2.3《二次根式》复习题--二次根式的混合运算（含答案）八年级数学上册北师大版

2.3《二次根式》复习题--二次根式的混合运算
【题型1 二次根式的混合运算】
1.计算：
(1) (2)
2.计算：
(1) (2)
3.计算：
(1) (2)
4.计算：
(1) (2)
【题型2 二次根式的分母有理化】
1.观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
(1)按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______；
(2)计算：的值．
2.观察下列各式；
第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；．
(1)照此排列方式，请写出第n式；
(2)的值是多少？
3.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的过程叫分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
(1)用不同的方法化简．
(2)化简：．
4.课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)化简：= ；= ；
(2)在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．
请把式子和分别进行分母有理化；
(3)计算：．
5.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的过程叫分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
(1)用不同的方法化简．
(2)化简：．
【题型3 已知字母的值，化简求值】
1.已知，．
(1)直接写出，的值；
(2)求代数式的值．
2.已知，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
3.已知：，．
(1)求的值；
(2)求的值．
4.（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【题型4 已知条件式，化简求值】
1.若，求的值．
2.已知：，，且，求的值．
3.若x，y为实数，且，求的值．
4.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
(1)若，请将a进行分母有理化；
(2)在（1）的条件下，求的值．
【题型5 比较二次根式的大小】
1.比较与的大小可以采用下面的方法：
；
．
显然，所以．
仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：
(1)猜想：与的大小关系；
(2)尝试计算：．
2.比较与的大小可以采用下面的方法：
；
．
显然，所以．
仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：
(1)猜想：与的大小关系；
(2)尝试计算：．
3.阅读下列材料，并回答问题．；
；
；
；
…
(1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”）
(2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）；
(3)计算：（提示：）．
4.阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：．
解答下列问题：
(1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________．
(2)计算：；
(3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）．
5.像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：①______；②______．
(2)计算：．
(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【题型6 二次根式的规律探究问题】
1.探索下列等式规律，并解决下列问题：
【规律发现】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
【规律探索】
（1）第5个等式：_______；
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；
【规律应用】
（3）计算：
2.观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)请写出第④个等式；
(2)利用规律计算：．
3.观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
．．．．．．
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第4个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：
(3)计算：．
4.细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题：
，；
，；
，；
…
(1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律；
(2)推算出的长；
(3)求的值．
【题型7 二次根式的新定义运算】
1.定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．
(1)关于的“美好数”是______；
(2)化简：；
(3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值．
2.已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：
(1)如果，则 ；如果，则 ；
(2)①如果，求b的值；
②若，求m与n的关系．
3.定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．
(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
4.定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．
(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；
(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．
参考答案
【题型1 二次根式的混合运算】
1.（1）解：
；
（2）
．
2.（1）解：
（2）解：
3.（1）解：
；
（2）
．
4.（1）解：
；
（2）解：
．
【题型2 二次根式的分母有理化】
1.（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
∴；
；
故答案为：；；
（2）解：
2.（1）解：第1式，
第2式，
第3式，
第4式．
第个式子为；
（2）
，
3.（1）解：方法一：
；
方法二：
；
（2）解：
．
4.（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：；
；
（3）解：原式=
．
5.（1）解：方法一：
；
方法二：
；
（2）解：
．
【题型3 已知字母的值，化简求值】
1.（1）解：∵，．
∴；；
（2）解：由（1）可得，
．
2.（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
．
3.（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
4.解：（1），，
；
（2），
．
【题型4 已知条件式，化简求值】
1.解：设，
则，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
3.解：由题意知，
解得：，
则，
∴原式．
4.（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
【题型5 比较二次根式的大小】
1.（1）解：，．
显然，
所以．
所以
（2）解：
2.（1）解：，．
显然，
所以．
所以
（2）解：
3.（1）解：，
根据材料可知，，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：
（3）解：
4.（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得，
故答案为：；．
（2）解：
；
（3）解：
∵
∴
故答案为：．
5.（1）解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：，
同理：，
，
，
．
【题型6 二次根式的规律探究问题】
1.解：（1）由题意可得：第5个等式：
（2）由（1）归纳可得：；
（3）
．
2.（1）解：第④个等式：．
（2）解：
．
3.（1）解：由题意可得第4个等式为，
故答案为：；
（2）解：第个等式为，
证明如下：
左式，
，
左式，
右式，
成立；
（3）解：原式．
4.（1）解：由题意得：；
（2）解：在中，，
在中，，
在中，，
……
∴；
（3）解：
．
【题型7 二次根式的新定义运算】
1.（1）解：由“美好数”的新定义可得，
则关于的“美好数”是，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：关于的“美好数”，
∴
．
2.（1）∵a、b互为倒数，，
∴．
∵a、b互为倒数，，
∴．
故答案为：；
（2）①∵a、b互为倒数，，
；
②∵a、b互为倒数，，
∴，即．
3.（1）解：∵，
∴与是关于的“实验数”；
∵，
∴与是关于的“实验数”，即；
∵，
∴，
∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④；
（2）解：与是关于的“实验数”．理由如下：
∵，
∴
，
∴与是关于的“实验数”．
4.（1）解：（1）是的完整平方根，
理由如下：
即．
∴是的完整平方根．
（2）∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是整数，
∴，．
（3）∵是完整根式，
∴不妨设，其中，都是整数．
由（2）得，，．
∴．
∵，都是整数，
∴为完全平方数．
∴一定是完全平方数．