2.3.2 距离公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.会用两点间的距离公式解决一些相关问题.
2.经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程.掌握点到直线的距离公式.
3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离.
逐点清(一) 两点间的距离公式
[多维理解]
条件 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
公式
特例 点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(3)已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1=x2,y1≠y2时,|P1P2|=|y2-y1|. ( )
(4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. ( )
2.A(2,1),B(4,2)两点间的距离为 ( )
A.3 B.3
C. D.2
3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为 ( )
A.2 B.
C.11 D.3
逐点清(二) 点到直线的距离公式
[多维理解]
1.点到直线的距离
定义 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的 的长度
公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
|微|点|助|解|
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式;
(2)分子含有绝对值;
(3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
[微点练明]
1.点P(-1,1)到直线l:y=-x的距离为 ( )
A. B. C. D.1
2.已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,则C的值是 ( )
A.5或15 B.10 C.-5 D.15
3.已知过点P(1,2)的直线l,且点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为 ( )
A.4x-y-2=0
B.4x-y+2=0
C.4x-y-2=0或x=1
D.4x-y+2=0或x=1
4.已知点A(1,2),直线l:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ+7=0(λ∈R),则点A到l的距离的最大值为 ( )
A.3 B. C.3 D.5
逐点清(三) 两条平行直线间的距离公式
[多维理解]
两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的 的长
公式 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=
|微|点|助|解|
(1)使用此公式的两个条件:直线方程都为一般式;x,y的系数对应相等.
(2)①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|;
②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.
[微点练明]
1.已知直线l1:2x+y-1=0,l2:4x+2y+1=0,则l1,l2间的距离为 ( )
A. B. C. D.
2.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两条直线之间的距离为 ( )
A. B.1 C. D.2
3.与l:x-y+1=0距离为的直线方程为 ( )
A.x-y+1+=0或x-y+1-=0
B.x-y+2=0或x-y=0
C.x-y+2=0或x-y+1-=0
D.x-y+1+=0或x-y=0
4.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n= ( )
A.0 B.1 C.-2 D.-1
2.3.2 距离公式
[逐点清(一)]
[多维理解]
|P1P2|＝
[微点练明]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.C 3.A 4.A
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.垂线段
[微点练明]
1．选A 点P到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝.
2．选A 由点线距离公式有＝1，解得C＝15或C＝5.
3．选C 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，点A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则＝，解得k＝4，故直线l的方程为4x－y－2＝0，综上所述，直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
4．选D 将直线l的方程变形为λ(x－y＋2)＋2x＋y＋7＝0，由得所以直线l过定点B(－3，－1)，当l⊥AB时，点A到l的距离最大，故最大距离为＝5.故选D.
[逐点清(三)]
[多维理解] 公垂线段
[微点练明]
1．选C 将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线的距离公式得d＝＝.
2．选C 依题意，由两条直线平行可知2a＝a2＋1，解得a＝1，所以两条直线分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，可得两条直线之间的距离为＝，故选C.
3．选B 依题意，设所求直线方程为x－y＋m＝0，则两条平行直线间的距离d＝＝，解得m＝0或m＝2，所以所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y＝0.
4．选A 由题意两条直线平行，则＝，解得n＝－2，又d＝＝，而m>0，所以m＝2.所以m＋n＝0.(共39张PPT)
距离公式
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
2.3.2
课时目标
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.会用两点间的距离公式解决一些相关问题.
2.经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程.掌握点到直线的距离公式.
3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 两点间的距离公式
逐点清(二) 点到直线的距离公式
逐点清(三) 两条平行直线间的距离公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 两点间的距离公式
01
多维理解
条件 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
公式 ________________________________
特例 点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=___________
|P1P2|=
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(3)已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1=x2,y1≠y2时,|P1P2|=|y2-y1|. ( )
(4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用.
( )
×
×
√
×
2.A(2,1),B(4,2)两点间的距离为 ( )
A.3 B.3 C. D.2
解析:由两点间距离公式得|AB|==.
√
3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由两点间的距离公式及|AB|=|AC|可得,
=,解得a=-2.
√
4.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为 ( )
A.2 B. C.11 D.3
解析:设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得
所以D(4,-2),所以|AD|===2.故选A.
