第2课时 椭圆的定义及方程的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.进一步掌握椭圆的定义,能利用椭圆的定义解决“焦点”三角形问题.
2.能利用直接法、定义法、代入点法解决与椭圆有关的轨迹问题.
题型(一) 焦点三角形问题
设F1和F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的任意一点,当P,F1,F2三点不在同一条直线上时,点P,F1,F2构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图所示.它们具有以下性质:
(1)|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c.
(2)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2.
(3)当|PF1|=|PF2|时,∠F1PF2最大.
(4)焦点三角形的周长为2a+2c.
(5)S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2
=b2tan.
[例1] 已知点P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,求△PF1F2的面积.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件去掉“cos∠F1PF2=”,则△PF1F2面积的最大值为 .
2.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“cos∠F1PF2=0”,则△PF1F2的面积为 .
3.若本例条件“cos∠F1PF2= ”变为“∠PF1F2=90°”,其他条件不变,求△PF1F2的面积.
4.若本例增加条件“B(2,2)”,求|PF1|+|PB|的最大值与最小值.
|思|维|建|模|
椭圆中的焦点三角形的应用技巧
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
[针对训练]
1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交该椭圆于P,Q两点,若|PF2|+|QF2|=9,则|PQ|= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为 .
题型(二) 与椭圆有关的轨迹问题
方法1 定义法求动点的轨迹方程
[例2] 一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题,一般解题思路如下:首先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值,最后得到标准方程.
方法2 代入法求动点的轨迹方程
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
听课记录:
|思|维|建|模|
代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0).
(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0.
(3)将x0,y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简得所求方程.
方法3 直接法求动点的轨迹方程
[例4] 已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,则顶点A的轨迹方程是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求轨迹方程时,没有坐标系时要先建立坐标系,设轨迹上任一点的坐标为(x,y),轨迹方程就是x,y之间的等式,关键是找到等量关系,然后用x,y表示.
[针对训练]
3.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是点P在x轴上的射影,M是线段PD上一点,且|MD|=|PD|.当点P在圆上运动时,动点M的轨迹方程是 .
4.如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
第2课时 椭圆的定义及方程的应用
[题型(一)]
[例1] 解：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.|PF1|＋|PF2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|·，可得64＝100－|PF1||PF2|，得|PF1||PF2|＝，故S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×× ＝.
[变式拓展]
1．解析：当|PF1|＝|PF2|时，S△PF1F2最大，此时S△PF1F2＝×2c×b＝12.故△PF1F2面积的最大值为12.
答案：12
2．解析：易知∠F1PF2＝90°，
故S＝b2tan＝b2tan 45°＝9.
答案：9
3．解：由已知得a＝5，b＝3，c＝4，在△PF1F2中，由勾股定理知|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.即|PF2|2＝|PF1|2＋64，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10.故(10－|PF1|)2＝|PF1|2＋64，解得|PF1|＝.故S△PF1F2＝××8＝.
4．解：由题易知B在椭圆内，则由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，当直线BF2与椭圆交点在x轴的上方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最小值，最小值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|－|BF2|＝10－|BF2|＝10－＝10－2；当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最大值，其最大值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|＋|BF2|＝10＋|BF2|＝10＋2.
[针对训练]
1．选C ∵椭圆＋＝1，∴a2＝16，a＝4，∵P，Q在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|QF1|＋|QF2|＝2a＝8，∴△PQF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝16，∵|PF2|＋|QF2|＝9，∴|PQ|＝7.
2．解析：根据题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a－4，又c2＝a2－2，利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得＝－，解得a＝3.
答案：3
[题型(二)]
[例2] 解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆内切，设切点为C.∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，且2a＝6的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝ ＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
[例3] 选A 法一 设点M(x，y)，则P′(x,0)，因为M为PP′的中点，所以P(x,2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0)．
法二 因为P在曲线C上，不妨取P(0,4)，则P′(0,0)，所以中点M(0,2)．因为点M满足轨迹方程，代入选项，只有A符合．
[例4] 解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·＝－，化简整理，得＋＝1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
答案：＋＝1(x≠0)
[针对训练]
3．解析：设M(x，y)，P(x1，y1)，因为点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋2＝25，化简得＋＝1.
答案：＋＝1
4．解：如图所示，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>|AC|＝2.
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，
故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.(共38张PPT)
椭圆的定义及方程的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.进一步掌握椭圆的定义,能利用椭圆的定义解决“焦点”三角形问题.
