2.2.3 直线的一般式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
一般式 斜截式 截距式
Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) y=-x-(B≠0) +=1(A,B,C≠0)
从以上表格中可以看出,若直线的一般式方程为Ax+By+C=0(AB≠0),则其斜率为-,在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为-.
|微|点|助|解|
(1)方程中等号的左侧从左向右一般按x,y,常数项的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数;
(2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合;
(3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合.
3.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
4.利用一般式解决直线的平行与垂直问题
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式. ( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. ( )
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. ( )
(4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. ( )
2.直线x+y+1=0的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
3.若直线x+2y-1=0与mx-2y+2=0平行,则实数m的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.2
4.若直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,则a等于 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
题型(一) 求直线的一般式方程
[例1] 根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-6);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3;
(3)经过点(3,-5),且一个方向向量为a=(2,4).
听课记录:
|思|维|建|模|
求直线一般式方程的策略
(1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0.
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断.
[针对训练]
1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)经过点A(8,-2),斜率是-;
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4).
题型(二) 利用一般式解决直线的平行与垂直问题
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
听课记录:
|思|维|建|模|
求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;过点(x0,y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2,过点(x0,y0)且与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0.
[针对训练]
2.(多选)已知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是 ( )
A.l1在x轴上的截距为-1
B.l2过点(0,-1)且可能垂直于x轴
C.若l1∥l2,则a=-1或a=2
D.若l1⊥l2,则a=
3.经过点(1,1),且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程是 .
题型(三) 直线的一般式方程的应用
[例3] 已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点.
(1)证明:直线l过定点;
(2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
[针对训练]
4.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值;
(2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围.
2．2．3 直线的一般式方程
?课前预知教材
1．Ax＋By＋C＝0
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)× 2.B 3.B 4.B
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0.
(2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0.
(3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0.
[针对训练]
1．解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－(x－8)－2＝－x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0.
(2)由点斜式写出直线方程y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0.
(3)由两点式写出直线方程＝ ＝，其一般式为x＋y－1＝0.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)法一 由题意l的方程可化为y＝－x＋3，则l的斜率为－.
由l′与l平行，得l′的斜率为－，又l′过点(－1，3)，由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0，将点(－1,3)代入上式得m＝－9，所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)法一 由题意l的方程可化为y＝－x＋3，则l的斜率为－.
由l′与l垂直，得l′的斜率为，
又l′过点(－1,3)，由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二 由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0，将点(－1,3)代入上式得n＝13，所以直线l′的方程为4x－3y＋13＝0.
[针对训练]
2．选AD 对于A，因为直线l1：x＋(a－1)y＋1＝0，令y＝0，解得x＝－1，所以l1在x轴上的截距为－1，故A正确；对于B，因为直线l2：ax＋2y＋2＝0的斜率k＝－，即斜率存在，直线l2不与x轴垂直，故B错误；对于C，若a＝2，则直线l1，l2均为x＋y＋1＝0，即两直线重合，不平行，故C错误；对于D，若l1⊥l2，则a＋2(a－1)＝0，解得a＝，故D正确．故选AD.
3．解析：设所求直线方程为2x＋3y＋m＝0，代入点(1,1)，得m＝－5，故所求直线方程为2x＋3y－5＝0.
答案：2x＋3y－5＝0
[题型(三)]
[例3] 解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得即直线l过定点(2,1)．
(2)设直线的方程为＋＝1，a>0，b>0，则A(a,0)，B(0，b)，又直线l过定点(2,1)，
所以＋＝1.又点P(－1，－2)，则·＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＋≥9＋2＝13，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－.
[针对训练]
4．解：(1)由条件知，a≠0且a≠，
在直线l的方程中，令y＝0得x＝，
令x＝0得y＝，
∴＝×3，解得a＝1或a＝，
经检验，a＝1，a＝均符合要求，
故实数a的值为1或.
(2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0.
