2.1.1 倾斜角与斜率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.结合图形,探索确定直线位置的几何要素:点和方向.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.理解倾斜角与斜率的关系,会求倾斜角与斜率范围.
逐点清(一) 直线的倾斜角
[多维理解]
定义 当直线l与x轴相交时,我们以 为基准,x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
范围 直线的倾斜角α的取值范围为 ,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为
|微|点|助|解|
(1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.
(2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画,是对直线的倾斜程度的刻画,是相对于x轴正向位置的刻画,如图.
倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. ( )
(2)一条直线的倾斜角可以为-30°. ( )
(3)倾斜角为0°的直线有无数条. ( )
(4)若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1). ( )
2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1,则直线l1的倾斜角为 ( )
A.α+40° B.α-140°
C.140°-α D.α+40°或α-140°
3.已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为 .
4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 .
逐点清(二) 直线的斜率
[多维理解]
1.直线的斜率
定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=
公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),可得斜率公式为k=
2.倾斜角与斜率的关系
图示
倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0)
|微|点|助|解|
(1)每条直线都有唯一的倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为90°的直线不存在斜率.
(2)不同的倾斜角对应不同的斜率,当倾斜角不是90°时,倾斜角的正切值就是斜率,此时斜率和倾斜角可以相互转化.
(3)当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90°.
(4)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关.
(5)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(6)若直线与x轴平行或重合,则k=0.
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任一条直线都有倾斜角,都存在斜率. ( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. ( )
(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α. ( )
(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. ( )
2.已知直线l经过A(-1,0),B(1,2)两点,则直线l的倾斜角是 ( )
A. B.
C. D.
3.若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.{α|0°≤α<90°} B.{α|90°≤α<180°}
C.{α|90°<α<180°} D.{α|0°≤α<180°}
4.若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
5.已知直线l1经过点M(-4,3),N(8,-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半,则直线l2的斜率为 .
逐点清(三) 直线的方向向量
[多维理解]
一般地,如果已知(x,y)为直线l的一个方向向量,则
(1)当x=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为 .
(2)当x≠0时,直线l的斜率存在,设为k,则k= ,即斜率为k的直线的一个方向向量的坐标可以为 .
|微|点|助|解|
(1)任意的直线都有方向向量,且不唯一;
(2)直线的方向向量是非零向量;
(3)任意斜率不存在时的直线的一个方向向量为a=(0,1);
(4)斜率存在时的直线的方向向量a=(1,k);
(5)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ)(θ为倾斜角).
[微点练明]
1.若向量a=(3,1)是直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为 ( )
A.- B. C.3 D.-3
2.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角θ= ( )
A.0 B. C. D.
3.若直线l的倾斜角为,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是 ( )
A. B.- C. D.-
4.已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2,则直线l的一个方向向量为 .
逐点清(四) 直线的倾斜角与斜率的综合应用
[典例] 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件不变,求直线l的倾斜角α的取值范围.
2.若本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围.
3.若本例改为“已知两点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上”,求的最大值.
|思|维|建|模|
数形结合法解决范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围,如果直线PA,PB的斜率都存在,则步骤如下:
(1)连接PA,PB;
(2)由k=求出kPA,kPB;
(3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围.
[针对训练]
1.点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上,当x∈[2,5]时,的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
2.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
2．1.1 倾斜角与斜率
[逐点清(一)]
[多维理解] x轴 正向 向上 {α|0°≤α＜180°} 0°
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．D 3.135° 4.60°或120°
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.正切值 tan α
[微点练明]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．选B 设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝＝1，又α∈[0，π)，所以倾斜角是，故选B.
3．选C 因为直线l经过第二、三、四象限，所以直线l的斜率小于0，所以直线l的倾斜角为钝角，故选C.
4．选D 因为3≠1，所以直线AB斜率存在．又A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即＝，解得m＝3.
5．解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－，由于α∈[0，π)，所以sin α＝，cos α＝－，所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5.
答案：5
[逐点清(三)]
[多维理解] (1)90° (2) (1，k)
[微点练明]
1．选B 由直线l的一个方向向量为a＝(3,1)，则斜率k＝，故选B.
2．选B 由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k＝＝.又k＝tan θ，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π)，所以θ＝.
3．选A ∵直线l的方向向量为e＝(－1，a)，∴直线l的斜率为k＝＝－a.又直线的倾斜角α＝，∴斜率k＝tan ＝－＝－a，解得a＝.
