第2课时 直线与圆的方程的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题;2.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法.
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
[例1] 一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,船速为10 km/h,这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为 ( )
A.1 h B.2 h C.3 h D.4 h
听课记录:
|思|维|建|模|
建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程),建立平面直角坐标系;
(2)根据题意写出直线与圆的方程;
(3)根据直线与圆的位置关系,采用几何法计算相关长度,完成问题的求解.
[针对训练]
1.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过 ( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为 h.
题型(二) 与圆有关的最值问题
题点1 过圆内一点的最长弦、最短弦
[例2] 在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短弦的长度为 ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
听课记录:
|思|维|建|模|
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程,判断点是在圆内还是在圆外;
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,此时直线过圆心;最短弦与圆心和该点的连线垂直.
最长弦长为直径,可直接得出,最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)ax+by型的最大值转化为直线ax+by=c的截距的最大值;
(2)型的最大值和最小值转化为过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值和最小值;
(3)(x-a)2+(y-b)2型的最大值和最小值转化为(x,y)和(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,
若四边形PACB的最小面积是2,则k= .
听课记录:
|思|维|建|模|
设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,
(1)当直线与圆相离时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r,如图①;
(2)当直线与圆相切时(d=r),圆上一点到直线的距离的最大值为2r,最小值为0,如图②;
(3)当直线与圆相交时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为0,劣弧上的点到直线的距离的最大值为r-d,如图③.
[针对训练]
3.从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.0
4.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是 ( )
A.的最大值为 B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+10 D.x+y的最大值为3+
5.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为 .
第2课时 直线与圆的方程的应用
[题型(一)]
[例1] 选B 如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，所以A(40,0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB：＋＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0，因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为|OO′|＝＝24，所以|MN|＝2＝20，所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为＝2 h.
[针对训练]
1.选B 由题意，以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系，易知半圆的方程为x2＋y2＝12.96(y≥0)，令x＝0.8，解得y≈3.5.
2．解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得|MN|＝2＝20，所以城市B处于危险区的时间为＝1 h.
答案：1
[题型(二)]
[例2] 选B 由x2＋y2－2x－2y－1＝0，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，如图，图中AB⊥MO，|MB|＝，|MO|＝，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，|AB|＝2＝2＝2.故选B.
[例3] 解：(1)方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即kx－y＝0，当直线kx－y＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当x－y＋b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
[例4] 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r|PB|min＝|PB|min，则|PB|min＝2，因为|PB|＝＝，所以当|PC|取最小值时，|PB|最小．又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0，1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.
答案：2
[针对训练]
3．选B x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝，即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短．
4．选ABD 将方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为标准方程可得(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(2,1)，半径为r＝1.对于A、B，设＝k，可得y＝kx，则直线y＝kx与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1有公共点，所以≤1，整理可得3k2－4k≤0，解得0≤k≤，A、B正确；对于C，代数式x2＋y2的几何意义为圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的点P(x，y)到原点的距离的平方，如图所示，
由图可知，当点P为射线OC与圆C的交点时，|OP|取最大值，即|OP|max＝|OC|＋r＝＋1＝＋1，故x2＋y2的最大值为(＋1)2＝6＋2，C错误；对于D，设x＋y＝t，则直线x＋y－t＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1有公共点，所以≤1，解得3－≤t≤3＋，所以x＋y的最大值为3＋，D正确．故选ABD.
5．解析：根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0，2)，AO所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1.
答案：1(共38张PPT)
直线与圆的方程的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.
2.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
题型(二) 与圆有关的最值问题
课时跟踪检测
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
01
[例1] 一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,船速为10 km/h,这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为 ( )
A.1 h B.2 h C.3 h D.4 h
解析:如图,根据题意以海监船的位置为坐标原点,其正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,所以A(40,0),
B(0,30),圆O:x2+y2=676,记从N处开始被监测,到M处监测结束,所以lAB:+=1,即lAB:3x+4y-120=0,因为O到lAB:3x+4y-120=0的距离为|OO'|==24,所以|MN|=2=20,所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为=2 h.
