2.2.1 直线的点斜式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.会求直线方程的点斜式和斜截式,理解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
1.直线的点斜式方程
设过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l的方程为 ;由直线上一个 及该直线的斜率k确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
斜率 存在 不存在(α=90°)
点斜式 __________________ 无
特殊 情况 图示 k=0时:l与x轴平行或重合 k不存在时:l⊥x轴, 不能用点斜式求方程
|微|点|助|解|
(1)构成直线的要素有两个:一个点和一个方向,点斜式方程是这两个要素的直接反映.
(2)当倾斜角为90°时,直线没有斜率,点斜式方程不存在.
(3)由点斜式方程y-y0=k(x-x0)中能观察到,直线过定点(x0,y0),斜率为k.
2.直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k,过点P0 ,这时P0是直线l与y轴的交点,根据直线的点斜式方程可得 ,即 .我们把直线l与y轴的交点 的纵坐标 叫做直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以方程 叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
|微|点|助|解|
(1)b为直线l在y轴上的截距,截距可以取一切实数,即可以为正数、零、负数;距离必须大于或等于零.
(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到.
(3)当k≠0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.
(4)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线,即斜率不存在的直线.
(5)斜截式是点斜式的特殊情况,在方程y=kx+b中,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=. ( )
(2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( )
(3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. ( )
2.若直线l过点(-1,1)且斜率为1,则直线l的方程为 ( )
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
3.若直线l在y轴上的截距为2,且斜率为-1,则该直线方程为 ( )
A.y=-x+2 B.y=x+2
C.y=x-2 D.y=-x-2
4.直线y=x+3在y轴上的截距为 .
题型(一) 直线的点斜式方程
[例1] 写出下列直线的点斜式方程:
(1)过点A(-4,3),斜率k=3;
(2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;
(3)过点C(-1,2),且与y轴平行;
(4)过点D(2,1)和E(3,-4).
听课记录:
|思|维|建|模|
求直线的点斜式方程的思路
[针对训练]
1.已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点.
(1)求直线DF的方程;
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
题型(二) 直线的斜截式方程
[例2] 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
听课记录:
[变式拓展]
本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”,求直线l的方程.
|思|维|建|模|
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
[针对训练]
2.过点P(1,1),且在y轴上的截距为2的直线方程为 ( )
A.2x+y-2=0 B.2x-y+4=0
C.x+y-2=0 D.x-y+2=0
3.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为 ( )
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
题型(三) 斜截式方程的综合应用
[例3] 当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2:(1)平行;(2)垂直.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2,l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)由两直线平行求参数时,注意验证两直线是否重合.
[针对训练]
4.直线y=kx+k和y=kx+k2,k∈R的图象可能为 ( )
5.已知直线l1:y-m=(x-t)与直线l2:y=kx+3垂直,则k= ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
2．2.1 直线的点斜式方程
?课前预知教材
1．y－y0＝k(x－x0) 定点(x0，y0) y－y0＝k(x－x0)
2．(0，b) y－b＝k(x－0) y＝kx＋b (0，b) b y＝kx＋b
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)√ 2.C 3.A 4.3
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]．
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示．
由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)．
[针对训练]
1．解：(1)由题意知D，F，kDF＝，故直线DF的方程为y－＝，即x－3y＋5＝0.
(2)由题意知kBC＝＝，所以BC边上的高所在直线的斜率为－3，BC边上的高所在直线的方程为y－4＝－3(x－1)，即3x＋y－7＝0.
[题型(二)]
[例2] 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
[变式拓展]
解：∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为.∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝x＋2.
[针对训练]
2．选C 显然斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，则所以k＝－1，所以直线方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.故选C.
3．选D 设直线l的倾斜角为α，则α＝60°，∴k＝tan 60°＝，∴直线l的方程为y＝x－2.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)要使l1∥l2，则需满足解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行．
(2)要使l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1，∴a＝± .故当a＝± 时，直线l1与直线l2垂直．
[针对训练]
4．选C 当k>0时，y＝kx＋k的图象经过第一、二、三象限，y＝kx＋k2的图象经过第一、二、三象限，且两条直线平行，四个选项均不满足；当k<0时，y＝kx＋k的图象经过第二、三、四象限，y＝kx＋k2的图象经过第一、二、四象限，且两条直线平行，C选项满足；当k＝0时，直线y＝kx＋k＝0，直线y＝kx＋k2＝0，两条直线在x轴重合，四个选项均不满足，故选C.
