专题微课 对称问题及应用
直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础,是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用,在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对此部分内容没有系统编排,本课时对其进行了适当的归纳总结.
题型(一) 几类常见的对称问题
[例1] 已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
听课记录:
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1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称,主要求解方法
若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称,主要求解方法
①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,
则可得(其中B≠0,x1≠x2).
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
[针对训练]
1.点(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标是 ( )
A.(-1,-4) B.(3,-2)
C.(0,4) D.(-1,6)
2.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 ( )
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0
3.若直线y=ax+2与y=3x-6关于直线y=x对称,则实数a= .
题型(二) 光的反射问题
[例2] 已知光线从点A(-2,4)射出,经直线l:2x-y-7=0反射,反射光线过点B(5,8).求:
(1)反射光线所在直线的方程;
(2)光线从点A到点B经过的路程.
听课记录:
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利用对称解决光线反射问题的方法
根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示,点A,B分别为入射光线、反射光线上的点,点A,B关于l的对称点分别为A',B',则点A'在反射光线所在的直线上,点B'在入射光线所在的直线上,于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程.
[针对训练]
4.如图,已知点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 ( )
A.3 B. C.3 D.2
题型(三) 利用对称解决距离的最值问题
[例3] 已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,
(1)使||MA|-|MB||最大;
(2)使|MA|+|MB|最小.
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利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
[针对训练]
5.已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为 ( )
A. B. C. D.2
6.已知实数x,y满足x+y+1=0,则+的最小值为 ( )
A. B.2 C. D.2
专题微课 对称问题及应用
[题型(一)]
[例1] 解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以点P′的坐标为(－2,7)．
(2)解方程组得则点在所求直线上．在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上．由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7，4)．因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0.
[针对训练]
1．选B 设点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为Q(a，b)，
可得－2×－2＝0①，
斜率×＝－1②.
由①②解得a＝3，b＝－2.则点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为(3，－2)．
2．选B 设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于A(1,1)对称点为(2－x,2－y)，又因为(2－x,2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
3．解析：直线y＝3x－6过点(0，－6)，点(0，－6)关于直线y＝x对称点为(－6,0)，依题意可知点(－6，0)在直线y＝ax＋2上，所以－6a＋2＝0，解得a＝.
答案：
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)，则
解得即A′(10，－2)．∴反射光线所在直线方程为＝，即2x＋y－18＝0.
(2)设反射点为P，光线从点A到点B经过的路程为|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|＝|A′B|＝＝5.
[针对训练]
4.选B 依题意，直线AB的方程为x＋y＝2，设P关于直线AB的对称点为Q(a，b)，则解得即Q(2,1)．又P关于y轴的对称点为T(－1，0)，|QT|＝＝，光线所经过的路程即△PMN的周长，而△PMN的周长为|MP|＋|MN|＋|NP|＝|MQ|＋|MN|＋|NT|＝|QT|＝，所以光线所经过的路程是.故选B.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)若C(m，n)为B关于直线l的对称点，则BC中点在直线l上，所以
解得即C(3,3)，由|MB|＝|MC|，则||MA|－|MB||＝||MA|－|MC||≤|AC|，要使||MA|－|MB||最大，只需A，C，M共线，||MA|－|MB||max＝|AC|＝.
(2)如图，要使|MA|＋|MB|最小，只需A，B，M共线，所以(|MA|＋|MB|)min＝|AB|＝5.
[针对训练]
5．选C 设点M(1,3)关于直线x－y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)，则
解得∴M′(2,2)，又N(3，－1)，
∴||RM|－|RN||＝||RM′|－|RN||≤|M′N|＝.
6．选D ＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)
到定点A(1,1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则解得所以对称点为A′(－2，－2)，则|A′B|＝＝2，由图知＋的最小值为2，故选D.(共38张PPT)
专题微课 对称问题及应用
直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础,是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用,在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对此部分内容没有系统编排,本课时对其进行了适当的归纳总结.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 几类常见的对称问题
题型(二) 光的反射问题
题型(三) 利用对称解决距离的最值问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 几类常见的对称问题
01
[例1] 已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
解:设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的中点在直线l上,且直线PP'垂直于直线l,即解得
所以点P'的坐标为(-2,7).