√
建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程),建立平面直角坐标系;
(2)根据题意写出直线与圆的方程;
(3)根据直线与圆的位置关系,采用几何法计算相关长度,完成问题的求解.
|思|维|建|模|
针对训练
1.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过 ( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
解析:由题意,以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系,易知半圆的方程为x2+y2=12.96(y≥0),令x=0.8,解得y≈3.5.
√
2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为______ h.
解析:如图,以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内时城市B处于危险区,即B处于危险区时,台风中心在线段MN上,由题意知,台风路径用方程表示为y=x,则圆心B(40,0)到直线
y=x的距离d==20,可求得|MN|=2=20,所以城市B处于
危险区的时间为=1 h.
1
题型(二) 与圆有关的最值问题
02
题点1 过圆内一点的最长弦、最短弦
[例2] 在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短弦的长度为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
解析:由x2+y2-2x-2y-1=0,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2
=3,如图,图中AB⊥MO,|MB|=,|MO|=,M为圆x2
+y2-2x-2y-1=0的圆心,A,B为直线AB与圆的交点,
易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦,
|AB|=2=2=2.故选B.
√
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程,判断点是在圆内还是在圆外;
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,此时直线过圆心;最短弦与圆心和该点的连线垂直.
最长弦长为直径,可直接得出,最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.
|思|维|建|模|
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求的最大值和最小值;
解:方程表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆,设=k,即kx-y=0,
当直线kx-y=0与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值,此时=,解得k=±.故的最大值为,最小值为-.
(2)求y-x的最大值和最小值;
解:设y-x=b,即x-y+b=0,
当x-y+b=0与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时=,即b=-2±.
故y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
解:x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,
由平面几何知识知,它在过原点和圆心的
直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,
又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+)2
=7+4,(x2+y2)min=(2-)2=7-4.
(1)ax+by型的最大值转化为直线ax+by=c的截距的最大值;
(2)型的最大值和最小值转化为过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值和最小值;
(3)(x-a)2+(y-b)2型的最大值和最小值转化为(x,y)和(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.
|思|维|建|模|
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k= .
解析:圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1,
由圆的性质可知,四边形PACB的面积S=2S△PBC,又四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值
S=1=r|PB|min=|PB|min,则|PB|min=2,
因为|PB|==,所以当|PC|取最小值时,|PB|最小.又点P(x,y)是直线kx+y+4=0上的动点,当CP垂直于直线kx+y+4=0时,|PC|最小,即为圆心C(0,1)到直线的距离,所以==,解得k=±2,因为k>0,所以k=2.
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设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,
(1)当直线与圆相离时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r,如图①;
(2)当直线与圆相切时(d=r),圆上一点到直线的距离的最大值为2r,最小值为0,如图②;
(3)当直线与圆相交时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为0,劣弧上的点到直线的距离的最大值为r-d,如图③.
|思|维|建|模|
3.从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,
m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.0
针对训练
√
解析:x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1,圆心C(m,1),半径为1,切线长最短时,|CP|最小,|CP|=,
即当m=1时,|CP|最小,切线长最短.
4.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是 ( )
A.的最大值为 B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+10 D.x+y的最大值为3+
解析:将方程x2+y2-4x-2y+4=0化为标准方程可得(x-2)2+(y-1)2=1,圆(x-2)2
+(y-1)2=1的圆心为C(2,1),半径为r=1.对于A、B,设=k,可得y=kx,则直线y=kx与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点,所以≤1,整理可得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,A、B正确;
√
√
√
对于C,代数式x2+y2的几何意义为圆(x-2)2+(y-1)2
=1上的点P(x,y)到原点的距离的平方,如图所示,由图可知,当点P为射线OC与圆C的交点时,
|OP|取最大值,即|OP|max=|OC|+r=+1
=+1,故x2+y2的最大值为(+1)2=6+2,C错误;
对于D,设x+y=t,则直线x+y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点,
所以≤1,解得3-≤t≤3+,所以x+y的最大值为3+,D正确.