2.能利用直接法、定义法、代入点法解决与椭圆有关的轨迹问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 焦点三角形问题
题型(二) 与椭圆有关的轨迹问题
课时跟踪检测
题型(一) 焦点三角形问题
01
设F1和F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的任意一点,当P,F1,F2三点不在同一条直线上时,点P,F1,F2构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图所示.它们具有以下性质:
(1)|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c.
(2)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2.
(3)当|PF1|=|PF2|时,∠F1PF2最大.
(4)焦点三角形的周长为2a+2c.
(5)S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2
=b2tan.
[例1] 已知点P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,
且cos∠F1PF2=,求△PF1F2的面积.
解:由椭圆+=1,得a=5,b=3,c=4.|PF1|+|PF2|=10,
在△PF1F2中,由余弦定理可得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|
-2|PF1||PF2|·,可得64=100-|PF1||PF2|,得|PF1||PF2|
=,故=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=××
=.
[变式拓展]
1.若本例条件去掉“cos∠F1PF2=”,则△PF1F2面积的最大值为 .
12
解析:当|PF1|=|PF2|时,最大,此时=×2c×b=12.
故△PF1F2面积的最大值为12.
2.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“cos∠F1PF2=0”,则△PF1F2的
面积为 .
解析:易知∠F1PF2=90°,故S=b2tan=b2tan 45°=9.
9
3.若本例条件“cos∠F1PF2= ”变为“∠PF1F2=90°”,其他条件不变,
求△PF1F2的面积.
解:由已知得a=5,b=3,c=4,在△PF1F2中,由勾股定理知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.
即|PF2|2=|PF1|2+64,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=10.故(10-|PF1|)2=|PF1|2+64,
解得|PF1|=.故=××8=.
4.若本例增加条件“B(2,2)”,求|PF1|+|PB|的最大值与最小值.
解:由题易知B在椭圆内,则由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=10,当直线BF2与椭圆交点在x轴的上方,且P,B,F2三点共线时,|PF1|+|PB|取得最小值,最小值为|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|
-|BF2|=10-|BF2|=10-=10-2;当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方,且P,B,F2三点共线时,|PF1|+|PB|取得最大值,其最大值为|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|+|BF2|=10+|BF2|=10+2.
|思|维|建|模|
椭圆中的焦点三角形的应用技巧
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
针对训练
1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交该椭圆于P,Q两点,若|PF2|+|QF2|=9,则|PQ|=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
解析:∵椭圆+=1,∴a2=16,a=4,∵P,Q在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|
=2a=8,|QF1|+|QF2|=2a=8,∴△PQF2的周长为|PF1|+|PF2|+|QF1|
+|QF2|=|PF2|+|QF2|+|PQ|=16,∵|PF2|+|QF2|=9,∴|PQ|=7.
2.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,
点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,
则a的值为 .
解析:根据题意可得|PF1|+|PF2|=2a,可得|PF2|=2a-4,又c2=a2-2,利用余弦定理可得cos∠F1PF2==-,
即=-,整理可得=-,解得a=3.
3
题型(二) 与椭圆有关的轨迹问题
02
方法1 定义法求动点的轨迹方程
[例2] 一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程.
解:将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆内切,设切点为C.∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6,根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,且2a=6的椭圆.
∴a=3,c=2,b= =,
∴所求圆心的轨迹方程为+=1.
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利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题,一般解题思路如下:首先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值,最后得到标准方程.
方法2 代入法求动点的轨迹方程
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
√
解析:法一 设点M(x,y),则P'(x,0),因为M为PP'的中点,所以P(x,2y),又P在曲线x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0),即点M的轨迹方程为+=1(y>0).
法二 因为P在曲线C上,不妨取P(0,4),则P'(0,0),所以中点M(0,2).因为点M满足轨迹方程,代入选项,只有A符合.
代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0).
(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0.
(3)将x0,y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简得所求方程.
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方法3 直接法求动点的轨迹方程
[例4] 已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,则顶点A的轨迹方程是_______________.
+=1(x≠0)
解析:设顶点A的坐标为(x,y),因为A,B,C是△ABC的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,因此x≠0,由题意得·=-,化简整理,得+=1(x≠0),所以顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0).
求轨迹方程时,没有坐标系时要先建立坐标系,设轨迹上任一点的坐标为(x,y),轨迹方程就是x,y之间的等式,关键是找到等量关系,然后用x,y表示.
|思|维|建|模|
针对训练
3.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是点P在x轴上的射影,M是线段PD上一点,且|MD|=|PD|.当点P在圆上运动时,动点M的轨迹方程是 .
解析:设M(x,y),P(x1,y1),因为点D是P在x轴上的射影,M是线段PD上一点,
且|MD|=|PD|,所以因为P(x1,y1)在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,
化简得+=1.