(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;
解:解方程组得则点在所求直线上.在直线y=x-2
上任取一点M(2,0),
设点M关于直线l的对称点为M'(x0,y0),
则解得
点M'也在所求直线上.
由两点式得直线方程为=,化简得7x+y+22=0,即为所求直线的方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
解:在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0),
则E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1),F'(7,4).因为点E',F'在所求直线上,所以由两点式得所求直线方程为=,即3x-y-17=0.
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1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称,主要求解方法
若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称,主要求解方法
①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
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2.轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,
则可得(其中B≠0,x1≠x2).
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
针对训练
1.点(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标是 ( )
A.(-1,-4) B.(3,-2) C.(0,4) D.(-1,6)
解析:设点P(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为Q(a,b),
可得-2×-2=0①,
斜率×=-1②.
由①②解得a=3,b=-2.则点P(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为(3,-2).
√
2.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 ( )
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0
√
解析:设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),
则P(x,y)关于A(1,1)对称点为(2-x,2-y),又因为(2-x,2-y)在4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.
3.若直线y=ax+2与y=3x-6关于直线y=x对称,则实数a=_______.
解析:直线y=3x-6过点(0,-6),点(0,-6)关于直线y=x对称点为(-6,0),依题意可知点(-6,0)在直线y=ax+2上,所以-6a+2=0,解得a=.
题型(二) 光的反射问题
02
[例2] 已知光线从点A(-2,4)射出,经直线l:2x-y-7=0反射,反射光线过点B(5,8).求:
(1)反射光线所在直线的方程;
解:设点A关于l的对称点为A'(x0,y0),
则解得
即A'(10,-2).∴反射光线所在直线方程为=,即2x+y-18=0.
(2)光线从点A到点B经过的路程.
解:设反射点为P,光线从点A到点B经过的路程为|AP|+|PB|=|A'P|+|PB|=|A'B|==5.
利用对称解决光线反射问题的方法
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根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示,
点A,B分别为入射光线、反射光线上的点,点A,B关于l的对称点分别为A',B',则点A'在反射光线所在的直线上,点B'在入射光线所在的直线上,于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程.
针对训练
4.如图,已知点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线经
直线AB反射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,
则光线所经过的路程是 ( )
A.3 B. C.3 D.2
解析:依题意,直线AB的方程为x+y=2,设P关于直线AB的
对称点为Q(a,b),则解得即Q(2,1).
又P关于y轴的对称点为T(-1,0),
|QT|==,光线所经过的路程
即△PMN的周长,而△PMN的周长为|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|=,
所以光线所经过的路程是.故选B.
√
题型(三) 利用对称解决距离的最值问题
03
[例3] 已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,
(1)使||MA|-|MB||最大;
解:若C(m,n)为B关于直线l的对称点,则BC中点在直线l上,
所以解得即C(3,3),
由|MB|=|MC|,则||MA|-|MB||=||MA|-|MC||≤|AC|,
要使||MA|-|MB||最大,只需A,C,M共线,
||MA|-|MB||max=|AC|=.
(2)使|MA|+|MB|最小.
解:如图,要使|MA|+|MB|最小,只需A,B,M共线,所以(|MA|+|MB|)min=|AB|=5.
|思|维|建|模|
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
针对训练
5.已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则||RM|-|RN||的最大值为 ( )
A. B. C. D.2
√
解析:设点M(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x0,y0),
则解得∴M'(2,2),又N(3,-1),
∴||RM|-|RN||=||RM'|-|RN||≤|M'N|=.
