a2，
解得m＝4a，n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠PF1F2，
即，化为16ab＝4a2+4b2+12a2，
即为b＝2a，
则双曲线的渐近线方程为2x±y＝0．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
3．（2024 宁德期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C．y＝±3x D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】由双曲线方程求得a与b的值，则渐近线方程可求．
【解答】解：由双曲线，得a＝1，b，
∴双曲线的渐近线方程是y．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题．
4．（2024 南岗区校级期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣4）2＝4相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】分别求得双曲线的渐近线方程和圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，结合双曲线的离心率公式可得所求值．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay＝0，
圆x2+（y﹣4）2＝4的圆心为（0，4），半径为2，
又渐近线与圆相切，可得2，
化为b2＝3a2，
则离心率e2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．（2024秋 琼山区校级月考）双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C． D．y＝±ax
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可．
【解答】解：双曲线4x2﹣y2＝4a（a≠0）即，故渐近线方程为．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线渐近线相关知识，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 浙江模拟）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx±ny＝0
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【考点】双曲线的几何特征；曲线与方程；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】ABD
【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：mx2+ny2＝1为相应的标准方程，即可判断A，B，C；m＝0，n＞0时，方程即为，即可判断D．
【解答】解：对于A，若m＞n＞0，则，
故曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示椭圆，其焦点在y轴上，故A正确；
对于B，若m＝n＞0，，
则曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示半径为的圆，故B正确；
对于C，若mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，
则曲线C：mx2+ny2＝1，即，表示焦点在x轴上的双曲线，
则，故渐近线方程为，
即，故C错误；
对于D，若m＝0，n＞0，曲线C：mx2+ny2＝1，即ny2＝1，
即，则C是两条直线，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查圆锥曲线的性质，属基础题．
（多选）7．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为3x±4y＝0
B．双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D．若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】CD
【分析】根据双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，即可分别求解．
【解答】解：∵双曲线，
∴a＝3，b＝4，c＝5，且焦点在x轴上，
对A选项，渐近线方程为y＝±x＝±x，
即4x±3y＝0，∴A选项错误；
对B选项，双曲线C与椭圆的离心率分别为，，
∴双曲线C与椭圆的离心率不互为倒数，∴B选项错误；
对C选项，∵双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，
又|PF1|＝|PF2|+2a＝|PF2|+6，∴|PF2|+6＝2|PF2|，
∴|PF2|＝6，|PF1|＝12，又|F1F2|＝2c＝10，
∴△PF1F2的周长为6+12+10＝28，∴C选项正确；
对D选项，若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为2a＝6，∴D选项正确．
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，属基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1作斜率为的直线与C的右支交于点P，且点M满足，且，则C的离心率是 ．
【考点】双曲线的离心率；双曲线的定义．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】．
【分析】根据题意得到F2M是线段F1P的垂直平分线，从而得到|PF2|＝2c，再利用推得|PF1|＝4b，结合双曲线的定义得到关于a，b，c的齐次方程，进而得解．
【解答】解：如图，直线F1P的斜率为．
由，得点M为PF1的中点，
又，所以F2M是线段F1P的垂直平分线，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
过点O作ON⊥PF1于点N，由已知得，
所以，
所以，
所以，即|ON|＝a，所以，
又ON//MF2，O为F1F2的中点，所以|MF1|＝2|NF1|＝2b，所以|PF1|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝4b﹣2c＝2a，即2b＝c+a，
所以4b2＝（c+a）2，可得4（c2﹣a2）＝（c+a）2，整理得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，
即3e2﹣2e﹣5＝0，解得或e＝﹣1（舍去），
又题中直线与C的右支有交点，所以，即b2＞a2，
所以c2﹣a2＞a2，即c2＞2a2，所以，即，
所以C的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．
9．（2024 盐田区校级期末）与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出c的值，再由双曲线的离心率得出a，进而可得双曲线的标准方程．
【解答】解：由椭圆方程，可得焦点为（3，0），（﹣3，0），
设双曲线的半焦距为c，则c＝3，因双曲线的离心率为，则，
故a＝2，所以，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
10．（2024 盐田区校级期末）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 9 ．
【考点】双曲线的几何特征；圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】9．
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到m+n＝1，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值．
【解答】解：先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点（﹣1，0）与点（1，0），
于是点（﹣1，0）与点（1，0）也是双曲线的两个焦点，
因此m+n＝1，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当n＝2m时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 克州期末）已知双曲线C：的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线y＝x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据实轴长可求a，根据焦点坐标可求c，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
【解答】解：（1）由已知2a＝2，a＝1，
又，则，