4．解析：不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k＝，所以可以取x＝1，则y＝2，此时直线l的一个方向向量为(1,2)．
答案：(1,2)(答案不唯一)
[逐点清(四)]
[典例] 解：
如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
[变式拓展]
1．解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}．
2．解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1,1)．
3．解：设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为－.
[针对训练]
1．选B 因为点M(x，y)在函数y＝2x＋4的图象上，所以当x＝2时，y＝8；当x＝5时，y＝14；故设A(2,8)，B(5,14)，而可看作函数y＝2x＋4的图象上的点与点P (－1，－2)连线的斜率，故当x∈[2,5]时，kPB≤≤kPA，而kPA＝，kPB＝，所以 ≤≤，故选B.
2．解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是.(共47张PPT)
2.1.1
倾斜角与斜率
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
课时目标
1.结合图形,探索确定直线位置的几何要素:点和方向.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.理解倾斜角与斜率的关系,会求倾斜角与斜率范围.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 直线的倾斜角
逐点清(二) 直线的斜率
逐点清(三) 直线的方向向量
4
逐点清(四) 直线的倾斜角与斜率的综合应用
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 直线的倾斜角
01
多维理解
定义 当直线l与x轴相交时,我们以______为基准,x轴______与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
范围 直线的倾斜角α的取值范围为________________,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_____
x轴
正向
向上
{α|0°≤α<180°}
0°
|微|点|助|解|
(1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.
(2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画,是对直线的倾斜程度的刻画,是相对于x轴正向位置的刻画,如图.
倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. ( )
(2)一条直线的倾斜角可以为-30°. ( )
(3)倾斜角为0°的直线有无数条. ( )
(4)若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1). ( )
√
×
√
×
2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1,则直线l1的倾斜角为 ( )
A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140°
解析:根据题意,画出图象,如图所示.
因为0° ≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知,当0°≤α<140°时,l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时,l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D.
√
3.已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,
直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为 .
解析:设直线l2的倾斜角为α2,l1和l2向上的方向所成的角为120°,
所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°.
135°
4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为_______________.
解析:有两种情况:①如图(1),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°,
即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.
60°或120°
逐点清(二) 直线的斜率
02
多维理解
1.直线的斜率
定义 我们把一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_______
公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),可得斜率公式为k=_________
正切值
tan α
2.倾斜角与斜率的关系
图示
倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率(范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0)
|微|点|助|解|
(1)每条直线都有唯一的倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为90°的直线不存在斜率.
(2)不同的倾斜角对应不同的斜率,当倾斜角不是90°时,倾斜角的正切值就是斜率,此时斜率和倾斜角可以相互转化.
(3)当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90°.
(4)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关.
(5)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(6)若直线与x轴平行或重合,则k=0.
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任一条直线都有倾斜角,都存在斜率. ( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. ( )
(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α. ( )
(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. ( )
×
×
×
×
2.已知直线l经过A(-1,0),B(1,2)两点,则直线l的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
解析:设直线l的倾斜角为α,由已知可得直线l的斜率
k=tan α==1,又α∈[0,π),所以倾斜角是,故选B.
√
3.若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.{α|0°≤α<90°} B.{α|90°≤α<180°}
C.{α|90°<α<180°} D.{α|0°≤α<180°}
解析:因为直线l经过第二、三、四象限,所以直线l的斜率小于0,所以直线l的倾斜角为钝角,故选C.
√
4.若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
解析:因为3≠1,所以直线AB斜率存在.又A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=3.
√
5.已知直线l1经过点M(-4,3),N(8,-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半,则直线l2的斜率为______.
解析:设直线l1的倾斜角为α,则直线l1的斜率k1=tan α==-,
由于α∈[0,π),所以sin α=,cos α=-,所以直线l2的斜率k2=tan
===5.
5
逐点清(三) 直线的方向向量
03
多维理解
一般地,如果已知(x,y)为直线l的一个方向向量,则
(1)当x=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为________.
(2)当x≠0时,直线l的斜率存在,设为k,则k=_____,即斜率为k的直线的一个方向向量的坐标可以为________.
(1,k)
90°
|微|点|助|解|
(1)任意的直线都有方向向量,且不唯一;
(2)直线的方向向量是非零向量;
(3)任意斜率不存在时的直线的一个方向向量为a=(0,1);
(4)斜率存在时的直线的方向向量a=(1,k);
(5)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ)(θ为倾斜角).
