2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d r d r d r
代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切. ( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
(4)过圆外一点的直线与圆相离. ( )
2.直线x-y+3=0被圆x2+y2+2x-4y=0所截得的弦长为 ( )
A. B.2
C.5 D.10
3.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为 ( )
A.点P在圆O内 B.点P在圆O上
C.点P在圆O外 D.无法确定
4.已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0(m>0)相切,则m= ( )
A.15 B.5
C.20 D.25
题型(一) 直线与圆位置关系的判断
[例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
听课记录:
|思|维|建|模|
根据直线与圆的位置关系求参数的方法
代数法 (判别 式法) 将直线与圆的位置关系转化为一元二次方程根的个数问题,利用判别式得到关于参数的方程或不等式,通过解方程或 不等式求解
几何法 由直线与圆的位置关系得到圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,从而列方程或不等式求解
[针对训练]
1.直线ax+y-a=0(a∈R)与圆x2-4x+y2=0的位置关系是 ( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,1) B.(1,3)
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
题型(二) 圆的弦长问题
[例2] 求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
听课记录:
|思|维|建|模| 求弦长常用的三种方法
几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题
交点 坐标法 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长
公式法 设直线y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=
[针对训练]
3.直线l:x-y+3=0被圆C:x2+(y-1)2=4截得的弦长为 ( )
A. B.2
C. D.2
4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
题型(三) 圆的切线问题
[例3] 求过点P(1,1)且与圆C:x2+y2-8y+14=0相切的直线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例中条件不变,求过点P的圆C的切线长.
2.将本例中的条件“P(1,1)”改为“P(1,3)”,其他条件不变,如何解答
3.将本例中的条件“P(1,1)”改为“P(,1)”,其他条件不变,如何解答
|思|维|建|模|
过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
几何法 设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程
代数法 设出切线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程
[提醒] 过一点求圆的切线方程时,若点在圆上,则切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条.
[针对训练]
5.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 ( )
A.y=1
B.4x-3y-5=0
C.y=1或3x-4y-5=0
D.y=1或4x-3y-5=0
6.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,过点A(-2,-1)向圆C作切线,切点为B,则|AB|= ( )
A. B.
C. D.3
第1课时 直线与圆的位置关系
?课前预知教材
1．两个 一个 没有
2．两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.B 3.A 4.D
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即－法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ .
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当d>2，即－[针对训练]
1．选B 由ax＋y－a＝0 y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1,0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，因为(1－2)2＋02<4，所以点(1,0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交．
2．选C 由题意得圆心为(a,0)，半径为.圆心到直线的距离为d＝＝，由直线与圆有公共点可得≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.所以实数a的取值范围是[－3,1]．
[题型(二)]
[例2] 解：法一 直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解，
解得所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)，所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.
法二 如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，又|OM|＝＝，所以|AB|＝2|AM|＝2＝2＝2.
[针对训练]
3．选D 由圆C：x2＋(y－1)2＝4，得圆心C(0,1)，半径r＝2，所以圆心C(0,1)到直线l的距离为d＝＝1，所以直线l被圆C截得的弦长为2＝2×＝2.
4．解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1,0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±.
答案：2
[题型(三)]
[例3] 解：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝2，则圆心C的坐标为(0,4)，半径r＝.设过点P的直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l不与圆C相切．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，由直线l与圆C相切，得＝，解得k＝7或k＝－1，所以切线的方程为7x－y－6＝0或x＋y－2＝0.综上所述，切线的方程为7x－y－6＝0或x＋y－2＝0.
[变式拓展]
1．解：因为|PC|＝＝，所以过点P的圆C的切线长为＝2.
2．解：将P(1,3)代入圆C：x2＋(y－4)2＝2，可知点P位于圆C上，所以kPC＝－1，故切线的斜率为1，所以过点P的圆的切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0.
3．解：易知C(0,4)，半径r＝.设过点P的直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝，此时直线l与圆C相切．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－)，由直线l与圆C相切，得＝，解得k＝－，所以直线l的方程为7x＋12y－26＝0.综上所述，切线的方程为7x＋12y－26＝0或x＝.
[针对训练]
5．选D 由题意可设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，∴圆心到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝，∴切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
6．选C 圆(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圆心C(1，－2)，半径r＝2，又A(－2，－1)，则|AC|＝＝，则|AB|＝＝＝.(共48张PPT)
2.5.1
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有______公共点
相切 只有______公共点
相离 ______公共点
两个
一个
没有
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 d____r d____r d____r
Δ____0 Δ____0 Δ____0
两
一
零
<
=
>
>
=
<
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切. ( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
(4)过圆外一点的直线与圆相离. ( )
×
√
√
×
2.直线x-y+3=0被圆x2+y2+2x-4y=0所截得的弦长为 ( )
A. B.2 C.5 D.10
√
解析:圆x2+y2+2x-4y=0即(x+1)2+(y-2)2=5,故圆心为(-1,2),显然圆心在直线x-y+3=0上,故直线被圆所截得的弦即为圆的直径,长为2.