√
逐点清(二) 点到直线的距离公式
02
多维理解
1.点到直线的距离
定义 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的_________的长度
公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=_________________
垂线段
|微|点|助|解|
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式;
(2)分子含有绝对值;
(3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
微点练明
1.点P(-1,1)到直线l:y=-x的距离为( )
A. B. C. D.1
解析:点P到直线l:3x+4y=0的距离d==.
√
2.已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,则C的值是 ( )
A.5或15 B.10 C.-5 D.15
解析:由点线距离公式有=1,解得C=15或C=5.
√
3.已知过点P(1,2)的直线l,且点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为 ( )
A.4x-y-2=0 B.4x-y+2=0
C.4x-y-2=0或x=1 D.4x-y+2=0或x=1
解析:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,点A(2,3)与点B(0,-5)到x=1的距离为1,符合题意.当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,由于点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,则=,解得k=4,故直线l的方程为4x-y-2=0,综上所述,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
√
4.已知点A(1,2),直线l:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ+7=0(λ∈R),则点A到l的距离的最大值为 ( )
A.3 B. C.3 D.5
解析:将直线l的方程变形为λ(x-y+2)+2x+y+7=0,由
得所以直线l过定点B(-3,-1),当l⊥AB时,点A到l的距离最大,
故最大距离为=5.故选D.
√
逐点清(三) 两条平行直线间的距离公式
03
两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的____________的长
公式 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0
(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=__________
多维理解
公垂线段
|微|点|助|解|
(1)使用此公式的两个条件:直线方程都为一般式;x,y的系数对应相等.
(2)①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|;
②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.
1.已知直线l1:2x+y-1=0,l2:4x+2y+1=0,则l1,l2间的距离为 ( )
A. B. C. D.
微点练明
解析:将直线l1方程化为4x+2y-2=0,由平行直线的距离公式得d==.
√
2.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两条直线之间的距离为 ( )
A. B.1 C. D.2
解析:依题意,由两条直线平行可知2a=a2+1,解得a=1,所以两条直线分别为x+y-2=0,x+y-1=0,可得两条直线之间的距离为=,故选C.
√
3.与l:x-y+1=0距离为的直线方程为( )
A.x-y+1+=0或x-y+1-=0 B.x-y+2=0或x-y=0
C.x-y+2=0或x-y+1-=0 D.x-y+1+=0或x-y=0
解析:依题意,设所求直线方程为x-y+m=0,则两条平行直线间的距离d==,解得m=0或m=2,所以所求直线方程为x-y+2=0或x-y=0.
√
4.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n=( )
A.0 B.1 C.-2 D.-1
解析:由题意两条直线平行,则=,解得n=-2,又d==,而m>0,所以m=2.所以m+n=0.
√
课时跟踪检测
04
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2
1.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是 ( )
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0
C.=1 D.=0
解析:由两点间的距离公式得 =1.
√
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2.已知直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于 ( )
A.4 B.4 C.2 D.2
解析:∵P(1,1),Q(5,5),∴|PQ|==4.
√
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3
4
2
3.已知点A(6,0),P在直线y=-x上,|AP|=3,则P点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为点A(6,0)到直线y=-x的距离为=3=|AP|,所以P点的个数是1.
√
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2
4.已知点(0,1)到直线mx+3y-2=0的距离是,那么m的值是( )
A.4 B.-3 C.4或-3 D.-4或4
解析:由题意,=,解得m=±4.
√
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5.已知点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 ( )
A.41 B. C. D.39
解析:设M(x,y),由中点坐标公式得=1,=0,解得x=4,y=-5.
所以点M(4,-5).则|OM|==.故选B.
√
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6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d,则a,d分别为 ( )
A.a=2,d= B.a=2,d=
C.a=-2,d= D.a=-2,d=
解析:因为直线2x-y+3=0与直线ax-y+4=0平行,所以-2+a=0,解得a=2,
所以两直线分别为2x-y+3=0和2x-y+4=0,所以d==.
√
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7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是 ( )
A.2 B.3 C. D.
√
解析:由中点坐标公式可得,BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|==.
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8.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:2x-y=1的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:联立两条直线方程解得即P(1,2),
由点到直线的距离公式可得P到直线l:2x-y=1的距离为d==.
√
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2
9.与点M(2,1)之间的距离为2,且在x轴上的截距为4的直线是 ( )
A.x=4 B.3x-4y-12=0
C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0
√
解析:x=4与M(2,1)的距离为2,且在x轴上的截距为4,故x=4符合要求;
对于直线3x-4y-12=0,有d==2,且当y=0时,x=4,故也符合要求;
y=4与M(2,1)的距离为3且与x轴无交点,不符合要求.∴x=4,3x-4y-12=0都是与点M(2,1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.故选C.