即x＝－1，此时直线l不通过第四象限；
当a≠时，直线l的方程为y＝x＋.直线l不通过第四象限，即
解得
2.2.3
直线的一般式方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.
能运用直线的一般式方程解决有关问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程_______________ (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
一般式 斜截式 截距式
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
从以上表格中可以看出,若直线的一般式方程为Ax+By+C=0(AB≠0),则其斜率为-,在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为-.
Ax+By+C=0
|微|点|助|解|
(1)方程中等号的左侧从左向右一般按x,y,常数项的先后顺序排列,
x的系数一般不为分数和负数;
(2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合;
(3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合.
3.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
4.利用一般式解决直线的
平行与垂直问题
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式. ( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. ( )
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. ( )
(4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. ( )
√
×
×
×
2.直线x+y+1=0的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析:设直线的倾斜角为α,则直线斜率k=-=tan α,
因为α∈[0,π),则α=,故选B.
3.若直线x+2y-1=0与mx-2y+2=0平行,则实数m的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.2
解析:由x+2y-1=0可知,其斜率为-,又两直线平行,所以可得=-,
解得m=-1.
√
√
4.若直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,则a等于 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
解析:因为直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,所以×=-1,解得a=-2.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 求直线的一般式方程
[例1] 根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-6);
解:根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8),化简可得x+2y+4=0.
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3;
解:根据截距式可得直线方程为+=1,化简可得2x-y-3=0.
(3)经过点(3,-5),且一个方向向量为a=(2,4).
解:由直线的方向向量为a=(2,4),可得直线的斜率k=2,所以所求直线方程为y+5=2(x-3),即2x-y-11=0.
求直线一般式方程的策略
(1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0.
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断.
|思|维|建|模|
针对训练
1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)经过点A(8,-2),斜率是-;
解:由点斜式写出直线方程y=-(x-8)-2=-x+2,其一般式为x+2y-4=0.
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
解:由点斜式写出直线方程y=0×(x-4)+2=2,其一般式为y-2=0.
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4).
解:由两点式写出直线方程= =,其一般式为x+y-1=0.
题型(二) 利用一般式解决直线的平行与垂直问题
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
解:法一 由题意l的方程可化为y=-x+3,则l的斜率为-.
由l'与l平行,得l'的斜率为-,又l'过点(-1,3),由点斜式知直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.
法二 由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0,将点(-1,3)代入上式得m=-9,所以直线l'的方程为3x+4y-9=0.
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
解:法一 由题意l的方程可化为y=-x+3,则l的斜率为-.
由l'与l垂直,得l'的斜率为,
又l'过点(-1,3),由点斜式可得直线l'的方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.
法二 由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,将点(-1,3)代入上式得n=13,所以直线l'的方程为4x-3y+13=0.
求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;过点(x0,y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2,过点(x0,y0)且与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0.
|思|维|建|模|
针对训练
2.(多选)已知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是 ( )
A.l1在x轴上的截距为-1 B.l2过点(0,-1)且可能垂直于x轴
C.若l1∥l2,则a=-1或a=2 D.若l1⊥l2,则a=
√
√
解析:对于A,因为直线l1:x+(a-1)y+1=0,令y=0,解得x=-1,所以l1在x轴上的截距为-1,故A正确;对于B,因为直线l2:ax+2y+2=0的斜率k=-,即斜率存在,直线l2不与x轴垂直,故B错误;对于C,若a=2,则直线l1,l2均为x+y+1=0,即两直线重合,不平行,故C错误;
对于D,若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=,故D正确.故选AD.
3.经过点(1,1),且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程是 .
解析:设所求直线方程为2x+3y+m=0,代入点(1,1),得m=-5,故所求直线方程为2x+3y-5=0.
2x+3y-5=0
[例3] 已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点.
(1)证明:直线l过定点;
题型(三) 直线的一般式方程的应用
解:证明:已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),则(x-2y)m+2x-y-3=0,由解得即直线l过定点(2,1).
(2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值.