3.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为 ( )
A.点P在圆O内 B.点P在圆O上
C.点P在圆O外 D.无法确定
√
解析:由题设O(0,0)与直线ax+by=1的距离d=>1,即a2+b2<1,
所以点P(a,b)在圆O内.
4.已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0(m>0)相切,则m= ( )
A.15 B.5 C.20 D.25
解析:易知C的圆心为原点O,设O到直线l的距离为d,因为圆C与直线l相切,则d==5,解得m=25.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 直线与圆位置关系的判断
[例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.
解:法一 将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理,
得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为C(2,1),半径r=2.
圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d== .
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-根据直线与圆的位置关系求参数的方法
|思|维|建|模|
代数法 (判别 式法) 将直线与圆的位置关系转化为一元二次方程根的个数问题,利用判别式得到关于参数的方程或不等式,通过解方程或
不等式求解
几何法 由直线与圆的位置关系得到圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,从而列方程或不等式求解
针对训练
1.直线ax+y-a=0(a∈R)与圆x2-4x+y2=0的位置关系是 ( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
解析:由ax+y-a=0 y=-a(x-1),所以直线ax+y-a=0恒过定点(1,0),圆x2-4x+y2=0可化为(x-2)2+y2=4,因为(1-2)2+02<4,所以点(1,0)在圆(x-2)2+y2=4的内部,所以直线ax+y-a=0与圆x2-4x+y2=0相交.
√
2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,1) B.(1,3)
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
√
解析:由题意得圆心为(a,0),半径为.圆心到直线的距离为d=
=,由直线与圆有公共点可得≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.所以实数a的取值范围是[-3,1].
题型(二) 圆的弦长问题
[例2] 求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
解:法一 直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解,解得所以公共点的坐标为(-,1),(0,2),所以直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.
法二 如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB
(O为坐标原点),
又|OM|==,
所以|AB|=2|AM|=2=2=2.
求弦长常用的三种方法
|思|维|建|模|
几何法
交点 坐标法 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长
公式法
针对训练
3.直线l:x-y+3=0被圆C:x2+(y-1)2=4截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
√
解析:由圆C:x2+(y-1)2=4,得圆心C(0,1),半径r=2,所以圆心C(0,1)到直线l的距离为d==1,所以直线l被圆C截得的弦长为2
=2×=2.
4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值
________________________________________.
解析:设直线x-my+1=0为直线l,由条件知☉C的圆心C(1,0),半径r=2,C到直线l的距离d=,|AB|=2
=2=.由S△ABC=,得××=,
整理得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2或m=±.
2
[例3] 求过点P(1,1)且与圆C:x2+y2-8y+14=0相切的直线方程.
题型(三) 圆的切线问题
解:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=2,则圆心C的坐标为(0,4),半径r=.设过点P的直线为l,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l不与圆C相切.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1),由直线l与圆C相切,得=,解得k=7或k=-1,所以切线的方程为7x-y-6=0或x+y-2=0.综上所述,切线的方程为7x-y-6=0或x+y-2=0.
[变式拓展]
1.若本例中条件不变,求过点P的圆C的切线长.
解:因为|PC|==,所以过点P的圆C的切线长为=2.
2.将本例中的条件“P(1,1)”改为“P(1,3)”,其他条件不变,如何解答
解:将P(1,3)代入圆C:x2+(y-4)2=2,可知点P位于圆C上,所以kPC=-1,故切线的斜率为1,所以过点P的圆的切线方程为y-3=x-1,即x-y+2=0.
3.将本例中的条件“P(1,1)”改为“P(,1)”,其他条件不变,如何解答
解:易知C(0,4),半径r=.
设过点P的直线为l,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,此时直线l与圆C相切.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-),
由直线l与圆C相切,得=,解得k=-,
所以直线l的方程为7x+12y-26=0.
综上所述,切线的方程为7x+12y-26=0或x=.
过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
|思|维|建|模|
几何法 设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程
代数法 设出切线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有
一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程
[提醒] 过一点求圆的切线方程时,若点在圆上,则切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条.