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10.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B. C. D.
√
解析:易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行,故|PQ|的最小值即
两条平行直线间的距离,故d==.
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11. (5分)已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为,
则a=__________.
-3或1
解析:由两平行直线间的距离公式得
d==,即|a+1|=2,∴a=-3或a=1.
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12. (5分)已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取最小值时,实数a的值为_______.
解析:∵A(5,2a-1),B(a+1,a-4),
∴|AB|====,
∴当a=时,|AB|取得最小值.
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13. (5分)已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),则△ABC的面积为 .
解析:由A(-2,-3),B(2,-1)可得直线AB方程为= x-2y-4=0,
|AB|==2,点C(0,2)到直线AB的距离为=,所以△ABC的面积为×2×=8.
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14. (5分)已知直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,且l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则l在y轴上的截距为 .
解析:由直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,设直线l的方程为x-y+t=0,
因为l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则
解得所以直线l的方程为x-y=0,即y=x,故直线l在y轴上的截距为0.
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15.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
解:由题易知a≠0,在直线ax+2y-1=0中,令y=0,有x=,则A,令x=0,有y=,则B,故AB的中点为,∵线段AB的中点到原点的距离为,∴ =,解得a=±2.所以a的值为2或-2.
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16.(10分)已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离;(5分)
16
解:易知l1与l2平行,所以两平行直线l1与l2间的距离为d==2.
(2)求直线l3的方程.(5分)
解:由l3与l2平行可知,设l3的方程为2x+3y+C=0(-81.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是 ( )
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0
C.=1 D.=0
2.已知直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于 ( )
A.4 B.4
C.2 D.2
3.已知点A(6,0),P在直线y=-x上,|AP|=3,则P点的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知点(0,1)到直线mx+3y-2=0的距离是,那么m的值是 ( )
A.4 B.-3
C.4或-3 D.-4或4
5.已知点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 ( )
A.41 B.
C. D.39
6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d,则a,d分别为 ( )
A.a=2,d= B.a=2,d=
C.a=-2,d= D.a=-2,d=
7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是 ( )
A.2 B.3
C. D.
8.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:2x-y=1的距离为 ( )
A. B.
C. D.
9.与点M(2,1)之间的距离为2,且在x轴上的截距为4的直线是 ( )
A.x=4 B.3x-4y-12=0
C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0
10.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为,则a= .
12.(5分)已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取最小值时,实数a的值为 .
13.(5分)已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),则△ABC的面积为 .
14.(5分)已知直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,且l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则l在y轴上的截距为 .
15.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
16.(10分)已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离;(5分)
(2)求直线l3的方程.(5分)
课时检测(二十)
1．选C 由两点间的距离公式得 ＝1.
2．选B ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝＝4.
3．选B 因为点A(6,0)到直线y＝－x的距离为＝3＝|AP|，
所以P点的个数是1.
4．选D 由题意，＝，解得m＝±4.
5．选B 设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则|OM|＝＝.故选B.
6．选B 因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.
7．选C 由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝.
8．选D 联立两条直线方程解得即P(1,2)，由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x－y＝1的距离为d＝＝.
9．选C x＝4与M(2,1)的距离为2，且在x轴上的截距为4，故x＝4符合要求；对于直线3x－4y－12＝0，有d＝＝2，且当y＝0时，x＝4，故也符合要求；y＝4与M(2,1)的距离为3且与x轴无交点，不符合要求．∴x＝4,3x－4y－12＝0都是与点M(2,1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线．故选C.
10．选C 易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离，故d＝＝.
11．解析：由两平行直线间的距离公式得
d＝＝，即|a＋1|＝2，∴a＝－3或a＝1.
答案：－3或1
12．解析：∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取得最小值．
答案：
13．解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB方程为＝ x－2y－4＝0，|AB|＝＝2，点C(0,2)到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为×2×＝8.
答案：8
14．解析：由直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，设直线l的方程为x－y＋t＝0，因为l，m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1，则解得所以直线l的方程为x－y＝0，即y＝x，故直线l在y轴上的截距为0.
答案：0
15．解：由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴ ＝，解得a＝±2.所以a的值为2或－2.
16．解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2.
(2)由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8
