【新课预习衔接】2.3抛物线（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 抛物线
一．选择题（共5小题）
1．（2024 齐齐哈尔三模）设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P（1，2）在C上，则|PF|＝（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2024 陇南一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 重庆期末）抛物线yx2的准线方程为（　　）
A． B．y＝1 C．x＝1 D．
4．（2024 泰州模拟）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 江苏模拟）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 崂山区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是，则（　　）
A．p＝2 B．|AB|＝9 C． D．
（多选）7．（2024秋 广西月考）已知点（1，2）到抛物线C：x2＝my准线的距离为4，则m的值可能为（　　）
A．8 B．﹣8 C．24 D．﹣24
三．填空题（共3小题）
8．（2024 浦东新区校级期末）抛物线y2＝8x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 　 　．
9．（2024 桐柏县期末）已知抛物线M：x2＝8y，直线l：y＝kx+2与抛物线交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 　 　．
10．（2024 淮北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）准线为l，焦点为F，点A，B在抛物线上，点C在l上，满足：，，若λ＝3，则实数μ＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 道里区校级期末）已知抛物线C上的点到F（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点D（6，0）的直线l与C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过F点，求直线l的方程．
12．（2024 陕西模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y0）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
13．（2024春 镜湖区校级月考）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于表中：
（1）求C1和C2的标准方程；
（2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求的值．
x 1 2
y 2 0
14．（2024 荆州区校级期末）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
15．（2024 如皋市模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
新课预习衔接 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 齐齐哈尔三模）设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P（1，2）在C上，则|PF|＝（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】D
【分析】利用点P在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义即可求解．
【解答】解：依题意，2＝a×12，解得a＝2，
所以的准线为，所以．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
2．（2024 陇南一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】求出N的坐标，然后求解tan∠NMF即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，
不妨设N在第一象限，可得tan∠NFx＝2，
设|BF|＝s，|NB|＝t，2，t＝2s，则N（s，2），代入抛物线方程可得8s2＝2p（s），解得s，
所以N（p，p），
tan∠NMF．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
3．（2024 重庆期末）抛物线yx2的准线方程为（　　）
A． B．y＝1 C．x＝1 D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】将抛物线化成标准方程，得x2＝﹣4y，由此求出1，即可得到该抛物线的准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2＝﹣4y，
∴2p＝4，可得1，
因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y＝1．
故选：B．
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
4．（2024 泰州模拟）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求抛物线的准线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程可化为，∴，
∴抛物线y＝2x2的准线方程为．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
5．（2024 江苏模拟）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】设P（t，），由|PC|取得最小值时，∠APB最大，cos∠APB最小即可求解．
【解答】解：如图所示：
因为∠APB＝2∠APC，sin∠APC，
设P（t，），则|PC|2＝t2+（3）29（t2﹣4）2+8，
当t2＝4时，|PC|取得最小值2，此时，∠APB最大，cos∠APB最小，
且（cos∠APB）min＝1﹣2sin2∠APC＝1﹣2×（）2．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 崂山区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是，则（　　）
A．p＝2 B．|AB|＝9 C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】AC
【分析】写出抛物线的焦点，以及直线l的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系和弦长公式求|AB|，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程求得p，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），
则直线l的方程为y＝x，代入抛物线方程得x2﹣3px0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝3p，
根据抛物线定义|AF|＝x1，|BF|＝x2，
所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝4p．
坐标原点O到直线l的距离d，
所以△OAB的面积为 4p 2，
解得p＝2，所以选项A正确；
又因为|AB|＝4p＝8，所以选项B错误；
由p＝2得x2﹣6x+1＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2，
所以1，选项C正确；
|AF|＝4+2，所以选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及联立直线方程和抛物线方程，根与系数的关系和弦长公式，是中档题．
（多选）7．（2024秋 广西月考）已知点（1，2）到抛物线C：x2＝my准线的距离为4，则m的值可能为（　　）
A．8 B．﹣8 C．24 D．﹣24
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】AD
【分析】先由抛物线方程写出其准线方程，利用点到直线距离公式列出方程，解之即得．
【解答】解：因抛物线C：x2＝my的准线为，
则点（1，2）到直线的距离为：，解得，m＝8或m＝﹣24．
故选：AD．
【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 浦东新区校级期末）抛物线y2＝8x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 　2　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】2．
【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB的中点M到准线的距离，最后求出弦AB的中点M的横坐标．
【解答】解：抛物线y2＝8x的准线l的方程为：x＝﹣2，焦点为F（2，0），分别过A，B，M，
作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足为C，D，H，在直角梯形ABDC中，，
由抛物线的定义可知：|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，因此有，
所以点M的横坐标为4﹣2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（2024 桐柏县期末）已知抛物线M：x2＝8y，直线l：y＝kx+2与抛物线交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 　23　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【答案】23．
