2.4.1 圆的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径.
2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系.
1.圆的标准方程
以A(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是 .
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),A,M两点间距离为d,则
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 d r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2|微|点|助|解|
(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )
(3)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. ( )
(4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a. ( )
2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为 ( )
A.(-1,5), B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12,则点A(1,6)在 ( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.不确定
4.已知圆心为(-2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=1
C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1
题型(一) 求圆的标准方程
方法1 直接法求圆的标准方程
[例1] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
听课记录:
|思|维|建|模|
直接法求圆的标准方程
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
方法2 待定系数法求圆的标准方程
[例2] 已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
待定系数法求圆的标准方程
设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算.
方法3 几何性质法求圆的标准方程
[例3] 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
听课记录:
|思|维|建|模|
几何性质法求圆的标准方程的两种思路
(1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径;
(2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径.
[针对训练]
1.已知点A(1,-1)和点B(-1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-4)2=5
B.(x+2)2+(y-4)2=20
C.x2+(y-1)2=5
D.x2+(y-1)2=20
2.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程.
题型(二) 点与圆的位置关系
[例4] (1)已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 ( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
(2)已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a= ;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为 .
听课记录:
|思|维|建|模| 判断点与圆的位置关系的两种方法
几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断
代数法 把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断
[针对训练]
3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 ( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定
4.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,4) B.(-∞,2)
C.(4,+∞) D.(-∞,2)∪(4,+∞)
2．4.1 圆的标准方程
?课前预知教材
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 2.＝ ＞ ＜
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.B 3.C 4.A
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)．又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
[例2] 解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，
所以有解得
因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝5
[例3] 选C 法一 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，
则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点．
由得
即圆心坐标为(1,1)，
圆的半径为＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二 设点C为圆心．
∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴ ＝ ，
解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
[针对训练]
1．选C 法一 因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，所以AB的中点M，即M(0,1)为圆心，由|AB|＝＝2，则圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.
法二 由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5.
2．解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，
设圆心为(a,6)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2 ①.
而r＝，代入①，
得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
[题型(二)]
[例4] (1)选A 由题意，得a＋b＝1，ab＝－，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
∴点P在圆C内．
(2)解析：由题意，当点P在圆C上时，由2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或a＝－6.
当点P在圆C外时，由2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2.
答案：－2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞)
[针对训练]
3．选B 将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9，则点在圆外，故选B.
4．选D 因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，所以(a－3)2＋(a－3)2>2，解得a>4或a<2.(共44张PPT)
2.4.1
圆的标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径.
2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.
3.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.圆的标准方程
以A(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是_________________.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),A,M两点间距离为d,则
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 d___r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆外 d___r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆内 d___r (x0-a)2+(y0-b)2(x-a)2+(y-b)2=r2
=
>
<
|微|点|助|解|
(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,
但是半径是不变的.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )
(3)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. ( )
(4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a. ( )
×
√
×
×
2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为 ( )
A.(-1,5), B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
√
3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12,则点A(1,6)在 ( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.不确定
√
解析:圆心为(-1,3),半径为=2,因为=>2,
所以点A(1,6)在圆外,故选C.
4.已知圆心为(-2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=1
C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1
√
解析:∵圆过点(0,1),即点(0,1)在圆上,∴该圆的半径为圆心(-2,1)与点(0,1)两点之间的距离r==2,∴该圆的标准方程是(x+2)2+(y-1)2=4.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 求圆的标准方程
方法1 直接法求圆的标准方程
[例1] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
解:r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
解:设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8).又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
直接法求圆的标准方程
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”
“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
|思|维|建|模|
方法2 待定系数法求圆的标准方程
[例2] 已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为_________________.
(x-1)2+(y-3)2=5
解析:设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(0,1),B(2,1),C(3,4),
所以有解得
因此△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
待定系数法求圆的标准方程
设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算.
|思|维|建|模|
方法3 几何性质法求圆的标准方程
[例3] 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析:法一 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,线段AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x,
则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点.
由得即圆心坐标为(1,1),
圆的半径为=2.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
√
法二 设点C为圆心.
∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
∴
= ,
解得a=1.
∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
几何性质法求圆的标准方程的两种思路
(1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径;
(2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程
联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径.
|思|维|建|模|
针对训练
1.已知点A(1,-1)和点B(-1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-4)2=5 B.(x+2)2+(y-4)2=20
C.x2+(y-1)2=5 D.x2+(y-1)2=20
解析:法一 因为点A(1,-1)和点B(-1,3)为直径端点,所以AB的中点M,即M(0,1)为圆心,由|AB|==2,则圆的半径r==,故圆的标准方程为x2+(y-1)2=5.
√
法二 由题意圆的方程可以为(x-1)(x+1)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2-2y-4=0,即x2+(y-1)2=5.
2.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程.
解:圆心在线段AB的垂直平分线y=6上,
设圆心为(a,6),半径为r,
则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.
将点(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2 ①.
