3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆的定义及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标] 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
焦点 两个 叫做椭圆的焦点
焦距 两焦点间的 叫做椭圆的焦距,焦距的 称为半焦距
集合语言 P={M| ,2a>|F1F2|}
|微|点|助|解|
(1)对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1,F2是指不重合的两点,当F1与F2重合时,相应点的集合是圆.
(2)对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在
2.椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________ _______________
图形
焦点坐标 _______________ _______________
焦距 2c
a,b,c的关系
异同点 相同点:椭圆的大小、形状相同; 不同点:焦点位置不同,方程不同
|微|点|助|解|
(1)a,b,c(都是正数)为三边长,恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分),a是斜边长,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2(如图所示).另外,a=|OA1|=|OA2|=|A1A2|(A1,A2是图中椭圆与x轴的交点).
(2)椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”,特别注意右边不是0.
(3)判断焦点位置的方法:标准方程中含x2项的分母较大 焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大 焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4,焦距为2,则C的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为 ( )
A. B.
C.(-∞,-3) D.(2,+∞)
题型(一) 椭圆的定义
[例1] 平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
听课记录:
|思|维|建|模|
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义;
(2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
[针对训练]
1.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 ( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
2.已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当|PF1|=4时,|PF2|=8.求Q在运动过程中,
|QF1|·|QF2|的最大值.
题型(二) 求椭圆的标准方程
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26;
(2)一个焦点坐标为(0,2),且椭圆经过点(-,).
听课记录:
|思|维|建|模|
定义法就是根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
方法2 待定系数法求椭圆的标准方程
[例3] (1)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程;
(2)求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.待定系数法求椭圆的标准方程
(1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.
(2)设方程:设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时,可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
(3)寻关系:根据条件列出关于a,b,c(或A,B)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将所求得的相应值代入所设方程即可.
2.与已知椭圆共焦点的椭圆方程的设法
与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2).
[针对训练]
3.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),经过点(0,4);
(2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=;
(3)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且经过点;
(4)椭圆中c=b,且a+b=6;
(5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,).
题型(三) 椭圆标准方程的应用
[例4] (1)“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知椭圆的标准方程为+=1(m>0),并且焦距为6,则实数m的值为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
由椭圆的标准方程求基本量a,b,c时,一要看清方程是否为椭圆的标准方程,不是标准方程的先化为标准方程;二是看清椭圆焦点位置,通过焦点位置确定a2,b2的值,进而通过c2=a2-b2求得c2,开方求得a,b,c.
[针对训练]
4.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(0,1)
5.已知P为椭圆C:+=1上的动点,A(-1,0),B(1,0),且|PA|+|PB|=4,则b2= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
第1课时 椭圆的定义及其标准方程
?课前预知教材
1．距离的和等于常数 定点 距离 一半 |MF1|＋|MF2|＝2a
2.＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＝b2＋c2
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.D 3.A
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选B 当|MA|＋|MB|为定值时，若定值大于|AB|时，点M轨迹是椭圆，若定值等于|AB|，点M轨迹是线段，若定值小于|AB|，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，|MA|＋|MB|必为定值．所以pq，但q p，故p为q的必要不充分条件．
[针对训练]
1．选BC 易知a＋≥6，故选BC.
2．解：由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，由基本不等式|QF1|·|QF2|≤2＝2＝36，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝6时，等号成立，故|QF1|·|QF2|的最大值为36.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意2a＝26，a＝13，又c＝5，所以b＝ ＝＝12，
椭圆标准方程为＋＝1.
(2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2).
2a＝＋＝＋＝－＋＋＝4，a＝2，c＝2，所以b＝＝2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1.
[例3] 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9)．
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[针对训练]
3．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得c＝3，
将(0,4)代入到方程＋＝1中得b＝4，故a＝＝＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得2a＝8，即a＝4，所以b＝＝＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)易知c＝2，焦点在y轴上，
可设椭圆的标准方程为＋＝1，
将代入标准方程解得b2＝6，
则椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)因为c＝b，a2－b2＝c2，解得a＝2b，
又因为a＋b＝6，所以b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(5)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[题型(三)]
[例4] (1)选B 若方程＋＝1表示椭圆，则解得2(2)解析：因为2c＝6，所以c＝3.
