【新课预习衔接】3.3指数函数（培优卷.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 指数函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024 东台市模拟）已知集合M＝{x|2x﹣3＞0}，N＝{y|y＝ex+1}，则（　　）
A． B．
C． D．M N
2．（2024 郫都区校级模拟）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝e }，则A∩B＝（　　）
A． B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（﹣1，1）
3．（2024 威海期末）函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞）
4．（2024 汉台区模拟）设集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|y＝2x+1}，则M∪N＝（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
5．（2024 麒麟区校级月考）设集合，则A∩B＝（　　）
A．[0，+∞） B．[0，1] C．（0，1] D．[0，1）
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 孝南区校级期末）若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．b＞0 D．b＜0
（多选）7．（2024 七里河区校级期末）若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 开封期末）已知函数f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1），若，则[f（m+n）]2＝　 　．
9．（2024 闵行区校级期末）函数y＝ax+2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，则点A的坐标是 　 　．
10．（2024春 长沙期末）当a＞0且a≠1时，函数y＝ax﹣2+4的图象一定经过定点 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 孝南区校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
12．（2024春 昌邑区校级期末）已知函数f（x）＝4x+a 2x．
（1）若a＝﹣5，求不等式f（x）≤﹣4的解集；
（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
13．（2024秋 光明区校级月考）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+5在x∈[﹣1，2]上的值域．
14．（2024 喀什地区期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，9）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（m）＝2，，求m+n的值；
（Ⅲ）求不等式f（x2﹣5x﹣6）＞1的解集．
15．（2024 涟源市期末）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9）．
（1）求实数a的值；
（2）若f（2x﹣1）＜3，求实数x的取值范围．
新课预习衔接 指数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 东台市模拟）已知集合M＝{x|2x﹣3＞0}，N＝{y|y＝ex+1}，则（　　）
A． B．
C． D．M N
【考点】指数函数的值域；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合M，N的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别判断各选项即得．
【解答】解：∵，N＝{y|y＞1}＝（1，+∞），
因，故A项错误；
由M∪N＝（1，+∞），知B项错误；
由，知C项错误；
因M N，故D项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数函数的值域，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（2024 郫都区校级模拟）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝e }，则A∩B＝（　　）
A． B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（﹣1，1）
【考点】指数函数的值域；交集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据已知条件，解出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{y|y＝e }＝{y|y＞0}，
则A∩B＝（0，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3．（2024 威海期末）函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞）
【考点】指数函数的定义域．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【答案】D
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．
【解答】解：由，得，即x≥0．
∴函数的定义域为[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．（2024 汉台区模拟）设集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|y＝2x+1}，则M∪N＝（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
【考点】指数函数的值域；并集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【答案】A
【分析】由指数函数值域求集合N，应用集合并运算求结果．
【解答】解：由题设N＝{y|y＞1}，
故M∪N＝{x|﹣2≤x≤2}∪{y|y 1}＝{x|x≥﹣2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
5．（2024 麒麟区校级月考）设集合，则A∩B＝（　　）
A．[0，+∞） B．[0，1] C．（0，1] D．[0，1）
【考点】指数函数的值域；求集合的交集．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】解分式不等式、指数函数值域求集合，再由集合的交运算求结果．
【解答】解：由题设，
B＝{y|y＞0}，
所以A∩B＝（0，1]．
故选：C．
【点评】本题考查分式不等式、指数函数值域、集合的交运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 孝南区校级期末）若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．b＞0 D．b＜0
【考点】指数函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BC
【分析】由已知结合指数函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，
则，解得a＞1，b＞0．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题．
（多选）7．（2024 七里河区校级期末）若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数的图象；对数函数的图象；函数的图象与图象的变换．
【专题】分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象．
【答案】BC
【分析】讨论0＜a＜1和a＞1两种情况，结合对数函数单调性求解logab＜0，再根据指数函数单调性分析判断即可．
【解答】解：由logab＜0＝loga1，可得：
当0＜a＜1时，因为y＝logax在定义域内单调递减，所以b＞1．
此时f（x）＝ax+b＞1，且f（x）在定义域内单调递减，选项B成立，D错误；