解:设直线的方程为+=1,a>0,b>0,则A(a,0),B(0,b),又直线l过定点(2,1),
所以+=1.又点P(-1,-2),则·=(a+1,2)·(1,b+2)=a+2b+5
=(a+2b)+5=9++≥9+2=13,当且仅当=,
即a=4,b=2时取等号,
所以直线l的方程为x+2y-4=0,所以直线l过(4,0),
即4(m+2)-3=0,解得m=-.
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
|思|维|建|模|
4.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值;
针对训练
解:由条件知,a≠0且a≠,
在直线l的方程中,令y=0得x=,
令x=0得y=,
∴=×3,解得a=1或a=,
经检验,a=1,a=均符合要求,
故实数a的值为1或.
(2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围.
解:当a=时,直线l的方程为x+=0.
即x=-1,此时直线l不通过第四象限;
当a≠时,直线l的方程为y=x+.
直线l不通过第四象限,即
解得综上所述,当直线l不通过第四象限时,实数a的取值范围为.
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1.直线+=1化成一般式方程为( )
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
解析:由+=1可得4x+3y=12,即4x+3y-12=0.
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2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 ( )
A.m≠0 B.m≠-
C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0
解析:因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,
所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1.
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3.经过点(1,),倾斜角为120°的直线方程为( )
A.x+y-2=0 B.x-y=0
C.x+y-4=0 D.x-y+2=0
解析:因为直线斜率为tan 120°=-,所以该直线方程为y-=-(x-1),即x+y-2=0.
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4.如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为AC<0,且BC>0,所以A,B,C均不为零,由直线方程Ax+By+C=0,可化为y=-x-,因为AC<0,且BC>0,可得k=->0,y轴截距-<0,所以直线通过第一、三、四象限,不通过第二象限.
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5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4,则a的取值范围为 ( )
A.(-2,2) B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:直线a2x+y-1=0,即y=-a2x+1,则直线的斜率为-a2,即-a2>-4,
解得-2√
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6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0
√
解析:直线3x+4y-5=0的斜率为-,可设l的方程为y=-x+b.令y=0,得x=b,由题可知·|b|=24,得b=±6,由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形,所以b=6,所以选C.
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7.(多选)已知直线l1:mx-y+1=0,直线l2:x-my+1=0,则下列命题正确的是 ( )
A.直线l1恒过点(0,1)
B.若直线l2的方向向量为(1,1),则m=-1
C.若l1∥l2,则m=±1
D.若l1⊥l2,则m=0
√
√
解析:直线l1:y=mx+1,由解得x=0,y=1,即直线l1过定点(0,1),所以A正确;
若直线l2的方向向量为(1,1),可得直线l2的斜率为k2=1,所以=1,解得m=1,所以B错误;由l1∥l2,可得m×(-m)-(-1)×1=0,即m2=1,解得m=±1,当m=1时,直线l1与l2重合;当m=-1时,直线l1与l2平行,所以C错误;由l1⊥l2,可得m×1+(-1)×(-m)=0,
解得m=0,所以D正确.
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8.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪
解析:若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限.若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限.若a≠0且a≠2,将l的方程转化为y=-x-,因为l经过第四象限,所以-<0或解得a<0或2.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪,故选C.
√
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9. (5分)若直线l经过点P(-2,-1)且一个方向向量为n=(6,8),则直线l的一般式方程为_______________.
解析:因为直线l的一个方向向量为n=(6,8),所以直线l的斜率为k=,
由点斜式得直线l的方程为y+1=(x+2),即4x-3y+5=0.
4x-3y+5=0
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10. (5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是 .
解析:由已知得∴m=3.
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11. (5分)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点
A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线的一般式方程为 .
解析:由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),可知△ABC的重心为点,即点(1,1).由题意,可知BC⊥AB,所以△ABC的外心为斜边的中点,即点,所以△ABC的欧拉线的方程为=,即x+2y-3=0.
x+2y-3=0
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12. (5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为_____________________.