故选ABD.
5.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为 .
解析:根据题意,得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3,-1),半径r=2,O(0,0),A(0,2),AO所在的直线是y轴,
当M到直线AO的距离最小时,△OAM的面积最小,
则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1,
则△OAM的面积最小值S=×|OA|×d=1.
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1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是 ( )
A.x2+y2=25
B.x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立直角坐标系的变化而变化
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2.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是 ( )
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
解析:x2+y2=4,圆心(0,0),半径r=2,圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5,所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,最大值为5+2=7,所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7].
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3.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx-k+1,若l与C交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( )
A. B.2 C.2 D.2
解析:直线l:y=k(x-1)+1过定点P(1,1),圆C:x2+y2=4的圆心C(0,0),半径r=2,|PC|=<2,即点P(1,1)在圆C内,当且仅当PC⊥l时,
|AB|最短,所以|AB|的最小值为2=2,故选C.
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4.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为时,r的值为( )
A.2 B. C. D.1
解析:如图,由题意得|PM|2=|PC|2-r2,
当PC⊥l时,|PC|最小,则|PM|最小.
因为|PC|min=d==2,
所以()2=22-r2,解得r=1.
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5.(多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3
解析:由题意知直线AB:+=1,即x+2y-4=0,圆心(5,5)到直线x+2y-4=0的距离d==.因为+4<10,所以A项正确.因为-4<2,所以B项错误.
√
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当直线PB与圆相切时,∠PBA取得最值.如图,当切点在点P的位置时,∠PBA最小,此时圆心(5,5)到点B的距离为
=,则|PB|==3;当切点在点P'的位置时,∠PBA最大,同理可得|PB|=3.所以C、D项正确.故选ACD.
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6.若圆(x+1)2+(y-2)2=8关于直线2ax+by+6=0对称,则由点M(a,b)向圆所作的切线长的最小值为 ( )
A. B.3 C. D.2
解析:由圆(x+1)2+(y-2)2=8关于直线2ax+by+6=0对称,得圆心(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,可得b=a-3,点M(a,b)到圆心的距离为,则由点M(a,b)向圆所作的切线长为=,当a=2时,所求的切线长取得最小值为.
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7.(多选)已知△ABC的三个角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,a=2,c=b,设BC的中点为O,则下列说法正确的是( )
A.△AOC不可能是等腰三角形 B.cos∠AOC的最小值为
C.△ABC面积的最大值为2 D.△ABC周长的最小值为4
解析:如图,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,设点A,B,C的坐标分别为(x,y),(-1,0),(1,0).由c=b得点A的轨迹为☉E:(x-3)2
+y2=8(y≠0).对于A,当点A在☉E上运动时,b∈(2-2,2+2),存在点A使得b=1,即△AOC为等腰三角形,故A错误;对于B,当直线OA与☉E相切时, ∠AOC取到最大值,易得对应的cos∠AOC=,
故B正确;对于C,当AE⊥x轴时,△ABC的面积取到最大值,最大值为2,故C正确;
对于D,△ABC的周长为a+b+c=2+(+1)b∈(4,8+4),所以△ABC周长的最小值不存在,故D错误.故选BC.
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8. (5分)设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,
村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是______.
-2
解析:从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2,-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2,即-2=-2.
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9. (5分)圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为 .
解析:由题设,圆心坐标为(0,0),半径为4,∴圆心到直线x-y=3的距离为=,∴圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为4+.
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10. (5分)已知点P(x,y)是直线l:kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-4y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为_____.