①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知25－m2＝9，解得m＝4.
②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知m2－25＝9，解得m＝.综上，m＝4或m＝.
答案：4或
[针对训练]
4．选B 将椭圆方程变形为＋＝1，因为焦点在y轴上，所以>>0，解得5．选C 因为A(－1,0)，B(1,0)，可得|AB|＝2，则|PA|＋|PB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义，可得点P的轨迹表示以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2，可得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，又因为点P在椭圆C：＋＝1上，所以b2＝3.(共48张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
椭圆的定义及其标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.椭圆的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的_____________________ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
焦点 两个______叫做椭圆的焦点
焦距 两焦点间的______叫做椭圆的焦距,焦距的______称为半焦距
集合语言 P={M|________________,2a>|F1F2|}
距离的和等于常数
|MF1|+|MF2|=2a
定点
距离
一半
|微|点|助|解|
(1)对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1,F2是指不重合的两点,当F1与F2重合时,相应点的集合是圆.
(2)对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在
2.椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________
__________________
图形
焦点坐标 __________________ __________________
焦距 2c a,b,c的关系 ___________ 异同点 相同点:椭圆的大小、形状相同;不同点:焦点位置不同,方程不同 +=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a2=b2+c2
|微|点|助|解|
(1)a,b,c(都是正数)为三边长,恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分),a是斜边长,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2
(如图所示).另外,a=|OA1|=|OA2|=|A1A2|(A1,A2是图中
椭圆与x轴的交点).
(2)椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”,特别注意右边不是0.
(3)判断焦点位置的方法:标准方程中含x2项的分母较大 焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大 焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )
√
×
×
√
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4,焦距为2,则C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:由题设,知可得则b2=a2-c2=3,∴C的方程为+=1.
√
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为( )
A. B. C.(-∞,-3) D.(2,+∞)
解析:由题意可得0<3+m<2-m,解得-3√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 椭圆的定义
[例1] 平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,
q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义;
(2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
|思|维|建|模|
针对训练
1.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是( )
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
√
√
解析:易知a+≥6,故选BC.
2.已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当|PF1|=4时,
|PF2|=8.求Q在运动过程中,|QF1|·|QF2|的最大值.
解:由题意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12,由基本不等式|QF1|·|QF2|≤==36,当且仅当|QF1|=|QF2|=6时,
等号成立,故|QF1|·|QF2|的最大值为36.
题型(二) 求椭圆的标准方程
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26;
解:由题意2a=26,a=13,又c=5,所以b= ==12,
椭圆标准方程为+=1.
(2)一个焦点坐标为(0,2),且椭圆经过点(-,).
解:由题意椭圆另一焦点为(0,-2).
2a=+=+
=-++=4,a=2,c=2,
所以b==2,焦点在y轴上,椭圆标准方程为+=1.
定义法就是根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
|思|维|建|模|
方法2 待定系数法求椭圆的标准方程
[例3] (1)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程;
解:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程,
得解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程.
解:由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9).
又椭圆过点(3,),将x=3,y=代入方程得+=1,
解得λ=11或λ=-21(舍去).
故所求椭圆的标准方程为+=1.
1.待定系数法求椭圆的标准方程
(1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.
(2)设方程:设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时,
可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
(3)寻关系:根据条件列出关于a,b,c(或A,B)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将所求得的相应值代入所设方程即可.
2.与已知椭圆共焦点的椭圆方程的设法
与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2).
|思|维|建|模|
针对训练
3.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),经过点(0,4);
解:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得c=3,
将(0,4)代入到方程+=1中得b=4,故a===5,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=;
解:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得2a=8,即a=4,所以b===,所以椭圆的标准方程为+=1.