5.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 ( )
A.y=1 B.4x-3y-5=0
C.y=1或3x-4y-5=0 D.y=1或4x-3y-5=0
针对训练
√
解析:由题意可设切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,
∴圆心到直线l的距离d==1,解得k=0或k=,
∴切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
6.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,过点A(-2,-1)向圆C作切线,切点为B,则|AB|= ( )
A. B. C. D.3
√
解析:圆(x-1)2+(y+2)2=4的圆心C(1,-2),半径r=2,又A(-2,-1),
则|AC|==,则|AB|=
==.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
1.直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能
解析:圆C的圆心坐标为(1,0),半径为2,直线l的方程为x-y+1=0,
圆心到直线l的距离为=<2,所以直线l与圆C的位置关系是相交.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-5,15) B.(-∞,-5)∪(15,+∞)
C.(-∞,4)∪(13,+∞) D.(4,13)
√
解析:圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2,由题意,
圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,∴m<-5或m>15.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.圆心为(3,0)且与直线x+y=0相切的圆的方程为( )
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
√
解析:由题意知所求圆的半径r==,故所求圆的方程为(x-3)2+y2=3.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-31
√
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为(1,-2).
设圆心到直线的距离为d,则d==0,
因此弦长6就是直径2r,∴r=3.∴r2=5-m=9 m=-4,故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.已知圆C与直线x+y+3=0相切,直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-2y=2 B.x2+y2+2y=2
C.x2+y2-2y=1 D.x2+y2+2y=1
√
解析:在直线mx+y+1=0的方程中,令x=0,则y=-1,则直线mx+y+1=0过定点(0,-1).由于直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则点(0,-1)是圆C的圆心,又圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的半径r==.因此,圆C的方程为x2+(y+1)2=2,即x2+y2+2y=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y-2)2=5,下列结论正确的是 ( )
A.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为2x+y-5=0
B.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为x-2y=0
C.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则|AB|=2
D.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则|AB|=
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:点P(2,1)到圆M:(x-4)2+(y-2)2=5的圆心(4,2)的距离为
=,刚好等于圆的半径,所以点P在圆上.显然斜率不存在时不满足题意,则设过点P的切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.根据圆心到切线的距离等于半径及点到直线的距离公式得=,即=,两边平方,解得k=-2,所以切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0,A正确,B错误.对于直线l:y=x,圆心(4,2)到直线y=x的距离d===.根据弦长公式|AB|=2, 得|AB|=
2=2=2,C正确,D错误.故选AC.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= ( )
A.1 B. C. D.
√
解析:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,因为|PC|==2,则|PA|==,可得sin∠APC==,
cos∠APC==,则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××
=,cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0,即∠APB为钝角,所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8. (5分)已知直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为 .
x-y+5=0
解析:由圆的方程可得,圆心为P(-1,2),所以kPC==-1,故直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9. (5分)若直线l:kx+y+1=0与圆x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的取值范围是_____________.
解析:将直线kx+y+1=0化简为点斜式,可得y=-kx-1,∴直线经过定点(0,-1),且斜率为-k.∵ 直线l和圆C:x2+y2=r2恒有公共点,∴r≥1,即半径r的取值范围是[1,+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10. (5分)已知圆M的圆心为M(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切,则圆M的面积为________.
32π
解析:因为圆M与直线x-7y+2=0相切,所以点M(3,-5)到直线x-7y+2=0的距离即为圆M的半径,所以r===4,圆M的面积为π×(4)2=32π.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11. (5分)写出过点(3,1),且与x轴和直线y=x都相切的一个圆的方程
_________________________________________________________.
+(y-2)2=4
解析:设圆心为C,原点为O,易知直线y=x与x轴交于点O,因为圆与直线y=x
及x轴都相切,直线y=x的倾斜角为60°,且圆过点(3,1),所以∠COx=30°,
OC所在直线方程为y=x.设圆心坐标为(a,a),由题意可得
+(a-1)2=a2,化简可得3a2-20a+28=0,解得a=2或a=.当a=2时,圆心坐标为(2,2),半径为2,故圆的方程为+(y-2)2=4;当a=时,圆心坐标为,
半径为,故圆的方程为+=.故满足题意的圆的方程为
+(y-2)2=4或+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.(10分)已知圆C的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),B(1,2).
(1)求线段AB的垂直平分线方程;(3分)
解:设AB的中点为D,则D(0,1),kAB==1,由圆的性质,得CD⊥AB,
所以kCD×kAB=-1,得kCD=-1.所以线段AB的垂直平分线的方程是
y=-x+1,即x+y-1=0.
(2)求圆C的标准方程;(3分)
解:设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),半径为r(r>0).