解析:由题意可知,圆心C(0,2),半径r=2.如图所示,
S四边形PACB=2S△PAC=2×|PA|×|AC|=2|PA|=
2=2,所以当|PC|最小时,
四边形PACB的面积取最小值.而|PC|的最小值即
点C到直线l的距离d,又d==,
所以2=2,解得d=.即=,解得k=±2.所以k的值为±2.
±2
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11. (5分)在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为______________.
(x-1)2+y2=2
解析:∵直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),∴圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==,∴半径最大为,∴半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
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12. (5分)(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是____________.
解析:由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3).
所以kA'B=.所以直线A'B的方程为y=x+a,即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以≤1,整理得6a2-11a+3≤0,
解得≤a≤.所以实数a的取值范围是.
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13.(10分)某圆拱桥的水面跨度16 m,拱高4 m,现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,问这条船能否通过
解:以水面作为x轴建立平面直角坐标系如图,且B(-8,0),C(8,0),E(-5,0),F(5,0),令圆拱的半径为r,则r2-(r-4)2=64,可得r=10,故圆心为
(0,-6),所以圆拱所在圆为x2+(y+6)2=100,当x=5时,y=±5-6,如图,要使宽10 m,水面以上高3 m的船能通过,只需y=5-6≥3即可,
则5≥9,即75≥81,显然不成立,故这条船不能通过.
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14.(10分)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;(5分)
解:由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2,又|QC|= =4,
∴|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.(5分)
解:由题意可知表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.由直线MQ与圆C有交点,得≤2,
可得2-≤k≤2+,∴的最大值为2+,最小值为2-.
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15.(15分)如图,已知A(6,6),B(0,0),C(12,0),
直线l:(k+)x-y-2k=0.
(1)证明直线l经过某一定点,并求此定点坐标;(6分)
解:证明:由l:(k+)x-y-2k=0,整理得(x-2)k+x-y=0,
由解得即直线l经过定点D(2,2).
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(2)若直线l等分△ABC的面积,求直线l的一般式方程.(9分)
解:如图,因为A(6,6),B(0,0),C(12,0),D(2,2),可得|AB|=
|BC|=|CA|=12,
即△ABC为正三角形.又由=,可知点D为AB的三等分点(靠近点B),则|AD|=×12=8.由题意,直线l必与边CA相交,设交点为E(否则若与边BC相交于点E,则S△BDE≤S△ABC,不合题意).
依题意,由S△ADE=S△ABC,可得×|AD|×|AE|sin 60°=××|BC|2,解得|AE|=9,
则|CE|=3.设点E(a,b),
由=,可得(a-12,b)=(-6,6),解得a=,b=,即E,
于是,kDE==-,故直线l的方程为y-2=-(x-2),即l:x+17y-36=0.课时检测（二十六） 直线与圆的方程的应用
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是 ( )
A.x2+y2=25
B.x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立直角坐标系的变化而变化
2.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是 ( )
A.[3,7] B.[1,9]
C.[0,5] D.[0,3]
3.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx-k+1,若l与C交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( )
A. B.2
C.2 D.2
4.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为时,r的值为 ( )
A.2 B.
C. D.1
5.(多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
6.若圆(x+1)2+(y-2)2=8关于直线2ax+by+6=0对称,则由点M(a,b)向圆所作的切线长的最小值为 ( )
A. B.3 C. D.2
7.(多选)已知△ABC的三个角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,a=2,c=b,设BC的中点为O,则下列说法正确的是 ( )
A.△AOC不可能是等腰三角形
B.cos∠AOC的最小值为
C.△ABC面积的最大值为2
D.△ABC周长的最小值为4
8.(5分)设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,
则从村庄外围到小路的最短距离是 .
9.(5分)圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为 .
10.(5分)已知点P(x,y)是直线l:kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-4y=0的两条切线,A,B是切点,
若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为 .
11.(5分)在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
12.(5分)(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
13.(10分)某圆拱桥的水面跨度16 m,拱高4 m,现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,问这条船能否通过
14.(10分)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;(5分)
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.(5分)
15.(15分)如图,已知A(6,6),B(0,0),C(12,0),直线l:(k+)x-y-2k=0.