微点练明
1.若向量a=(3,1)是直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为 ( )
A.- B. C.3 D.-3
解析:由直线l的一个方向向量为a=(3,1),则斜率k=,故选B.
√
2.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角θ=( )
A.0 B. C. D.
解析:由题意知,因为直线l的一个方向向量为(,1),所以直线l的斜率k==.又k=tan θ,所以tan θ=.因为θ∈[0,π),所以θ=.
√
3.若直线l的倾斜角为,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是( )
A. B.- C. D.-
解析:∵直线l的方向向量为e=(-1,a),∴直线l的斜率为k==-a.
又直线的倾斜角α=,∴斜率k=tan=-=-a,解得a=.
4.已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2,则直线l的一个方向向量为_______________________.
√
解析:不妨令直线l的一个方向向量为(x,y),则k=,所以可以取x=1,则y=2,此时直线l的一个方向向量为(1,2).
(1,2) (答案不唯一)
逐点清(四) 直线的倾斜角与斜率的综合应用
04
[典例] 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.
解:如图,由题意知kPA==-1,kPB==1.
要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
[变式拓展]
1.若本例条件不变,求直线l的倾斜角α的取值范围.
解:由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}.
2.若本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围.
解:由本例知与线段AB有公共点时,斜率k满足k≤-1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(-1,1).
3.若本例改为“已知两点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上”,求的最大值.
解:设Q(3,0),
则kAQ==-3,kBQ==-,
∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点,
∴的取值范围是,
故的最大值为-.
|思|维|建|模|
数形结合法解决范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围,如果直线PA,PB的斜率都存在,则步骤如下:
(1)连接PA,PB;
(2)由k=求出kPA,kPB;
(3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围.
针对训练
1.点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上,当x∈[2,5]时,的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:因为点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上,所以当x=2时,y=8;当x=5时,
y=14;故设A(2,8),B(5,14),而可看作函数y=2x+4的图象上的点与点
P (-1,-2)连线的斜率,故当x∈[2,5]时,kPB≤≤kPA,而kPA=,kPB=,
所以 ≤≤,故选B.
√
2.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
解:由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为.
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
解:如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是.
课时跟踪检测
05
1
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.如图,直线l的倾斜角为 ( )
A.60° B.120° C.30° D.150°
解析:由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°.
√
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2
3
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2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)
解析:对于D,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.
√
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3.已知倾斜角为的直线过A(1,0),B(0,m),则m=( )
A. B.- C.- D.
解析:由题意得=tan,解得m=-,故选C.
√
1
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4.如图,斜率分别为k1,k2,k3的直线l1,l2,l3的
图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2
C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1
解析:由k=tan α,结合y=tan x的函数图象可知,直线l3对应的倾斜角为钝角,则k3<0,直线l1与l2都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,则k2>k1>0,故k2>k1>k3.
√
1
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14
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3
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2
5.(多选)下列四个命题中,正确的是 ( )
A.若直线的倾斜角为θ,则sin θ≥0
B.直线的倾斜角θ的取值范围为[0,π)
C.若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ
D.若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ
√
√
解析:因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π),即θ∈[0,π),所以sin θ≥0,当θ≠时直线的斜率k=tan θ,所以C错误,A、B正确;
若直线的斜率k=tan =,此时直线的倾斜角为,所以D错误.
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6.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,b)在同一直线上,则实数b等于 ( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
解析:因为kAB=kAC,又kAB==3,kAC==,所以3=,即b=6.
√
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7.在平面直角坐标系内,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为 ( )
A.-2 B.0 C. D.2
解析:由题意知,△ABC的边AC,AB所在直线的倾斜角分别为60°,120°,
所以边AC,AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0.
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8.已知直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.[0,2] B.[0,1] C. D.
解析:如图所示,当直线l在l1的位置时,k=tan 0°=0;
当直线l在l2的位置时,k==2,
故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
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9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a= ( )
A. B. C.1 D.
√
解析:设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α,且tan 2α=,由题可知tan 2α=kAC=,tan α=kAB=,所以=,解得a=.故选B.
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10.直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.[-2,1] D.∪[1,+∞)
解析:∵直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,如图所示,∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM==1,kMQ==-,则k≥1或k≤-,∴k∈∪[1,+∞).
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11. (5分)若斜率为2的直线经过点A(-2,3),B(2m+1,1),则实数m=______.