5．选C 直线l1：y－m＝(x－t)的斜率为，直线l2：y＝kx＋3的斜率为k，又两直线垂直，故×k＝－1，解得k＝－2.(共42张PPT)
2.2.1
直线的点斜式方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.会求直线方程的点斜式和斜截式.理解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.直线的点斜式方程
设过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l的方程为_____________;由直线上一个____________及该直线的斜率k确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
斜率 存在 不存在(α=90°)
点斜式 _____________ 无
特殊 情况 图示 k=0时:l与x轴平行或重合 k不存在时:l⊥x轴,不能用点斜式求方程
y-y0=k(x-x0)
定点(x0,y0)
y-y0=k(x-x0)
|微|点|助|解|
(1)构成直线的要素有两个:一个点和一个方向,点斜式方程是这两个要素的直接反映.
(2)当倾斜角为90°时,直线没有斜率,点斜式方程不存在.
(3)由点斜式方程y-y0=k(x-x0)中能观察到,直线过定点(x0,y0),斜率为k.
2.直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k,过点P0_________,这时P0是直线l与y轴的交点,根据直线的点斜式方程可得___________,即__________.我们把直线l与y轴的交点_______的纵坐标____叫做直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以方程________叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
(0,b)
y-b=k(x-0)
y=kx+b
(0,b)
b
y=kx+b
|微|点|助|解|
(1)b为直线l在y轴上的截距,截距可以取一切实数,即可以为正数、零、负数;距离必须大于或等于零.
(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到.
(3)当k≠0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.
(4)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线,即斜率不存在的直线.
(5)斜截式是点斜式的特殊情况,在方程y=kx+b中,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=. ( )
(2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( )
(3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. ( )
×
√
√
2.若直线l过点(-1,1)且斜率为1,则直线l的方程为 ( )
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
解析:直线l的斜率为1,又直线l过点(-1,1),则直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.
√
3.若直线l在y轴上的截距为2,且斜率为-1,则该直线方程为 ( )
A.y=-x+2 B.y=x+2
C.y=x-2 D.y=-x-2
4.直线y=x+3在y轴上的截距为______.
解析:由直线的斜截式可得,直线y=x+3在y轴上的截距为3.
3
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 直线的点斜式方程
[例1] 写出下列直线的点斜式方程:
(1)过点A(-4,3),斜率k=3;
解:由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3[x-(-4)].
(2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;
解:由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)].
(3)过点C(-1,2),且与y轴平行;
解:∵直线与y轴平行,
∴斜率不存在,
∴直线的方程不能用点斜式表示.
由于直线上所有点的横坐标都是-1,
故这条直线的方程为x=-1.
(4)过点D(2,1)和E(3,-4).
解:∵直线过点D(2,1)和E(3,-4),
∴斜率k==-5.
故所求直线的点斜式方程为y-1=-5(x-2).
|思|维|建|模|
求直线的点斜式方程的思路
针对训练
1.已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点.
(1)求直线DF的方程;
解:由题意知D,F,kDF=,故直线DF的方程为y-=,
即x-3y+5=0.
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
解:由题意知kBC==,所以BC边上的高所在直线的斜率为-3,
BC边上的高所在直线的方程为y-4=-3(x-1),即3x+y-7=0.
题型(二) 直线的斜截式方程
[例2] 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
解:由斜截式方程知,直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以kl=-2.由题意知,l2在y轴上的截距为-2,所以直线l在y轴上的截距b=-2.
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
[变式拓展]
本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”,求直线l的方程.
解:∵l1⊥l,直线l1:y=-2x+3,∴l的斜率为.∵l与l2在y轴上的截距互为相反数,直线l2:y=4x-2,∴l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x+2.
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
|思|维|建|模|
针对训练
2.过点P(1,1),且在y轴上的截距为2的直线方程为 ( )
A.2x+y-2=0 B.2x-y+4=0
C.x+y-2=0 D.x-y+2=0
解析:显然斜率存在,可设直线方程为y=kx+b,则所以k=-1,所以直线方程为y=-x+2,即x+y-2=0.故选C.
√
3.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为 ( )
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
解析:设直线l的倾斜角为α,则α=60°,∴k=tan 60°=,∴直线l的方程为y=x-2.
√
[例3] 当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2:
(1)平行;
题型(三) 斜截式方程的综合应用
解:要使l1∥l2,则需满足解得a=-1.故当a=-1时,
直线l1与直线l2平行.
(2)垂直.
解:要使l1⊥l2,则需满足(a2-2)×(-1)=-1,∴a=±.故当a=±时,直线l1与直线l2垂直.
