【新课预习衔接】3.2空间向量与向量运算（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册北师大版（2019）

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新课预习衔接 空间向量与向量运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024 玉林期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 昭阳区期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x+y+z＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．（2024 唐河县期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z＝（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2024 淄博期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，AE的中点，G为△ACD的重心，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 西安期末）空间四边形OABC中，，（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024春 栖霞区校级月考）给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数λ，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）
（多选）7．（2024 新化县期末）下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 华安县校级月考）已知，则　 　．
9．（2024 薛城区期末）已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，2），则向量在上的投影向量的坐标是 　 　．
10．（2024 东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，，记．
（1）求x+y+z的值；
（2）求 ．
12．（2024 泰山区校级开学）如图所示，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
13．（2024春 龙岩期中）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
14．（2024春 沛县校级月考）已知（3，2，﹣1），（2，1，2）．
（1）求（） （2）；
（2）当（k）⊥（k）时，求实数k的值．
15．（2024 吕梁期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD，∠BAA1＝∠DAA1．
（1）用向量，，表示向量，并求||；
（2）求．
新课预习衔接 空间向量与向量运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 玉林期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】熟练利用向量加法的三角形法则进行运算即可．
【解答】解：∵在四面体OABC中，N是BC的中点，，，，
∴（）．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．
2．（2024 昭阳区期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x+y+z＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，
PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，，
因为EC＝2PE，所以，
所以
，
又，所以，则x+y+z＝1．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024 唐河县期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z＝（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量的线性表示，即可求出x、y和z的值．
【解答】解：分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设B（a，0，0），D（0，b，0），P（0，0，C），
所以M（a，b，c），N（0，b，c），
所以（a，b，c），
所以x，y，z，
所以x+y+z．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示和线性运算问题，是基础题．
4．（2024 淄博期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，AE的中点，G为△ACD的重心，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可．
【解答】解：因为E，F分别为BC，AE的中点，所以．
因为G为△ACD的重心，所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5．（2024 西安期末）空间四边形OABC中，，（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：∵，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，
∴
．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024春 栖霞区校级月考）给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数λ，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）
【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的相等与共线；空间中的点的坐标；空间向量的共线与共面．
【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】AC
【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C．
【解答】解：对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时λ不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D，易知点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到向量共线，空间中的点对称等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
（多选）7．（2024 新化县期末）下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【考点】空间向量的概念及属性．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】BD
【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可．
【解答】解：对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查空间向量的相关定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024春 华安县校级月考）已知，则　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可．
【解答】解：由，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量数量积的运算，重点考查了空间向量模的运算，属基础题．
9．（2024 薛城区期末）已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，2），则向量在上的投影向量的坐标是 　　．
【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】直接利用向量的夹角运算求出结果．
【解答】解：由于A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，2），
所以，，
所以向量在上的投影向量的坐标．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10．（2024 东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是　（2，0，2）　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（2，0，2）．
【分析】由向量在向量上的投影向量为||cos，，计算即可求出答案．
【解答】解：向量，，
则||，||＝3， 4，
所以向量在向量上的投影向量为
||cos，|| 3（1，0，1）＝（2，0，2），
故答案为：（2，0，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，，记．
（1）求x+y+z的值；
（2）求 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）9．
【分析】（1）由题意，用、和表示，即可得出x、y、z的值；
（2）由（1）知，利用数量积计算 的值即可．
【解答】解：（1）因为E是AD的中点，，
所以（），
又xyz，所以，，，
所以x+y+z；
（2）因为，所以，
由正四面体ABCD的棱长为4，可得 4×4×cos8，
且16，所以．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示与数量积计算问题，是基础题．
12．（2024 泰山区校级开学）如图所示，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）16；（2）0；（3）2．
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解．
【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）B（2，0，0），C（2，4，0），E（1，0，1），D1（0，4，2），
所以，故．
（2）B（2，0，0），F（0，2，2），A（0，0，0），B1（2，0，2），
所以，所以．
（3）C1（2，4，2），，，所以．
【点评】本题考查利用空间直角坐标系求数量积，属于基础题．
13．（2024春 龙岩期中）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为AD的中点得，化简即得结果；
（2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果．
【解答】解：（1）∵，所以，
∴，
∵点E为AD的中点，∴．
（2）∵，由（1）得
．
【点评】本题考查了向量的运算性质，属于基础题．
14．（2024春 沛县校级月考）已知（3，2，﹣1），（2，1，2）．
（1）求（） （2）；
（2）当（k）⊥（k）时，求实数k的值．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）2；
（2）或．
【分析】（1）先求出向量，的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算法则求解；
（2）先求出向量，的坐标，由（k）⊥（k）可得（k） （k）＝0，，再利用空间向量数量积的坐标运算法则即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵（3，2，﹣1），（2，1，2），
∴（1，1，﹣3），（7，4，3），
∴（） （2）＝1×7+1×4+（﹣3）×3＝2；
（2）∵（3，2，﹣1），（2，1，2），
∴k（3k﹣2，2k﹣1，﹣k﹣2），（3+2k，2+k，﹣1+2k），
∵（k）⊥（k），
∴（k） （k）＝0，即（3k﹣2）（3+2k）+（2k﹣1）（2+k）+（﹣k﹣2）（﹣1+2k）＝0，
解得k或．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
15．（2024 吕梁期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD，∠BAA1＝∠DAA1．
（1）用向量，，表示向量，并求||；
（2）求．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1），||；
（2）2．
【分析】（1）根据空间向量的线性运算可得，先求出0，1，1，再结合（）2求解即可；
（2）利用空间向量的数量积运算求解．
【解答】解：（1），
∵AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD，∠BAA1＝∠DAA1，
∴0，11，11，
∴（）22221+1+4﹣0+2﹣2＝6，
∴||；
（2）∵，，
∴（） （）0+1﹣1﹣0+1+1＝2．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
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