由圆的性质,圆心C(a,0)在直线CD上,化简得a=1,则圆心C(1,0),
r=|CA|=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(3)已知直线l:y=kx+1与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2,求直线l的方程.(4分)
解:设F为MN中点,则CF⊥l,|FM|=|FN|=.设圆心C到直线l的距离d=|CF|==,则d==,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1,
即x-y+1=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)已知圆O的圆心为原点,斜率为1且过点M(,3)的直线与圆相切.
(1)求圆O的方程;(4分)
解:过点M(,3)且斜率为1的直线为y=x+2,则圆心(0,0)到直线的距离d1==2,
所以半径r=2,则圆O的方程为x2+y2=4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解:设O到直线l的距离为d,则S△OAB=d=2,解得d=.
若直线l斜率不存在,方程为x=,满足题意;
若直线l斜率存在,设为k,直线l的方程为y=k(x-)+3,
因为d=,所以=,解得k=,直线l的方程
为y=(x-)+3,即y=x+;综上,直线l的方程为x=或y=x+.
(2)过M的直线l交圆O于A,B,若△OAB的面积为2,求直线l的方程.(6分)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(15分)圆心在直线x+2y=0上的圆C与y轴的负半轴相切,圆C截x轴所得弦长为2.
(1)求圆C的标准方程;(4分)
解:因为圆C的圆心在直线x+2y=0上,所以可设圆心C(-2n,n).
因为圆C与y轴的负半轴相切,所以n<0,半径r=-2n,
又圆C截x轴所得弦长为2,所以=,解得n=-1,
所以圆C的圆心C(2,-1),半径r=2,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)过点P(4,-2)作圆C的切线l,求切线l的方程;(5分)
解:由(1)可知圆C的圆心C(2,-1),半径r=2,
因为l与圆C相切,所以圆心C(2,-1)到直线l的距离d=r=2,
当直线l的斜率不存在时,l:x=4,此时圆心C(2,-1)到直线l的距离d=2符合题意;
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则l:y+2=k(x-4),即kx-y-4k-2=0,
此时圆心C(2,-1)到直线l的距离d==2,解得k=,
此时l的方程为3x-4y-20=0.
综上,切线l的方程为x-4=0或3x-4y-20=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(3)若圆C上恰好有3个点到直线l':x+y+m=0的距离为1,求m的值.(6分)
解:如图,因为圆C上恰好有3个点到直线l':x+y+m=0的距离为1,
所以直线l'分割圆C为一段优弧和一段劣弧,
在劣弧上有且仅有一个点到直线l'的距离为1,且该点为劣弧的中点,所以圆心C(2,-1)到直线l':x+y+m=0的距离为1,
即=1,解得m=-1或m=--1.故m的值为
-1或--1.课时检测（二十五） 直线与圆的位置关系
1.直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
2.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-5,15) B.(-∞,-5)∪(15,+∞)
C.(-∞,4)∪(13,+∞) D.(4,13)
3.圆心为(3,0)且与直线x+y=0相切的圆的方程为 ( )
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
4.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.-2
C.-4 D.-31
5.已知圆C与直线x+y+3=0相切,直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-2y=2 B.x2+y2+2y=2
C.x2+y2-2y=1 D.x2+y2+2y=1
6.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y-2)2=5,下列结论正确的是 ( )
A.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为2x+y-5=0
B.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为x-2y=0
C.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则|AB|=2
D.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则|AB|=
7.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= ( )
A.1 B.
C. D.
8.(5分)已知直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为 .
9.(5分)若直线l:kx+y+1=0与圆x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的取值范围是 .
10.(5分)已知圆M的圆心为M(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切,则圆M的面积为 .
11.(5分)写出过点(3,1),且与x轴和直线y=x都相切的一个圆的方程 .
12.(10分)已知圆C的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),B(1,2).
(1)求线段AB的垂直平分线方程;(3分)
(2)求圆C的标准方程;(3分)
(3)已知直线l:y=kx+1与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2,求直线l的方程.(4分)
13.(10分)已知圆O的圆心为原点,斜率为1且过点M(,3)的直线与圆相切.
(1)求圆O的方程;(4分)
(2)过M的直线l交圆O于A,B,若△OAB的面积为2,求直线l的方程.(6分)
14.(15分)圆心在直线x+2y=0上的圆C与y轴的负半轴相切,圆C截x轴所得弦长为2.