(3)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且经过点;
解:易知c=2,焦点在y轴上,
可设椭圆的标准方程为+=1,
将代入标准方程解得b2=6,
则椭圆的标准方程为+=1.
(4)椭圆中c=b,且a+b=6;
解:因为c=b,a2-b2=c2,解得a=2b,
又因为a+b=6,所以b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,).
解:由题意,椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1,知焦点F1(0,2),F2(0,-2),
设所求椭圆方程为+=1(λ>0),
将x=2,y=代入,得+=1,解得λ=8或λ=-2(舍去).
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
[例4] (1)“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型(三) 椭圆标准方程的应用
√
解析:若方程+=1表示椭圆,则
解得2的必要不充分条件.
(2)已知椭圆的标准方程为+=1(m>0),并且焦距为6,则实数m的值为____________.
4或
解析:因为2c=6,所以c=3.
①当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知25-m2=9,解得m=4.
②当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知m2-25=9,解得m=.综上,m=4或m= .
由椭圆的标准方程求基本量a,b,c时,一要看清方程是否为椭圆的标准方程,不是标准方程的先化为标准方程;二是看清椭圆焦点位置,通过焦点位置确定a2,b2的值,进而通过c2=a2-b2求得c2,开方求得a,b,c.
|思|维|建|模|
4.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 ( )
A. B. C.(1,+∞) D.(0,1)
针对训练
解析:将椭圆方程变形为+=1,因为焦点在y轴上,所以>>0,
解得√
5.已知P为椭圆C:+=1上的动点,A(-1,0),B(1,0),且|PA|+|PB|=4,则b2=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为A(-1,0),B(1,0),可得|AB|=2,则|PA|+|PB|=4>|AB|=2,
由椭圆的定义,可得点P的轨迹表示以A,B为焦点的椭圆,其中2a=4,
2c=2,可得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,又因为点P在椭圆C:+=1上,
所以b2=3.
√
课时跟踪检测
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1.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆+=1上,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1
√
解析:由题意得解得m2=9,n2=4.所以椭圆的标准方程为+=1.
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2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为( )
A.5 B.3 C. D.
解析:根据题意知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1,则有4-m2=1,解得m=±.又m>0,则m=.
√
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3.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.(3,4) B. C. D.
√
解析:∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,解得1
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4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为( )
A. B. C.1 D.
解析:在椭圆+=1中,a2=4,b2=3,则c==1,所以椭圆的右焦点为F(1,0).所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x-y=0的距离为d==.
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5.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;
丁:C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
√
解析:当甲、乙为真命题时,椭圆方程为+=1,椭圆的焦距为2c=2
=2,且焦点在y轴上,此时丙和丁都是假命题,不符合题意,因此甲和乙有
一个是假命题.当乙、丙和丁是真命题时,b==3,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此时椭圆方程为+=1,符合题意,故甲是假命题.
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6.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
A.± B.± C.± D.±
解析:∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴+=1,即y2=,则点P的纵坐标为±,故点M的纵坐标为±.
√
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7.中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为 ( )
A.8 B.2 C.4 D.4
√
解析:由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为+=1(a>b>0),易知2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,所以c==2,因此焦距2c=4.故选C.
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8. (5分)椭圆+=1的焦距是_______,焦点坐标是________________.
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(-8,0),(8,0)
解析:由椭圆方程知,椭圆焦点在x轴上,且a2=100,b2=36,所以c2=a2-b2=64,解得c=8,所以焦距2c=16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0).
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9. (5分)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是______.
解析:由椭圆4x2+ky2=4,可得x2+=1,易知>1,且-1=1,故k=2.
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10. (5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|=14,则|AB|=________.
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解析:因为a=6,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,两式相加得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=24.又|AF2|+|BF2|=14,所以|AB|=10.
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11. (5分)阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.
若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上一点,|PF1|=3|PF2|,
∠F1PF2=,C的面积为12π,则C的标准方程为________________.
+=1
解析:由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.又∠F1PF2=,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,所以4c2=a2+
a2-a2,所以a=c,b==c.又椭圆的面积为12π,所以c·cπ=12π,解得c2=7,a2=16,b2=9,所以椭圆C的标准方程为+=1.