(-∞,-5]∪[2,+∞)
解析:因为l:mx+y-m+2=0 y+2=-m(x-1),即直线l过定点Q(1,-2),斜率为-m,因为kQM==-2,kQN==5,
如图所示,所以-m≤-2或-m≥5,解得m≥2或m≤-5.
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13.(10分)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),边BC所在直线过点P(4,-1).
(1)求边BC,AD所在直线的一般式方程;(5分)
解:由菱形的性质可知BC∥AD,则kAD=kBC=kCP==-2.
所以边BC所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7=0;
边AD所在直线的方程为y-7=-2(x+4),即2x+y+1=0.
(2)求对角线BD所在直线的一般式方程.(5分)
解:设线段AC的中点为E,则E(1,1),kAC==-,由菱形的几何性质可知,
BD⊥AC且E为BD的中点,则kBD=-=,
所以对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0.
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14.(10分)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程:
(1)直线l的倾斜角为135°;(3分)
解:因为直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为tan 135°=-1,
由直线l过点P(2,3),得直线l的方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
(2)直线l与直线x-2y+1=0垂直;(3分)
解:因为直线l与直线x-2y+1=0垂直,所以设直线l的方程为2x+y+c=0.
又直线l过点P(2,3),所以2×2+3+c=0,解得c=-7,所以直线l的方程为2x+y-7=0.
(3)直线l与直线x-2y+1=0平行.(4分)
解:因为直线l与直线x-2y+1=0平行,所以设直线l的方程为x-2y+m=0.
又直线l过点P(2,3),所以2-2×3+m=0,解得m=4,所以直线l的方程为x-2y+4=0.
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15.(10分)已知直线l1:2x+ay+4=0与直线l2平行,且l2过点(2,-2),并与坐标轴围成的三角形面积为,求a的值.
解:由l2与l1:2x+ay+4=0平行,可设l2的方程为2x+ay+c=0(c≠4).令x=0,得y=-;
令y=0,得x=-.因为直线l2与坐标轴围成的三角形面积为,所以=,
解得c2=4,所以c=±2且a>0.又2x+ay+c=0过点(2,-2),所以有4-2a+c=0,
从而a=1或a=3.
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16.(15分)已知直线l1:x+y+4-3m=0.
(1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M;(7分)
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解:证明:将直线l1的方程化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,
解方程组解得
故直线l1恒过定点M.
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(2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小,求直线l2的方程.(8分)
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解:由题意可知,直线l2的斜率存在且不为零,
设直线l2的方程为y+2=k,
令x=0,可得y=k-2,
令y=0,可得x=-1,
由已知可得解得k<0,
所以三角形面积为S==≥=4,当且仅当k=-2时,等号成立,此时直线l2的方程为y+2=-2,即2x+y+4=0.课时检测（十八） 直线的一般式方程
1.直线+=1化成一般式方程为 ( )
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 ( )
A.m≠0 B.m≠-
C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0
3.经过点(1,),倾斜角为120°的直线方程为 ( )
A.x+y-2=0 B.x-y=0
C.x+y-4=0 D.x-y+2=0
4.如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4,则a的取值范围为 ( )
A.(-2,2) B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0
7.(多选)已知直线l1:mx-y+1=0,直线l2:x-my+1=0,则下列命题正确的是 ( )
A.直线l1恒过点(0,1)
B.若直线l2的方向向量为(1,1),则m=-1
C.若l1∥l2,则m=±1
D.若l1⊥l2,则m=0
8.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪
9.(5分)若直线l经过点P(-2,-1)且一个方向向量为n=(6,8),则直线l的一般式方程为 .
10.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是 .
11.(5分)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线的一般式方程为 .
12.(5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为 .
13.(10分)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),边BC所在直线过点P(4,-1).