(1)求圆C的标准方程;(4分)
(2)过点P(4,-2)作圆C的切线l,求切线l的方程;(5分)
(3)若圆C上恰好有3个点到直线l':x+y+m=0的距离为1,求m的值.(6分)
课时检测(二十五)
1．选A 圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为2，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心到直线l的距离为＝<2，所以直线l与圆C的位置关系是相交．
2．选B 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，∴m<－5或m>15.故选B.
3．选B 由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3.故选B.
4．选C 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，∴圆心为(1，－2)．
设圆心到直线的距离为d，则d＝＝0，
因此弦长6就是直径2r，∴r＝3.∴r2＝5－m＝9 m＝－4，故选C.
5．选D 在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，则y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)．由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点(0，－1)是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝＝.因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.
6．选AC 点P(2,1)到圆M：(x－4)2＋(y－2)2＝5的圆心(4,2)的距离为＝，刚好等于圆的半径，所以点P在圆上．显然斜率不存在时不满足题意，则设过点P的切线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.根据圆心到切线的距离等于半径及点到直线的距离公式得＝，即＝，两边平方，解得k＝－2，所以切线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0，A正确，B错误．对于直线l：y＝x，圆心(4,2)到直线y＝x的距离d＝＝＝.根据弦长公式|AB|＝2， 得|AB|＝2＝2＝2，C正确，D错误．故选AC.
7．选B 圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－＜0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.
8．解析：由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
答案：x－y＋5＝0
9．解析：将直线kx＋y＋1＝0化简为点斜式，可得y＝－kx－1，∴直线经过定点(0，－1)，且斜率为－k.∵ 直线l和圆C：x2＋y2＝r2恒有公共点，∴r≥1，即半径r的取值范围是[1，＋∞)．
答案：
10．解析：因为圆M与直线x－7y＋2＝0相切，所以点M(3，－5)到直线x－7y＋2＝0的距离即为圆M的半径，所以r＝＝＝4，圆M的面积为π×(4)2＝32π.
答案：32π
11．解析：设圆心为C，原点为O，易知直线y＝x与x轴交于点O，因为圆与直线y＝x及x轴都相切，直线y＝x的倾斜角为60°，且圆过点(3，1)，所以∠COx＝30°，OC所在直线方程为y＝x.设圆心坐标为(a，a)，由题意可得(a－3)2＋(a－1)2＝a2，化简可得3a2－20a＋28＝0，解得a＝2或a＝.当a＝2时，圆心坐标为(2，2)，半径为2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4；当a＝时，圆心坐标为，半径为，故圆的方程为2＋2＝.故满足题意的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或2＋2＝.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝4
12．解：(1)设AB的中点为D，则D(0,1)，kAB＝＝1，由圆的性质，得CD⊥AB，所以kCD×kAB＝－1，得kCD＝－1.所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，其中C(a,0)，半径为r(r>0)．
由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得a＝1，则圆心C(1,0)，r＝|CA|＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(3)设F为MN中点，则CF⊥l，|FM|＝|FN|＝.设圆心C到直线l的距离d＝|CF|＝＝，则d＝＝，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
13．解：(1)过点M(，3)且斜率为1的直线为y＝x＋2，则圆心(0,0)到直线的距离d1＝＝2，所以半径r＝2，则圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)设O到直线l的距离为d，则S△OAB＝d＝2，解得d＝.
若直线l斜率不存在，方程为x＝，满足题意；
若直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为y＝k(x－)＋3，
因为d＝，所以＝，解得k＝，直线l的方程为y＝(x－)＋3，即y＝x＋；综上，直线l的方程为x＝或y＝x＋.
14．解：(1)因为圆C的圆心在直线x＋2y＝0上，所以可设圆心C(－2n，n)．
因为圆C与y轴的负半轴相切，所以n<0，半径r＝－2n，
又圆C截x轴所得弦长为2，所以＝，解得n＝－1，
所以圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(2)由(1)可知圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝2，
因为l与圆C相切，所以圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝r＝2，
当直线l的斜率不存在时，l：x＝4，此时圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝2符合题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y＋2＝k(x－4)，即kx－y－4k－2＝0，
此时圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝2，解得k＝，
此时l的方程为3x－4y－20＝0.
综上，切线l的方程为x－4＝0或3x－4y－20＝0.
(3)如图，因为圆C上恰好有3个点到直线l′：x＋y＋m＝0的距离为1，
所以直线l′分割圆C为一段优弧和一段劣弧，
在劣弧上有且仅有一个点到直线l′的距离为1，且该点为劣弧的中点，所以圆心C(2，－1)到直线l′：x＋y＋m＝0的距离为1，
即＝1，解得m＝－1或m＝－－1.故m的值为－1或－－1.