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12.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)b=1,c=,焦点在y轴上;(2分)
解:因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,因为椭圆焦点在y轴上,所以其标准方程为+x2=1.
(2)a=10,c=6;(2分)
解:因为a=10,c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64,因为椭圆焦点位置不确定,所以其标准方程为+=1或+=1.
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(3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点;(2分)
解:由题意得P,Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=2,所以椭圆的标准方程为+=1.
(4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2,-).(4分)
解:设椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,且焦点在x轴上,因为c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),故设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由题意得解得或 (舍去).
所以椭圆的标准方程为+=1.
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13.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0,y0),且x0<0,y0=2.
(1)求x0的值;(4分)
解:由题意知点M(x0,2)在椭圆+=1上,则+=1,解得=9,
又x0<0,∴x0=-3.
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(2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(6分)
解:易知椭圆+=1的焦点在x轴上,且c2=9-4=5,故可设所求椭圆的方程为+=1(a2>5).由(1)可知点M的坐标为(-3,2),将其代入所设方程,
得+=1(a2>5),解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1.
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14.(10分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;(5分)
解:由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
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(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.(5分)
解:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,
解得y0=±.
又+=1,所以=,x0=±,
所以点P有4个,它们的坐标分别为,,,.课时检测（二十八） 椭圆的定义及其标准方程
1.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆+=1上,则椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为 ( )
A.5 B.3
C. D.
3.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 ( )
A.(3,4) B.
C. D.
4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为 ( )
A. B.
C.1 D.
5.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;丁:C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
6.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为 ( )
A.± B.±
C.± D.±
7.中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为 ( )
A.8 B.2
C.4 D.4
8.(5分)椭圆+=1的焦距是 ,焦点坐标是 .
9.(5分)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是 .
10.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|=14,则|AB|= .
11.(5分)阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上一点,|PF1|=3|PF2|,∠F1PF2=,C的面积为12π,则C的标准方程为 .
12.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)b=1,c=,焦点在y轴上;(2分)
(2)a=10,c=6;(2分)
(3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点;(2分)
(4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2,-).(4分)
13.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0,y0),且x0<0,y0=2.
(1)求x0的值;(4分)
(2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(6分)
14.(10分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;(5分)
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.(5分)
课时检测(二十八)
1．选B 由题意得解得m2＝9，n2＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2．选D 根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±.又m＞0，则m＝.
3．选D ∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴4－m>0，m－3>0且m－3>4－m，解得4．选B 在椭圆＋＝1中，a2＝4，b2＝3，则c＝＝1，所以椭圆的右焦点为F(1，0)．所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝.
5．选A 当甲、乙为真命题时，椭圆方程为＋＝1，椭圆的焦距为2c＝2＝2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙、丙和丁是真命题时，b＝＝3,2c＝6，∴a2＝b2＋c2＝9＋9＝18，此时椭圆方程为＋＝1，符合题意，故甲是假命题．
6．选D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±.
7．选C 由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，易知2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝＝2，因此焦距2c＝4.故选C.
8．解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．
答案：16 (－8,0)，(8,0)
9．解析：由椭圆4x2＋ky2＝4，可得x2＋＝1，易知>1，且－1＝1，故k＝2.
答案：2
10．解析：因为a＝6，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝24.又|AF2|＋|BF2|＝14，所以|AB|＝10.
答案：10
11．解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.又∠F1PF2＝，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，所以4c2＝a2＋a2－a2，所以a＝c，b＝＝c.又椭圆的面积为12π，所以c·cπ＝12π，解得c2＝7，a2＝16，b2＝9，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16，因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1.
(2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上，因为c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得
解得或 (舍去)．
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13．解：(1)由题意知点M(x0,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝9，又x0＜0，∴x0＝－3.
(2)易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2＞5)．由(1)可知点M的坐标为(－3,2)，将其代入所设方程，得＋＝1(a2＞5)，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.
14．解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±.
又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