【分析】分别在k＝0，k≠0时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得|AC|+4|BD|＝|AF|+4|BF|+5，再利用基本不等式求其最小值．
【解答】解：因为抛物线M的方程为x2＝8y，
所以抛物线M的焦点为F（0，2），准线y＝﹣2，
则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，
当k＝0时，联立y＝2与x2＝8y可得x＝±4，
所以|AF|＝|BF|＝4，则；
当k≠0时，如图，
过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，
则|EK|＝|EF|+|FK|＝4+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得，
则，
同理可得，所以，
化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，
所以|AC|+4|BD|＝|AF|+|FC|+4（|DF|+|FB|）＝|AF|+4|DF|+5
，
当且仅当，即|AF|＝2|DF|＝6时等号成立，
所以|AC|+4|BD|的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题考查抛物线的定义及标准方程，考查直线与抛物线、直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2024 淮北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）准线为l，焦点为F，点A，B在抛物线上，点C在l上，满足：，，若λ＝3，则实数μ＝　2　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设A，B，C，F共线，作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，结合抛物线定义及相似比求参数值即可．
【解答】解：由题设知：A，B，C，F共线，且，如下图，
作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，则|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
所以|AD|＝3|BE|，又Rt△ACD～Rt△BCE，则，
所以，即，故μ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线得性质的应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 道里区校级期末）已知抛物线C上的点到F（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点D（6，0）的直线l与C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过F点，求直线l的方程．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）2x﹣y﹣12＝0或2x+y﹣12＝0．
【分析】（1）利用抛物线定义即可求得抛物线C的标准方程；
（2）设l：x＝my+6，联立抛物线C与直线l的方程，利用设而不求的方法列出关于m的方程，解之即可求得m的值，进而得到直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意抛物线的焦点F（1，0），准线方程是x＝﹣1，
则，故抛物线C的标准方程为y2＝4x；
（2）显然l的斜率不为0，设l：x＝my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得y2﹣4my﹣24＝0，
Δ＝16m2+4×24＝16（m2+6）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣24，
又AF⊥BF，所以，
又，
则（x1﹣1，y1） （x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
即，
即﹣24（m2+1）+5m×4m+25＝0，解得，
所以直线l的方程为，
即2x﹣y﹣12＝0或2x+y﹣12＝0．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
12．（2024 陕西模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y0）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）y2＝8x；（2）﹣8．
【分析】（1）根据抛物线过点A（2，y0），且|AF|＝4，利用抛物线的定义求解；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，根据OP⊥OQ，由，结合韦达定理求解．
【解答】解：（1）由抛物线y2＝2px（p＞0）过点A（2，y0），且|AF|＝4，
得，解得p＝4；
所以抛物线方程为y2＝8x；
（2）由不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得x2+（2m﹣8）x+m2＝0，
所以Δ＝（2m﹣8）2﹣4m2＝64﹣32m＞0，
所以m＜2，
所以，
因为OP⊥OQ，
所以，
则，
所以2m2+m（8﹣2m）+m2＝0，即m2+8m＝0，
解得m＝0或m＝﹣8，
当m＝0时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数m＝﹣8．
【点评】本题考查的知识要点：抛物线方程的求法，直线与抛物线的关系，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13．（2024春 镜湖区校级月考）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于表中：
（1）求C1和C2的标准方程；
（2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求的值．
x 1 2
y 2 0
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）通过观察可得点在抛物线C2上，点在椭圆上，代入点的方程求解即可；
（2）将C1和C2联立，求出交点横坐标，然后利用数量积的坐标运算求解．
【解答】解：（1）设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则，
结合表格数据，因为，
所以点在抛物线C2上，且2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线C2的标准方程为y2＝4x，
得，解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C1的标准方程为；
（2）根据对称性，可设A，B两点坐标分别为（x0，y0），（x0，﹣y0），
联立方程组，消y得x2+8x﹣2＝0，
解得，
因为，
所以，
所以．
【点评】本题考查了椭圆和抛物线的性质，属于中档题．
14．（2024 荆州区校级期末）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设抛物线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，利用中点坐标公式，即可求得k的值．
【解答】解：（1）由题意设抛物线方程为y2＝2px（p≠0），其准线方程为，
∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p＝4，
∴此抛物线的方程为y2＝8x．
（2）由，消去y得k2x2﹣（4k+8）x+4＝0，
∵直线y＝kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，
解得：k＞﹣1且k≠0，
由，解得k＝2或k＝﹣1（舍去）．
∴所求k的值为2．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
15．（2024 如皋市模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】（1）2x﹣y﹣1＝0，
（2）证明见解析．
【分析】（1）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），利用点差法求得y1+y2＝1，根据重心的坐标公式，求出线段AB的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB的方程；
（2）由y1＝﹣（y2+y3），等式两边平方，利用基本不等式可得出x1＜2（x2+x3），结合等式x2+x3＝3﹣x1可求出x1＜2，进而证明结论成立．
【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），
由，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
所以，所以y1+y2＝2，
由题意可知，y1+y2+y3＝0，所以y3＝﹣2，则x3＝1，
由x1+x2+x3＝3，所以x1+x2＝2，所以，线段AB的中点（1，1），
因此，直线AB的方程为y﹣1＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣1＝0，
因此，直线AB的方程2x﹣y﹣1＝0；
证明：（2）由（1）可知x1+x2+x3＝3，则x2+x3＝3﹣x1，①
由．y1+y2+y3＝0，y1＝﹣（y2+y3），
平方可得，当且仅当y2＝y3时取等号，显然y2≠y3，
所以，即x1＜2（x2+x3），
将①代入可得x1＜2（3﹣x1），解得x1＜2，
所以点A的横坐标小于2．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
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