6.已知实数x,y满足x+y+1=0,则+的最小值为( )
A. B.2 C. D.2
解析:+表示直线
x+y+1=0上一动点P(x,y)到定点A(1,1),B(2,0)的
距离之和,如图所示,设点A(1,1)关于直线x+y+1
=0的对称点为A'(x0,y0),则
解得所以对称点为A'(-2,-2),则|A'B|==2,由图知+的最小值为2,故选D.
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1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 ( )
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
解析:设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0即2x+3y-2=0.
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2.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 ( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
√
解析:在直线x-2y+1=0上任取两点,不妨取点(1,1),,这两点关于直线x=1对称的点分别为 (1,1),,两对称点所在直线的方程为 y-1=-(x-1),即 x+2y-3=0.
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3.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在的直线方程为 ( )
A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0
√
解析:设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则
解得因此反射光线所在直线过点(10,6),方程为y=x+1,
即x-2y+2=0.故选A.
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4.(多选)已知光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为 ( )
A. B.(9,-15) C.(-3,15) D.(13,2)
√
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解析:由题意知,k=tan 45°=1,设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n),则解得所以反射光线所在的直线方程为y=(x-3)
=(x-3),所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15,故选BC.
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5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出发,河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是 ( )
A.3 B. C. D.2
解析:如图,设B(4,4)关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b),
则有可得即C(3,5),
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|==2.
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6.(多选)已知点P(2,3)与直线l:x-y+2=0,下列说法正确的是 ( )
A.过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0
B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C.点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)
D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0
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解析:设所求直线方程为x-y+n=0,则2-3+n=0,解得n=1,所以过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0,故A正确;若截距都为0,即过点P(2,3)且经过坐标原点的直线为y=x,此时直线的斜率k=,但是kl=1,k·kl=≠-1,所以直线y=x与直线l不垂直,
故B错误;设点P关于直线l的对称点坐标为(a,b),则解得
所以点P关于直线l的对称点坐标为(1,4),故C正确;因为点(-2,0),
(0,2)在直线l上,点(-2,0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6),点(0,2)关于点P(2,3)
对称的点为(4,4),则过(6,6)和(4,4)的直线方程为y-4=(x-4),即x-y=0,
所以直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0,故D正确.故选ACD.
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7.不论实数a取何值时,直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为 ( )
A.x-2y-6=0 B.x-2y=0
C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0
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解析:由(2a-1)x+(-a+3)y-5=0可得a(2x-y)-x+3y-5=0,令
解得x=1,y=2,所以M(1,2).设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为
2x-y+b=0,则M(1,2)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等,所以
=,解得|b|=3,即b=3(舍去)或b=-3.故直线2x-y+3=0关于点M的
对称直线方程为2x-y-3=0.
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8.(多选)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.
如图,有一张长方形球台ABCD,|AB|=3|AD|,现从角落A沿角α的
方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan α的值可以为 ( )
A. B. C.1 D.
解析:当是图1时,A关于DC 的对称点为E,C关于AB的对称点为F,根据直线的对称性可得tan α===1;当是图2时,A关于BC 的对称点为G,C关于AD的对称点为E,根据直线的对称性可得tan α
===.故选AC.
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9. (5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(3,2)与点(1,4)重合,则折痕所在直线的一般式方程为 .
解析:∵点(3,2)与点(1,4)连线斜率k==-1,∴折痕所在直线斜率k'=1.
又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3),∴折痕所在直线方程为y-3=x-2,
即x-y+1=0.
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10. (5分)已知一条光线从点P(7,5)射入,经x轴反射后沿直线x-ay+3=0射出,则a= .
解析:点P(7,5)关于x轴对称的点为P'(7,-5),由题意可知,反射光线经过点P'(7,-5),将点P'(7,-5)的坐标代入方程x-ay+3=0,解得a=-2.
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11. (5分)已知P为直线l:2x-y+3=0上一点,点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为_____________.
解析:易知点A,B在直线的同侧,设点A(1,0)关于l的对称点为A'(x0,y0),
则解得即A'(-3,2).由题意知,点P为直线
A'B与l的交点,直线A'B的方程为y=2,故点P的坐标为.