解析:kAB===2,解得m=-2.
-2
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12. (5分)直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l',则直线l'的斜率为 .
解析:因为直线l的倾斜角为150°,所以绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,
得到直线l'的倾斜角α=(150°+60°)-180°=30°,
斜率k=tan α=tan 30°=.
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13. (5分)一束光线从点M(2,4)射入,经x轴上点S反射后经过点N(9,3),则反射光线的倾斜角为 .
解析:设S(t,0),由反射定律可知kMS=-kNS,即=-,解得t=6,则反射光线的斜率kNS==1,所以反射光线的倾斜角为45°.
45°
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14.(10分)已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时,
(1)直线l与x轴平行 (2分)
(2)直线l与y轴平行 (2分)
解:若直线l与x轴平行,则直线l的斜率k==0,∴m=1.
解:若直线l与y轴平行,则直线l的斜率不存在,∴m=-1.
解:直线l的方向向量的坐标为(3,1),故直线l的斜率k=,即=,解得m=.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1) (2分)
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(4)直线的倾斜角为45° (2分)
解:由题意可知,直线l的斜率k=1,即=1,解得m=0.
(5)直线的倾斜角为锐角 (2分)
解:由题意可知,直线l的斜率k>0,即>0,解得-1故m的取值范围为(-1,1).
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15.(10分)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,求证:若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0.
证明:由题意知kAB=,kAC=,又A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,
∴=,
∴+x1x2+=+x1x3+,∴(x2-x3)(x1+x2+x3)=0,∵x2≠x3,∴x1+x2+x3=0.课时检测（十四） 倾斜角与斜率
1.如图,直线l的倾斜角为 ( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)
3.已知倾斜角为的直线过A(1,0),B(0,m),则m= ( )
A. B.-
C.- D.
4.如图,斜率分别为k1,k2,k3的直线l1,l2,l3的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.k1>k2>k3
B.k3>k1>k2
C.k2>k1>k3
D.k2>k3>k1
5.(多选)下列四个命题中,正确的是 ( )
A.若直线的倾斜角为θ,则sin θ≥0
B.直线的倾斜角θ的取值范围为[0,π)
C.若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ
D.若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ
6.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,b)在同一直线上,则实数b等于 ( )
A.-12 B.-6
C.6 D.12
7.在平面直角坐标系内,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为 ( )
A.-2 B.0
C. D.2
8.已知直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.[0,2] B.[0,1]
C. D.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a= ( )
A. B.
C.1 D.
10.直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.[-2,1] D.∪[1,+∞)
11.(5分)若斜率为2的直线经过点A(-2,3),B(2m+1,1),则实数m= .
12.(5分)直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l',则直线l'的斜率为 .
13.(5分)一束光线从点M(2,4)射入,经x轴上点S反射后经过点N(9,3),则反射光线的倾斜角为 .
14.(10分)已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时,
(1)直线l与x轴平行 (2分)
(2)直线l与y轴平行 (2分)
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1) (2分)
(4)直线的倾斜角为45° (2分)
(5)直线的倾斜角为锐角 (2分)
15.(10分)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,求证:若A,B,C三点共线,
则x1+x2+x3=0.
课时检测(十四)
1．选D 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2．选D 对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
3．选C 由题意得＝tan，解得m＝－，故选C.
4.选C 由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3.
5．选AB 因为直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，即θ∈[0，π)，所以sin θ≥0，当θ≠时直线的斜率k＝tan θ，所以C错误，A、B正确；若直线的斜率k＝tan ＝，此时直线的倾斜角为，所以D错误．
6．选C 因为kAB＝kAC，又kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即b＝6.
7．选B 由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－)＝0.
8.选A 如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，
k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
9．选B 设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以＝，解得a＝.故选B.
10.选D ∵直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，如图所示，∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM＝＝1，kMQ＝＝－，则k≥1或k≤－，∴k∈∪[1，＋∞)．
11．解析：kAB＝＝＝2，解得m＝－2.
答案：－2
12．解析：因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tan α＝tan 30°＝.
答案：
13．解析：设S(t,0)，由反射定律可知kMS＝－kNS，即＝－，解得t＝6，则反射光线的斜率kNS＝＝1，所以反射光线的倾斜角为45°.
答案：45°
14．解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故直线l的斜率k＝，即＝，解得m＝.
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－115．证明：由题意知kAB＝，kAC＝，又A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
∴＝，∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0，
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0.