+=1
4.如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解:如图所示,连接MA.
由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为
焦点的椭圆,且2a=5,故a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.
故点M的轨迹方程为+=1.
课时跟踪检测
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1.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6,则顶点A的轨迹方程是 ( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠±2)
C.+=1(x≠±3) D.+=1(x≠±2)
√
解析:在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6>|BC|=4,则顶点A的轨迹
满足椭圆的定义,a=3,c=2,b=,所以顶点A的轨迹方程是+=1(x≠±3).
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2.设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,
则|PF1|·|PF2|=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
√
解析:由椭圆C:+y2=1,可得a=,b=1,c=2,因为·=0,
所以PF1⊥PF2,由题意可得
即|PF1|·|PF2|
=
==2.
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3.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-,则顶点C的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
√
解析:设点C(x,y),则kAC·kBC=×=(y≠0),所以=-(y≠0),化简得+=1(y≠0).
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4.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,
若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
√
解析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=64,
∵|PF1|·|PF2|=12,
∴|PF1|2+|PF2|2=40,在△F1PF2中,cos∠F1PF2==,
∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.
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5.设A1,A2是椭圆+=1与x轴的两个交点,P1,P2是椭圆上垂直于A1A2的
弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(y≠±3)
C.-=1(x≠±3) D.-=1(y≠±3)
√
解析:设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),易知x≠±3,
x0≠±3,∵A1,P1,P共线,∴=,∵A2,P2,P共线,∴=.两式相乘
得=,∵P1(x0,y0)在椭圆+=1上,∴+=1,∴=4,
将代入得=-=,∴P的轨迹方程为-=1(x≠±3).
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6.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,
cos∠F1PF2=,则|OP|=( )
A. B. C. D.
√
解析:因为|PF1|+|PF2|=2a=6 ①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12 ②,联立①②,解得|PF1|2+|PF2|2=21,
由中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=2,
解得|OP|=.
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7.已知椭圆的两个焦点为F1(0,-),F2(0,),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,
|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
√
解析:由|MF1|+|MF2|=2a,得(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=4a2,又因为MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=(2c)2=20,由|MF1|2+|MF2|2=20,
|MF1|·|MF2|=8,得4a2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=20+16=36,所以a2=9,a=3,
又c=,所以b=2.因为椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的方程是+=1.
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8.若F1是椭圆+=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,
则|PA|+|PF1|的最小值是( )
A.9- B.6- C.3+ D.6+
解析:如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2.∵|PF1|+|PF2|
=2a=6,∴|PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|
=6+(|PA|-|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边,
√
当P,A,F2三点共线,即点P位于P'位置时,|PA|-|PF2|最小,
其值为-|AF2|=-,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.
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9. (5分)到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹是__________.
直线
解析:设所求点为M(x,y),则|MA|=|MB|,即
=,化简得x+y-1=0.
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10. (5分)若动点P(x,y)到点(1,0)的距离与到定直线x=3的距离之比是,
则动点P的轨迹方程是____________.
+=1
解析:设点P的坐标为(x,y),则由题意得=,
整理得2x2+3y2=6,即+=1,所以动点P的轨迹方程是+=1.
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11. (5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积是2,则|a|=_________.
解析:根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2|a|,由PF1⊥PF2,得△PF1F2为直角三角形,
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,又∵△PF1F2的面积为2,∴·|PF1|·|PF2|=2,
则|PF1|·|PF2|=4,∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4c2+8,
可得a2-c2=2=b2,由+=1可得b2=a2-4,所以a2-4=2,解得|a|=.
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12.(5分)如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,
点P是椭圆上任意一点(与F1,F2不共线),M在F1P的延长线上,PN是∠MPF2的角平分线,过F2作F2Q垂直于PN,垂足为Q,则|OQ|=________.
解析:由题意,延长F2Q交F1M于点A,连接OQ,如图,
因为PN为∠MPF2的角平分线且AF2⊥PN,所以|PF2|=|PA|,则|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PA|=4,即|F1A|=4.在△AF1F2中,
易知O,Q分别为F1F2,AF2的中点,即OQ为中位线,
所以|OQ|=|AF1|=2.
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13.(10分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.
解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|.
由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点的椭圆(点(-2,0)除外),
其方程为+=1(x≠-2).
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14.(10分)已知F1,F2分别为椭圆+=1 (0(1)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值;(6分)
解:由椭圆方程知+=1,a=10,c2=100-b2,则|PF1|+|PF2|=20, 由△F1PF2的
面积为S=|PF1|·|PF2|·sin 60°=,
解得|PF1|·|PF2|=,
由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=400-256=144,
即100-b2=36,所以b2=64,即b=8.