所以双曲线方程为；
（2）由，得3x2﹣4x﹣8＝0，
则Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣8）＝112＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
12．（2024 青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据离心率的定义得到b2＝3a2，利用点在双曲线上代入求解即可，
（2）设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可．
【解答】解：（1）∵离心率为2，∴2，即c＝2a，则a2+b2＝c2＝4a2，
即b2＝3a2，则双曲线方程为
∵双曲线经过点P（4，6），
∴1，得a2＝4，
∴C的方程为．
（2）由题意，点M坐标为（1，6），点N坐标为（0，6），
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
法一：
①若直线AB斜率存在，设直线AB方程为y＝kx+m，
，消去y可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0，
则3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，
且．
整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，
即，
化简得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，
即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，
因为直线AB不过点P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，
所以直线AB的方程为y＝k（x+2）+6，恒过定点Q（﹣2，6）．
②若直线AB斜率不存在，则x1＝x2，y1+y2＝0．
则，
解得x1＝x2＝﹣2，所以直线AB的方程为x＝﹣2，过定点Q（﹣2，6）．
综上，直线AB恒过定点Q（﹣2，6）．
法二：∵直线AB不过点P（4，6），∴可设直线AB方程为m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．
由可得，
即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，
即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）] [m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，
得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，
等式左右两边同时除以（x﹣4）2得，
Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，
，解得．
所以直线AB方程为，恒过定点Q（﹣2，6）
设点M到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，
．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
13．（2024 道里区校级期末）已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，且右顶点P到该条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M（3，2），求直线l的方程．
【考点】双曲线的中点弦．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）；
（2）6x﹣y﹣16＝0．
【分析】（1）根据已知条件渐近线与直线x+2y＝0垂直，右顶点P到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；
（2）用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得直线l的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线x+2y＝0垂直，
且直线x+2y＝0的斜率为，且双曲线C的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，
因为右顶点（a，0）到该条渐近线的距离为，所以，
解得a＝1，所以b＝2，所以双曲线C的方程为．
（2）若直线l⊥x轴，则A、B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不合乎题意；
设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则，
则，所以，
化简得．
因为线段AB的中点为M（3，2），所以x1+x2＝6，y1+y2＝4，
所以，解得k＝6，双曲线渐近线为y＝±2x，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点M（3，2）的直线与双曲线有两个交点．
所以直线l的方程为6x﹣y﹣16＝0．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（2024 枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点．
（1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标；
（2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率；
（3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程．
【考点】双曲线与平面向量．
【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】（1）（±，0）；
（2）±．
（3）x21．
【分析】（1）由题意可得：e，2b＝2，解得b，a，c，即可得出双曲线C的焦点坐标；
（2）a＝1，，可得双曲线C的方程为x21，c＝2．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得关于x的一元二次方程，Δ＞0，由，可得（x1+x2+4） （x2﹣x1）+（y1+y2） （y2﹣y1）＝0，利用根与系数的关系即可得出结论．
（3）由，可得 0，OA⊥OB，|AB|＝4．直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：e，2b＝2，
解得b，a＝1，c，
∴双曲线C的焦点坐标为（±，0）；
（2）a＝1，，∴双曲线C的方程为x21，c2．
设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36（k2+1）＞0，
则x1+x2，x1x2，
∵，
∴（x1+x2+4，y1+y2） （x2﹣x1，y2﹣y1）＝0，
∴（x1+x2+4） （x2﹣x1）+（y1+y2） （y2﹣y1）＝0，
∴x1+x2+4+k2（x1+x2﹣4）＝0，
∴4k2（4）＝0，
化为：k2，解得k＝±±．
（3）由，
可得 0，∴OA⊥OB，|AB|＝4．
直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），
把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，
Δ＞0，x1+x2，x1x2，
∵ 0，∴x1x2+y1y2＝0，x1x2（x1﹣c）（x2﹣c）＝0，
化为8x1x2﹣3c（x1+x2）+3c2＝0，
∴83c×（）+3c2＝0，
化为b2＝3a2，c2＝4a2，
∴ba，c＝2a，
∴x1+x2a，x1x2a2，
∴4，
解得a＝1，b，
∴双曲线C的方程为x21．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、方程的解法、向量数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．（2024春 赤坎区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】；
（2）．
【分析】（1）利用双曲线的性质及点在双曲线上待定系数法求解即可；
（2）设M与N的坐标，利用两点斜率公式及F在以线段MN为直径的圆上，得出点坐标之间关系式结合N在双曲线上消元计算即可．
【解答】解：（1）易知双曲线C的渐近线为，
根据题意可知，
解之得a2＝3，b2＝1，
故双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）可知F（2，0），设，显然，
由题意可知MF⊥NF，则，
而，
所以．
【点评】本题考查了根据双曲线过的点求标准方程，根据双曲线的渐近线求标准方程，双曲线中的定值问题，属于中档题．
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