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12.(10分)已知直线l:x+2y-1=0和点A(1,2).
(1)请写出过点A且与直线l平行的直线;(4分)
解:设过点A且与直线l平行的直线为x+2y+C=0(C≠-1),将A(1,2)代入,可得C=-5,所以直线方程为x+2y-5=0.
(2)求点A关于直线l的对称点的坐标.(6分)
解:设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),由题意可得
解得所以点A'的坐标为.
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13.(10分)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH的方程;(6分)
解:如图所示,作点P(6,4)关于x轴的对称点的坐标P'(6,-4),
则反射光线所在的直线过点P'和Q,所以kP'Q==-1,
所以直线P'Q的直线方程为y=-(x-2).
所以反射光线QH的直线方程为y=-x+2,其中x∈(-∞,2].
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(2)求△PQH的面积.(4分)
解:由(1)知H(0,2),kPQ·kQH=-1,所以PQ⊥QH,所以|QH|==2,
|PQ|==4,
所以S△PQH=×|QH||PQ|=×2×4=8.
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14.(15分)如图所示,m,n,l是三条公路,m与n是互相垂直的,它们在O点相交,l与m,n的交点分别是M,N且|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4.
货车P在公路l上.
(1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,
搬运工走的路程最少 (8分)
解:以m,n所在直线分别为y,x轴建立平面直角坐标系如图所示,则有A(2,0),B(-2,-4),M(0,4),N(-8,0),故公路l所在的直线方程为x-2y+8=0,求P在什么位置时,搬运工走的路程最少,即求|PA|+|PB|的值最小时P的位置.
设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
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则
解得∴A'(-2,8).
又P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时|PA|+|PB|取得最小值|A'B|,点P就是直线A'B与直线l的交点.
联立解得∴P(-2,3).
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(2)求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的
路程差距最多 (假设货物一次性搬运完)(7分)
解:求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多,等价于求点P的位置,使||PB|-|PA||的值最大,A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的点,
则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立,此时||PB|-|PA||取得最大值|AB|,点P即直线l与直线AB的交点.
又∵A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为y=x-2,
联立解得∴P(12,10).课时检测（二十二） 对称问题及应用
1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 ( )
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
2.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 ( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
3.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在的直线方程为 ( )
A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0
4.(多选)已知光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为 ( )
A. B.(9,-15)
C.(-3,15) D.(13,2)
5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出发,河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是 ( )
A.3 B.
C. D.2
6.(多选)已知点P(2,3)与直线l:x-y+2=0,下列说法正确的是 ( )
A.过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0
B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C.点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)
D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0
7.不论实数a取何值时,直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为 ( )
A.x-2y-6=0 B.x-2y=0
C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0
8.(多选)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.如图,有一张长方形球台ABCD,
|AB|=3|AD|,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,
若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan α的值可以为 ( )
A. B.
C.1 D.
9.(5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(3,2)与点(1,4)重合,则折痕所在直线的一般式方程为 .
10.(5分)已知一条光线从点P(7,5)射入,经x轴反射后沿直线x-ay+3=0射出,则a= .
11.(5分)已知P为直线l:2x-y+3=0上一点,点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为 .
12.(10分)已知直线l:x+2y-1=0和点A(1,2).
(1)请写出过点A且与直线l平行的直线;(4分)
(2)求点A关于直线l的对称点的坐标.(6分)
10.(10分)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH的方程;(6分)
(2)求△PQH的面积.(4分)
14.(15分)如图所示,m,n,l是三条公路,m与n是互相垂直的,它们在O点相交,l与m,n的交点分别是M,N且|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4.货车P在公路l上.
(1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,搬运工走的路程最少 (8分)
(2)求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多 (假设货物一次性搬运完)(7分)
课时检测(二十二)
1．选D 设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点(－1,2)对称的点的坐标为(－2－x,4－y)，因为点(－2－x,4－y)在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0即2x＋3y－2＝0.