(1)证明直线l经过某一定点,并求此定点坐标;(6分)
(2)若直线l等分△ABC的面积,求直线l的一般式方程.(9分)
课时检测(二十六)
1．D
2．选A x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7]．
3．选C 直线l：y＝k(x－1)＋1过定点P(1,1)，圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径r＝2，|PC|＝<2，即点P(1,1)在圆C内，当且仅当PC⊥l时，|AB|最短，所以|AB|的最小值为2＝2，故选C.
4.选D 如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小．因为|PC|min＝d＝＝2，所以()2＝22－r2，解得r＝1.
5．选ACD 由题意知直线AB：＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)到点B的距离为＝，则|PB|＝＝3；当切点在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝3.所以C、D项正确．故选ACD.
6．选A 由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为.
7.选BC 如图，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设点A，B，C的坐标分别为(x，y)，(－1,0)，(1,0)．由c＝b得点A的轨迹为⊙E：(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．对于A，当点A在⊙E上运动时，b∈(2－2，2＋2)，存在点A使得b＝1，即△AOC为等腰三角形，故A错误；对于B，当直线OA与⊙E相切时，∠AOC取到最大值，易得对应的cos∠AOC＝，故B正确；对于C，当AE⊥x轴时，△ABC的面积取到最大值，最大值为2，故C正确；对于D，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋(＋1)b∈(4,8＋4)，所以△ABC周长的最小值不存在，故D错误．故选BC.
8．解析：从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
答案：－2
9．解析：由题设，圆心坐标为(0,0)，半径为4，∴圆心到直线x－y＝3的距离为＝，∴圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
答案：4＋
10．解析：由题意可知，圆心C(0,2)，半径r＝2.如图所示，S四边形PACB＝2S△PAC＝2×|PA|×|AC|＝2|PA|＝2＝2，所以当|PC|最小时，四边形PACB的面积取最小值．而|PC|的最小值即点C到直线l的距离d，又d＝＝，所以2＝2，解得d＝.即＝，解得k＝±2.所以k的值为±2.
答案：±2
11．解析：∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，∴半径最大为，∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
12．解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)．所以kA′B＝.所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.所以实数a的取值范围是.
答案：
13．解：以水面作为x轴建立平面直角坐标系如图，且B(－8,0)，C(8，0)，E(－5，0)，F(5,0)，令圆拱的半径为r，则r2－(r－4)2＝64，可得r＝10，故圆心为(0，－6)，所以圆拱所在圆为x2＋(y＋6)2＝100，当x＝5时，y＝±5－6，如图，要使宽10 m，水面以上高3 m的船能通过，只需y＝5－6≥3即可，则5≥9，即75≥81，显然不成立，故这条船不能通过．
14．解：(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，又|QC|＝ ＝4，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.由直线MQ与圆C有交点，得≤2，可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
15．解：(1)证明：由l：(k＋)x－y－2k＝0，整理得(x－2)k＋x－y＝0，
由解得即直线l经过定点D(2,2)．
(2)如图，因为A(6,6)，B(0，0)，C(12,0)，D(2，2)，可得|AB|＝|BC|＝|CA|＝12，
即△ABC为正三角形．又由＝，可知点D为AB的三等分点(靠近点B)，则|AD|＝×12＝8.由题意，直线l必与边CA相交，设交点为E(否则若与边BC相交于点E，则S△BDE≤S△ABC，不合题意)．
依题意，由S△ADE＝S△ABC，可得×|AD|×|AE|sin 60°＝××|BC|2，
解得|AE|＝9，则|CE|＝3.设点E(a，b)，
由＝，可得(a－12，b)＝(－6，6)，解得a＝，b＝，即E，
于是，kDE＝＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即l：x＋17y－36＝0.