(1)若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2,l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)由两直线平行求参数时,注意验证两直线是否重合.
|思|维|建|模|
4.直线y=kx+k和y=kx+k2,k∈R的图象可能为 ( )
针对训练
解析:当k>0时,y=kx+k的图象经过第一、二、三象限,y=kx+k2的图象经过第一、二、三象限,且两条直线平行,四个选项均不满足;当k<0时,y=kx+k的图象经过第二、三、四象限,y=kx+k2的图象经过第一、二、四象限,且两条直线平行,C选项满足;当k=0时,直线y=kx+k=0,直线y=kx+k2=0,两条直线在x轴重合,四个选项均不满足,故选C.
√
5.已知直线l1:y-m=(x-t)与直线l2:y=kx+3垂直,则k=( )
A.2 B. C.-2 D.-
解析:直线l1:y-m=(x-t)的斜率为,直线l2:y=kx+3的斜率为k,又两直线垂直,故×k=-1,解得k=-2.
√
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1.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若l过点A(-4,3),则直线l的方程为 ( )
A.y-3=(x+4) B.y+3=(x-4)
C.y-3=-(x+4) D.y+3=-(x-4)
解析:根据直线l的方向向量可得直线的斜率为,又因为直线l过点A(-4,3),所以直线l的方程为y-3=(x+4),故选A.
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2.过点(1,0)且与直线y=x-1垂直的直线方程是( )
A.y=x- B.y=x+
C.y=-2x+2 D.y=-x+
解析:由于直线y=x-1的斜率为,故所求直线的斜率为-2,故所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即y=-2x+2,故选C.
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3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有 ( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
解析:∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.
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4.已知直线y=kx+1-3k,当k变化时,所有的直线恒过定点 ( )
A.(1,3) B.(-1,-3)
C.(3,1) D.(-3,-1)
解析:直线y=kx+1-3k变形为y-1=k(x-3),由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).
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5.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-x-.
若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为( )
A.-10 B.-2 C.0 D.8
解析:因为l1∥l2,所以kAB==-2,解得m=-8.又l2⊥l3,
所以×(-2)=-1,解得n=-2.所以m+n=-10.
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6.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是 ( )
√
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解析:①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距为a>0,A、B、C、D都不成立;②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A、B、C、D都不成立;③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0,只有C成立.
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7.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的点斜式方程为 ( )
A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)
解析:设线段OB的中点为M,连接AM,因为|AO|=|AB|,则AM⊥x轴,则点M(1,0),故点B(2,0),所以直线AB的斜率为k==-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3
=-3(x-1).
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8. (5分)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a= .
解析:由题意可知a·(a+2)=-1,解得a=-1.
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9. (5分)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是___________________________.
解析:因为直线与y轴相交成30°角,所以直线的倾斜角为60°或120°,所以直线的斜率为或-.又因为在y轴上的截距为-6,所以直线的斜截式方程是y=x-6或y=-x-6.
y=x-6或y=-x-6
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10. (5分)与直线l:y=x+1平行,且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为 .
解析:根据题意知直线l的斜率k=,故直线l1的斜率k1=.设直线l1的方程
为y=x+b,则令y=0,得它在x轴上的截距为-b.又直线l在y轴上的截距为b,
∴-b+b=-b=1,∴b=-3.∴直线l1的方程为y=x-3.
y=x-3
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11. (5分)若一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则入射光线所在的直线方程为_____________;反射光线所在的直线方程为_____________.
解析:入射光线所在直线的斜率为k1==1,直线方程为y=x-2,即x-y-2=0.
P关于x轴的对称点为P'(6,-4),易知P'在反射光线所在的直线上,所以反射光线所在的直线斜率为k2==-1,直线方程为y=-(x-2),即x+y-2=0.
x-y-2=0
x+y-2=0
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12.(10分)直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线l2:y=x的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.
解:设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2由点斜式方程可知直线l2的斜率为==tan α2,因为0°≤α2<180°,所以α2=30°,所以α1=60°,其斜率k=tan 60°=,所以直线l1的点斜式方程为y+3=(x-2).
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13.(10分)已知在平面直角坐标系中的两点A(8,-6),B(2,2).
(1)求线段AB的中垂线的方程;(5分)
解:易知线段AB的中点的坐标为(5,-2),其斜率kAB==-,所以线段AB的中垂线的斜率为,由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y-(-2)=(x-5),即y=x-.
(2)求以向量为方向向量且过点P(2,-3)的直线l的方程.(5分)
解:由已知得=(-6,8),则直线l的斜率为-,又直线l过点P(2,-3),
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y-(-3)=-(x-2),即y=-x-.