而r=,代入①,
得(a-1)2+16=,
解得a=3,r=2,或a=-7,r=4.
故圆C的方程为(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80.
题型(二) 点与圆的位置关系
[例4] (1)已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
解析:由题意,得a+b=1,ab=-,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,
∴点P在圆C内.
√
(2)已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=_________;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为___________________.
解析:由题意,当点P在圆C上时,由+(1-1)2=1 ,解得a=-2或a=-6.
当点P在圆C外时,由+(1-1)2>1,解得a<-6或a>-2.
-2或-6
(-∞,-6)∪(-2,+∞)
判断点与圆的位置关系的两种方法
|思|维|建|模|
几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断
代数法 把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断
3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 ( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定
√
解析:将点P(3,m)代入圆的方程得(3+1)2+m2=16+m2>9,则点在圆外,故选B.
4.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,4) B.(-∞,2)
C.(4,+∞) D.(-∞,2)∪(4,+∞)
解析:因为点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,所以(a-3)2+(a-3)2>2,解得a>4或a<2.
针对训练
√
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1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的标准方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=16
D.(x+2)2+(y-1)2=16
√
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2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是 ( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
√
解析:∵12+32=10<24,∴点P在圆内.
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3.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是 ( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M的圆心为(-4,3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的弦长为6
√
√
√
解析:由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,则A、C正确;令x=0,得y=0或y=-6,弦长为6,故D正确.故选ACD.
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4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是 ( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
√
解析:圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,
所以直线l的斜率k=1.由点斜式,得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.
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5.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为 ( )
A.+y2= B.+y2=
C.+y2= D.+y2=
√
解析:法一:待定系数法 根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),
半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0).
由题意得解得
所以圆E的标准方程为+y2=.
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法二:几何法 因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),
所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|==,
所以圆E的标准方程为+y2=.
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6.(多选)已知圆C经过点A(0,0),B(2,0),△ABC为直角三角形,则圆C的方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5
解析:设圆心C(a,b),由题意可知,|CA|=|CB|,即=,解得a=1.因为△ABC为直角三角形,所以∠ACB为直角,则|AC|2+|BC|2
=|AB|2,即a2+b2+(a-2)2+b2=4,解得b=±1,则圆C的半径为|CA|=
=,圆心为C(1,±1),因此,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2,故选BC.
√
√
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7.(多选)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 ( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
√
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解析:由题意可知圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心C(k,k),半径r=2.不论k如何变化,圆心C(k,k)始终在直线y=x上,故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,整理得2k2-6k+5=0,因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,可知方程无解,所以所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;令(2-k)2+(2-k)2=4,整理得k2-4k+2=0,因为Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,可知方程有两个不同的解,所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个,故C错误;因为半径r=2,所以所有圆的面积均为π×22=4π,故D错误.
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8. (5分)若圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为 .
-1或3
解析:圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),由题意可得=,
即|a-1|=2,解得a=-1或a=3.
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9. (5分)若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部,则a的取值范围
为____________________________.
解析:∵点P在圆外,∴(5a+1-1)2+(12a)2>1,169a2>1,a2>,
∴a>或a<-.
∪
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10. (5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的标准方程为 .
(x-2)2+y2=9
解析:设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知,=,解得a=2,∴C(2,0),则圆C的半径为r=|CM|= =3.∴圆C的标准方程
为(x-2)2+y2=9.
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11. (5分)若圆经过A(2,5),B(-2,1)两点,并且圆心在直线y=x上,则圆的标准方程为_____________________,圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为 .
(x-2)2+(y-1)2=16
1
解析:由题意,得线段AB的中点为(0,3),因为经过A(2,5),B(-2,1)的直线的斜率为=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3,与直线方程y=x联立,解得即圆心坐标为(2,1),所以圆的半径r==4,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16.因为圆心到直线3x-4y+23=0的距离d==5,所以圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为d-r=1.
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12. (5分)已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为________________;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为______________.
(x+2)2+(y-2)2=4
x2+y2=4
解析:由题意可得所求的圆在第二象限,圆心为(-2,2),半径为2,所以圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4.
设(-2,2)关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b).
则有解得
故所求圆的圆心为(0,0),半径为2.
所以所求圆的方程为x2+y2=4.
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13.(10分)根据下列条件,分别求相应圆的方程.
(1)圆心为C,半径r=;(3分)
解:将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为+(y-3)2=3.
(2)圆心为C(,1),过点A(-1,);(3分)
解:易知圆的半径为r=|AC|= =,所以圆的方程
为(x-)2+(y-1)2=6.
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(3)与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点,且半径等于.(4分)
解:易知圆心在线段AB的垂直平分线上,不妨设圆心坐标为(3,a),由半径为可得r==,解得a=±1.当圆心为(3,1)时,圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.当圆心为(3,-1)时,圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=5.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.
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14.(10分)如图,已知两点P1(4,9)和P2(6,3),
且圆以P1P2为直径.