(1)求边BC,AD所在直线的一般式方程;(5分)
(2)求对角线BD所在直线的一般式方程.(5分)
14.(10分)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程:
(1)直线l的倾斜角为135°;(3分)
(2)直线l与直线x-2y+1=0垂直;(3分)
(3)直线l与直线x-2y+1=0平行.(4分)
15.(10分)已知直线l1:2x+ay+4=0与直线l2平行,且l2过点(2,-2),并与坐标轴围成的三角形面积为,求a的值.
16.(15分)已知直线l1:x+y+4-3m=0.
(1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M;(7分)
(2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小,求直线l2的方程.(8分)
课时检测(十八)
1．选C 由＋＝1可得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
2．选C 因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1.
3．选A 因为直线斜率为tan 120°＝－，所以该直线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
4．选B 因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x－，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－>0，y轴截距－<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限．
5．选A 直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1，则直线的斜率为－a2，即－a2>－4，解得－26．选C 直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·|b|＝24，得b＝±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C.
7．选AD 直线l1：y＝mx＋1，由解得x＝0，y＝1，即直线l1过定点(0,1)，所以A正确；若直线l2的方向向量为(1,1)，可得直线l2的斜率为k2＝1，所以＝1，解得m＝1，所以B错误；由l1∥l2，可得m×(－m)－(－1)×1＝0，即m2＝1，解得m＝±1，当m＝1时，直线l1与l2重合；当m＝－1时，直线l1与l2平行，所以C错误；由l1⊥l2，可得m×1＋(－1)×(－m)＝0，解得m＝0，所以D正确．
8．选C 若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限．若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C.
9．解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(6,8)，所以直线l的斜率为k＝，由点斜式得直线l的方程为y＋1＝(x＋2)，即4x－3y＋5＝0.
答案：4x－3y＋5＝0
10．解析：由已知得∴m＝3.
答案：3
11．解析：由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，可知△ABC的重心为点，即点(1,1)．由题意，可知BC⊥AB，所以△ABC的外心为斜边的中点，即点，所以△ABC的欧拉线的方程为＝，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
12．解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0 y＋2＝－m(x－1)，即直线l过定点Q(1，－2)，斜率为－m，
因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5，如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2或m≤－5.
答案：(－∞，－5]∪[2，＋∞)
13．解：(1)由菱形的性质可知BC∥AD，则kAD＝kBC＝kCP＝＝－2.
所以边BC所在直线的方程为y＋5＝－2(x－6)，即2x＋y－7＝0；
边AD所在直线的方程为y－7＝－2(x＋4)，即2x＋y＋1＝0.
(2)设线段AC的中点为E，则E(1,1)，kAC＝＝－，由菱形的几何性质可知，BD⊥AC且E为BD的中点，则kBD＝－＝，所以对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
14．解：(1)因为直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为tan 135°＝－1，
由直线l过点P(2,3)，得直线l的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
(2)因为直线l与直线x－2y＋1＝0垂直，所以设直线l的方程为2x＋y＋c＝0.
又直线l过点P(2,3)，所以2×2＋3＋c＝0，解得c＝－7，所以直线l的方程为2x＋y－7＝0.
(3)因为直线l与直线x－2y＋1＝0平行，所以设直线l的方程为x－2y＋m＝0.
又直线l过点P(2,3)，所以2－2×3＋m＝0，解得m＝4，所以直线l的方程为x－2y＋4＝0.
15．解：由l2与l1：2x＋ay＋4＝0平行，可设l2的方程为2x＋ay＋c＝0(c≠4)．令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.因为直线l2与坐标轴围成的三角形面积为，所以＝，解得c2＝4，所以c＝±2且a>0.又2x＋ay＋c＝0过点(2，－2)，所以有4－2a＋c＝0，从而a＝1或a＝3.
16．解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
解方程组解得
故直线l1恒过定点M.
(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，
设直线l2的方程为y＋2＝k，
令x＝0，可得y＝k－2，
令y＝0，可得x＝－1，
由已知可得解得k<0，所以三角形面积为S＝(2－k)＝≥＝4，当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为y＋2＝－2，即2x＋y＋4＝0.