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14.(10分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,1),B(5,1),点C在x轴上,且∠CAB=.
(1)求直线AC的斜率;(5分)
解:如图,A(1,1),B(5,1),可知直线AB平行于x轴,
已知点C在x轴上且∠CAB=,可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为,
即直线AC的倾斜角为,
故直线AC的斜率kAC=tan=-1.
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(2)求直线BC的方程.(5分)
解:由(1)可知kAC=-1,可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1),即lAC:x+y-2=0,
将y=0代入,即求得C点坐标为(2,0).
已知B(5,1),kBC==,
可得直线BC的方程为y-0=(x-2),
化简得lBC:x-3y-2=0.
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15.(10分)已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;(4分)
解:证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).
(2)当-3解:设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示),
若使当-3需满足即
解得-≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.课时检测（十六） 直线的点斜式方程
1.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若l过点A(-4,3),则直线l的方程为 ( )
A.y-3=(x+4) B.y+3=(x-4)
C.y-3=-(x+4) D.y+3=-(x-4)
2.过点(1,0)且与直线y=x-1垂直的直线方程是 ( )
A.y=x- B.y=x+
C.y=-2x+2 D.y=-x+
3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有 ( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
4.已知直线y=kx+1-3k,当k变化时,所有的直线恒过定点 ( )
A.(1,3) B.(-1,-3)
C.(3,1) D.(-3,-1)
5.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-x-.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为 ( )
A.-10 B.-2
C.0 D.8
6.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是 ( )
7.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的点斜式方程为 ( )
A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)
8.(5分)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a= .
9.(5分)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 .
10.(5分)与直线l:y=x+1平行,且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为 .
11.(5分)若一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则入射光线所在的直线方程为 ;反射光线所在的直线方程为 .
12.(10分)直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线l2:y=x的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.
13.(10分)已知在平面直角坐标系中的两点A(8,-6),B(2,2).
(1)求线段AB的中垂线的方程;(5分)
(2)求以向量为方向向量且过点P(2,-3)的直线l的方程.(5分)
14.(10分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,1),B(5,1),点C在x轴上,且∠CAB=.
(1)求直线AC的斜率;(5分)
(2)求直线BC的方程.(5分)
15.(10分)已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;(4分)
(2)当-3课时检测(十六)
1．选A 根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线l过点A(－4,3)，所以直线l的方程为y－3＝(x＋4)，故选A.
2．选C 由于直线y＝x－1的斜率为，故所求直线的斜率为－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2，故选C.
3.选B ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
4．选C 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
5．选A 因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2，解得m＝－8.又l2⊥l3，所以×(－2)＝－1，解得n＝－2.所以m＋n＝－10.
6．选ABD ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．
7.选D 设线段OB的中点为M，连接AM，因为|AO|＝|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1,0)，故点B(2,0)，所以直线AB的斜率为k＝＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．
8．解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
答案：－1
9．解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－.又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
10．解析：根据题意知直线l的斜率k＝，故直线l1的斜率k1＝.设直线l1的方程为y＝x＋b，则令y＝0，得它在x轴上的截距为－b.又直线l在y轴上的截距为b，∴－b＋b＝－b＝1，∴b＝－3.∴直线l1的方程为y＝x－3.
答案：y＝x－3
11．解析：入射光线所在直线的斜率为k1＝＝1，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.P关于x轴的对称点为P′(6，－4)，易知P′在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在的直线斜率为k2＝＝－1，直线方程为y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
答案：x－y－2＝0 x＋y－2＝0
12．解：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2由点斜式方程可知直线l2的斜率为＝＝tan α2，因为0°≤α2<180°，所以α2＝30°，所以α1＝60°，其斜率k＝tan 60°＝，所以直线l1的点斜式方程为y＋3＝(x－2)．
13．解：(1)易知线段AB的中点的坐标为(5，－2)，其斜率kAB＝＝－，所以线段AB的中垂线的斜率为，由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y－(－2)＝(x－5)，即y＝x－.
(2)由已知得＝(－6,8)，则直线l的斜率为－，又直线l过点P(2，－3)，
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－(－3)＝－(x－2)，即y＝－x－.
14．解：(1)如图，A(1,1)，B(5，1)，可知直线AB平行于x轴，已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，
即直线AC的倾斜角为，
故直线AC的斜率kAC＝tan ＝－1.
(2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0，
将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)．
已知B(5,1)，kBC＝＝，
可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)，
化简得lBC：x－3y－2＝0.
15．解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3需满足即解得－≤k≤1.所以实数k的取值范围是.