(1)求圆的方程;(5分)
解:设圆心C(a,b),半径r,则由C为P1P2的中点得
a==5,b==6.又由两点间的距离公式得r=|CP1|==,
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
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(2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外 (5分)
解:分别计算点到圆心的距离|CM|==,
|CN|==>,|CQ|==3<.
因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
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15.(15分)一个等腰△ABC底边上的高等于4,底边两端点的坐标分别是B(-3,0)和C(3,0),求它的外接圆的方程.
解:当点A的坐标是(0,4)时(如图①),kAB=,线段AB的中点坐标是,线段AB的
垂直平分线的方程是y-2=-,即y=-x+.令x=0,则y=.
所以圆心的坐标是,半径长为4-=,此时所求外接圆的方程是x2+=.
当点A的坐标是(0,-4)时(如图②),kAB=-,
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线段AB的中点坐标是,线段AB的垂直平分线的方程是y+2=,即y=x-.令x=0,则y=-.
所以圆心的坐标是,
半径长为4-=,
此时所求外接圆的方程是x2+=.
综上,所求外接圆的方程是x2+=或x2+=.
15课时检测（二十三） 圆的标准方程
1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的标准方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=16
D.(x+2)2+(y-1)2=16
2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是 ( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
3.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是 ( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M的圆心为(-4,3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的弦长为6
4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是 ( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
5.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为 ( )
A.+y2= B.+y2=
C.+y2= D.+y2=
6.(多选)已知圆C经过点A(0,0),B(2,0),△ABC为直角三角形,则圆C的方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y-2)2=5
7.(多选)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 ( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
8.(5分)若圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为 .
9.(5分)若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部,则a的取值范围为 .
10.(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,
则圆C的标准方程为 .
11.(5分)若圆经过A(2,5),B(-2,1)两点,并且圆心在直线y=x上,则圆的标准方程为 ,圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为 .
12.(5分)已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为 ;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为 .
13.(10分)根据下列条件,分别求相应圆的方程.
(1)圆心为C,半径r=;(3分)
(2)圆心为C(,1),过点A(-1,);(3分)
(3)与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点,且半径等于.(4分)
14.(10分)如图,已知两点P1(4,9)和P2(6,3),且圆以P1P2为直径.
(1)求圆的方程;(5分)
(2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外 (5分)
15.(15分)一个等腰△ABC底边上的高等于4,底边两端点的坐标分别是B(-3,0)和C(3,0),求它的外接圆的方程.
课时检测(二十三)
1．C
2．选B ∵12＋32＝10<24，∴点P在圆内．
3．选ACD 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD.
4．选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
5．选C 法一：待定系数法 根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得解得
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
法二：几何法 因为圆E经过点A(0,1)，B(2，0)，
所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
6．选BC 设圆心C(a，b)，由题意可知，|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝1.因为△ABC为直角三角形，所以∠ACB为直角，则|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即a2＋b2＋(a－2)2＋b2＝4，解得b＝±1，则圆C的半径为|CA|＝＝，圆心为C(1，±1)，因此，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选BC.
7．选AB 由题意可知圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3,0)，故B正确；令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个，故C错误；因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误．
8．解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，由题意可得＝，即|a－1|＝2，解得a＝－1或a＝3.
答案：－1或3
9．解析：∵点P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴a>或a＜－.
答案：∪
10．解析：设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，由题意知，＝，解得a＝2，∴C(2,0)，则圆C的半径为r＝|CM|＝ ＝3.∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
11．解析：由题意，得线段AB的中点为(0,3)，因为经过A(2,5)，B(－2,1)的直线的斜率为＝1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝－x＋3，与直线方程y＝x联立，解得即圆心坐标为(2,1)，所以圆的半径r＝＝4，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.因为圆心到直线3x－4y＋23＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线3x－4y＋23＝0的最小距离为d－r＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝16 1
12．解析：由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
设(－2,2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)．
则有解得
故所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋(y－2)2＝4 x2＋y2＝4
13．解：(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为2＋(y－3)2＝3.
(2)易知圆的半径为r＝|AC|＝ ＝，所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝6.
(3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)，由半径为可得r＝＝，解得a＝±1.当圆心为(3,1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.当圆心为(3，－1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
14．解：(1)设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)分别计算点到圆心的距离|CM|＝＝，|CN|＝＝>，|CQ|＝＝3<.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
15．解：当点A的坐标是(0,4)时(如图①)，kAB＝，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y－2＝－，即y＝－x＋.令x＝0，则y＝.
所以圆心的坐标是，半径长为4－＝，此时所求外接圆的方程是x2＋2＝.
当点A的坐标是(0，－4)时(如图②)，kAB＝－，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y＋2＝，即y＝x－.令x＝0，则y＝－.所以圆心的坐标是，
半径长为4－＝，
此时所求外接圆的方程是x2＋2＝.综上，所求外接圆的方程是x2＋2＝或x2＋2＝.