2．选D 在直线x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，，这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，，两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
3．选A 设点(4,0)关于直线x＋y－10＝0的对称点为(a，b)，则解得因此反射光线所在直线过点(10,6)，方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0.故选A.
4．选BC 由题意知，k＝tan 45°＝1，设点(4,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(m，n)，则解得所以反射光线所在的直线方程为y＝(x－3)＝(x－3)，所以当x＝9时，y＝－15；当x＝－3时，y＝15，故选BC.
5.选D 如图，设B(4,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)，
则有
可得即C(3,5)，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|＝＝2.
6．选ACD 设所求直线方程为x－y＋n＝0，则2－3＋n＝0，解得n＝1，所以过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0，故A正确；若截距都为0，即过点P(2,3)且经过坐标原点的直线为y＝x，此时直线的斜率k＝，但是kl＝1，k·kl＝≠－1，所以直线y＝x与直线l不垂直，故B错误；设点P关于直线l的对称点坐标为(a，b)，则解得所以点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)，故C正确；因为点(－2,0)，(0,2)在直线l上，点(－2，0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6)，点(0,2)关于点P(2,3)对称的点为(4,4)，则过(6,6)和(4,4)的直线方程为y－4＝(x－4)，即x－y＝0，所以直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0，故D正确．故选ACD.
7．选D 由(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0可得a(2x－y)－x＋3y－5＝0，令解得x＝1，y＝2，所以M(1，2)．设直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y＋b＝0，则M(1,2)到直线2x－y＋3＝0与2x－y＋b＝0的距离相等，所以＝，解得|b|＝3，即b＝3(舍去)或b＝－3.故直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y－3＝0.
8.选AC 当是图1时，A关于DC 的对称点为E，C关于AB的对称点为F，
根据直线的对称性可得tan α＝＝＝1；当是图2时，A关于BC 的对称点为G，C关于AD的对称点为E，根据直线的对称性可得tan α＝＝＝.故选AC.
9．解析：∵点(3,2)与点(1,4)连线斜率k＝＝－1，∴折痕所在直线斜率k′＝1.又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3)，∴折痕所在直线方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
10．解析：点P(7,5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0，解得a＝－2.
答案：－2
11．解析：易知点A，B在直线的同侧，设点A(1，0)关于l的对称点为A′(x0，y0)，则解得即A′(－3,2)．由题意知，点P为直线A′B与l的交点，直线A′B的方程为y＝2，故点P的坐标为.
答案：
12．解：(1)设过点A且与直线l平行的直线为x＋2y＋C＝0(C≠－1)，将A(1,2)代入，可得C＝－5，所以直线方程为x＋2y－5＝0.
(2)设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)，由题意可得
解得所以点A′的坐标为.
13．解：(1)如图所示，作点P(6，4)关于x轴的对称点的坐标P′(6，－4)，
则反射光线所在的直线过点P′和Q，所以kP′Q＝＝－1，
所以直线P′Q的直线方程为y＝－(x－2)．
所以反射光线QH的直线方程为y＝－x＋2，其中x∈(－∞，2]．
(2)由(1)知H(0,2)，kPQ·kQH＝－1，所以PQ⊥QH，所以|QH|＝＝2，|PQ|＝＝4，
所以S△PQH＝×|QH||PQ|＝×2×4＝8.
14．解：(1)以m，n所在直线分别为y，x轴建立平面直角坐标系如图所示，
则有A(2，0)，B(－2，－4)，M(0，4)，N(－8,0)，
故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0，
求P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．
设点A关于直线l的对称点为A′(m，n),
则
解得∴A′(－2,8)．
又P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．
联立解得∴P(－2,3)．
(2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多，等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大，A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点．又∵A(2,0)，B(－2，－4)，∴直线AB的方程为y＝x－2，联立解得∴P(12,10)．