当a＞1时，因为y＝logax在定义域内单调递增，所以0＜b＜1，
此时f（x）＝ax+b＞b，不能保证f（x）＞1，且f（x）在定义域内单调递增，选项A错误，C成立．
故选：BC．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，是基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 开封期末）已知函数f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1），若，则[f（m+n）]2＝　　．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】由题意，根据指数幂的性质可得，n＝3，根据可得a＝2，代入求解即可．
【解答】解：由于f（x）＝amx+1+（n﹣3）a的图象恒过定点（2，1），所以2m+1＝0，且f（2）＝a2m+1+（n﹣3）a＝1，故且（n﹣3）a＝0，
由于a＞0，所以n＝3，
又，即，故a＝2，
因此，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，属于基础题．
9．（2024 闵行区校级期末）函数y＝ax+2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，则点A的坐标是 　（﹣2，﹣2）　．
【考点】指数函数的单调性与最值；指数函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（﹣2，﹣2）．
【分析】利用指数函数的性质即可得解．
【解答】解：因为y＝ax+2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，
令x+2＝0，则x＝﹣2，y＝a0﹣3＝﹣2，
所以点A的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题．
10．（2024春 长沙期末）当a＞0且a≠1时，函数y＝ax﹣2+4的图象一定经过定点 　（2，5）　．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（2，5）．
【分析】利用指数函数的性质求解．
【解答】解：令x﹣2＝0得，x＝2，此时y＝a0+4＝1+4＝5，
∴函数y＝ax﹣2+4的图象一定经过定点（2，5），
故答案为：（2，5）．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 孝南区校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
【考点】指数函数的值域．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）[0，2]；
（2）（0，3]．
【分析】（1）根据指数函数单调性可得﹣x2+2x≥0，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知﹣x2+2x≤1，结合指数函数性质求值域．
【解答】解：（1）因为，且y＝3x在定义域R内单调递增，
则﹣x2+2x≥0，解得0≤x≤2，
所以实数x的取值范围是[0，2]．
（2）因为﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤1，当且仅当x＝1时等号成立，
且y＝3x在定义域R内单调递增，则，
又因为，所以f（x）的值域为（0，3]．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
12．（2024春 昌邑区校级期末）已知函数f（x）＝4x+a 2x．
（1）若a＝﹣5，求不等式f（x）≤﹣4的解集；
（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）[0，2]；
（2）﹣2．
【分析】（1）当a＝﹣5时，将不等式转化为（2x﹣1）（2x﹣4）≤0，并用指数函数的单调性求解；
（2）先使用换元法，将函数f（x）转化为，并分3类讨论函数g（t）的最小值即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣5时，不等式f（x）≤﹣4即为4x﹣5 2x+4≤0，
所以（2x﹣1）（2x﹣4）≤0，
则有1≤2x≤4，则0≤x≤2，
故不等式f（x）≤﹣4的解集为[0，2]；
（2）令t＝2x，x∈[﹣2，2]，则，
f（x）＝g（t）＝t2+at开口向上，对称轴方程为，
①当，即时，，则，不符合题意；
②当，即时，，则a＝﹣2；
③当，即a＜﹣8时，g（t）min＝g（4）＝16+4a＝﹣1，则，不满足条件．
综上所述，a的值为﹣2．
【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
13．（2024秋 光明区校级月考）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+5在x∈[﹣1，2]上的值域．
【考点】指数函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）f（x）＝2x；（2）[4，13]．
【分析】（1）将（3，8）代入即可求解a＝2，
（2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，8），
则f（3）＝a3＝8，
解得a＝2，因此，f（x）＝2x．
（2）g（x）＝（2x）2﹣2×2x+5，令t＝2x，因为x∈[﹣1，2]，则，
令h（t）＝t2﹣2t+5＝（t﹣1）2+4，
当时，函数h（t）单调递减，此时，x∈[﹣1，0]，
当t∈（1，4]时，函数h（t）单调递增，此时，x∈（0，2]，
故当x∈[﹣1，2]时，g（x）min＝g（0）＝4，
又因为，故g（x）max＝13，
所以，函数g（x）在[﹣1，2]上的值域为[4，13]．
【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，考查二次函数的性质应用，属于中档题．
14．（2024 喀什地区期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，9）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（m）＝2，，求m+n的值；
（Ⅲ）求不等式f（x2﹣5x﹣6）＞1的解集．
【考点】指数函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）{x|﹣1＜x＜6}．
【分析】（Ⅰ）将点（﹣2，9）代入指数函数中，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合（Ⅰ）的结论，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，9），
所以f（﹣2）＝a﹣2＝9，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因为f（m）＝2，，即，，
所以，，
故m+n．
（Ⅲ）不等式f（x2﹣5x﹣6）＞1，
即，
因为在R上单调递减函数，
所以x2﹣5x﹣6＜0，解得﹣1＜x＜6，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜6}．
【点评】本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
15．（2024 涟源市期末）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9）．
（1）求实数a的值；
（2）若f（2x﹣1）＜3，求实数x的取值范围．
【考点】指数函数的单调性与最值；指数函数的图象．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）3；（2）（﹣∞，1）．
【分析】（1）由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得a的值．
（2）根据函数f（x）的解析式，解指数不等式，求得实数x的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9），∴a2＝9，∴a＝3．
（2）由（1）可得函数f（x）＝3x，f（2x﹣1）＝32x﹣1，不等式f（2x﹣1）＜3，
即32x﹣1＜3，∴2x﹣1＜1，∴x＜1，
∴实数x的取值范围为（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，解指数不等式，属于基础题．
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