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(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.(4分)
解:由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤=100,
当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为100.
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15.(10分)椭圆+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,
求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
解:设点P,M的坐标分别为(x1,y1),(x,y),∵在已知椭圆的方程中,a=3,b=1,
∴c==2,则已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0).
∵△PF1F2存在,∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有即
∵y1≠0,∴y≠0.∵点P在椭圆上,∴+=1,∴+(3y)2=1(y≠0),
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2+=1(y≠0).课时检测（二十九） 椭圆的定义及方程的应用
1.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6,则顶点A的轨迹方程是 ( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠±2)
C.+=1(x≠±3) D.+=1(x≠±2)
2.设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= ( )
A.0 B.1
C.2 D.4
3.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-,则顶点C的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
4.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为 ( )
A.60° B.30°
C.120° D.150°
5.设A1,A2是椭圆+=1与x轴的两个交点,P1,P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(y≠±3)
C.-=1(x≠±3) D.-=1(y≠±3)
6.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆的两个焦点为F1(0,-),F2(0,),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.若F1是椭圆+=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是 ( )
A.9- B.6-
C.3+ D.6+
9.(5分)到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹是 .
10.(5分)若动点P(x,y)到点(1,0)的距离与到定直线x=3的距离之比是,则动点P的轨迹方程是 .
11.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积是2,则|a|= .
12.(5分)如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点(与F1,F2不共线),M在F1P的延长线上,PN是∠MPF2的角平分线,过F2作F2Q垂直于PN,垂足为Q,则|OQ|= .
13.(10分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.
14.(10分)已知F1,F2分别为椭圆+=1 (0(1)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值;(6分)
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.(4分)
15.(10分)椭圆+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
课时检测(二十九)
1．选A 在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3)．
2．选C 由椭圆C：＋y2＝1，可得a＝，b＝1，c＝2，因为·＝0，所以PF1⊥PF2，由题意可得
即|PF1|·|PF2|
＝
＝＝2.
3．选C 设点C(x，y)，则kAC·kBC＝×＝(y≠0)，所以＝－(y≠0)，化简得＋＝1(y≠0)．
4．选A 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
5．选C 设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，易知x≠±3，x0≠±3，∵A1，P1，P共线，∴＝，∵A2，P2，P共线，∴＝.两式相乘得＝，∵P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，∴y＝4，将y代入得＝－＝，∴P的轨迹方程为－＝1(x≠±3)．
6．选B 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 ①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12 ②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|OP|＝.
7．选B 由|MF1|＋|MF2|＝2a，得(|MF1|＋|MF2|)2＝|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2，又因为MF1⊥MF2，所以|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝20，由|MF1|2＋|MF2|2＝20，|MF1|·|MF2|＝8，得4a2＝|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝20＋16＝36，所以a2＝9，a＝3，又c＝，所以b＝2.因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程是＋＝1.
8.选B 如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，
连接P′F1，PF2.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6－|PF2|，∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|＝6＋(|PA|－|PF2|)．根据三角形两边之差小于第三边，当P，A，F2三点共线，即点P位于P′位置时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.
9．解析：设所求点为M(x，y)，则|MA|＝|MB|，即＝，化简得x＋y－1＝0.
答案：直线
10．解析：设点P的坐标为(x，y)，则由题意得＝，整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1，所以动点P的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
11．解析：根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2|a|，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，又∵△PF1F2的面积为2，∴·|PF1|·|PF2|＝2，则|PF1|·|PF2|＝4，∴(2a)2＝(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2，由＋＝1可得b2＝a2－4，所以a2－4＝2，解得|a|＝.
答案：
12．解析：由题意，延长F2Q交F1M于点A，连接OQ，如图，因为PN为∠MPF2的角平分线且AF2⊥PN，所以|PF2|＝|PA|，则|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PA|＝4，即|F1A|＝4.在△AF1F2中，易知O，Q分别为F1F2，AF2的中点，即OQ为中位线，所以|OQ|＝|AF1|＝2.
答案：2
13．解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，
其方程为＋＝1(x≠－2)．
14．解：(1)由椭圆方程知＋＝1，a＝10，c2＝100－b2，则|PF1|＋|PF2|＝20, 由△F1PF2的面积为S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝，
解得|PF1|·|PF2|＝，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝400－256＝144，
即100－b2＝36，所以b2＝64，即b＝8.
(2)由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤＝100，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为100.
15．解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，∴c＝＝2，则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有即
∵y1≠0，∴y≠0.∵点P在椭圆上，∴＋y＝1，∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)．
