第2课时 椭圆简单几何性质的应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
进一步学习椭圆的简单几何性质,并能利用椭圆的性质解决实际应用问题及与最值、范围有关的问题.
题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围)
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
求离心率的取值范围,关键在于需要找到一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组.
[针对训练]
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,且椭圆上存在点P,使得|PF1|=7|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
题型(二) 椭圆的最值问题
[例2] (1)已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是 ( )
A.2 B.4
C. D.
(2)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
[针对训练]
2.已知定点M(m,0),P为椭圆C:+y2=1上一动点,满足当|PM|取得最小值时,点P恰为椭圆C的右顶点,则m的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.
C.[,+∞) D.[2,+∞)
3.已知A,B分别是椭圆+y2=1与圆(x-1)2+y2=上的动点,则|AB|的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
题型(三) 椭圆的实际应用
[例3] 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.
过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,
|F1F2|=4.5 cm.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程.(精确到0.1 cm)
听课记录:
|思|维|建|模|
解决关于椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题,理顺题中的各种关系,如等量关系.
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系.
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.
[针对训练]
4.某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).若椭圆形边的最高点到地面的距离h为6米,则隧道设计的拱宽l至少是多少米 (结果取整数,参考数据: ≈3.3)
第2课时 椭圆简单几何性质的应用
[题型(一)]
[例1] 解：法一：利用基本不等式
不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
因为∠F1PF2＝90°，
所以m2＋n2＝|F1F2|2＝4c2.
而m＋n＝2a m2＋2mn＋n2＝4a2.
由基本不等式2mn≤m2＋n2，可知4a2≤m2＋m2＋n2＋n2＝2(m2＋n2)，
所以m2＋n2≥2a2，
于是4c2≥2a2 e＝≥.
又因为椭圆离心率小于1，
所以所求椭圆离心率的取值范围为.
法二：利用焦半径公式 设P(x1，y1)，由焦半径公式知|PF1|＝a＋ex1，|PF2|＝a－ex1.
因为∠F1PF2＝90°，
所以|PF1|，|PF2|，|F1F2|满足勾股定理．
所以4c2＝(a＋ex1)2＋(a－ex1)2＝2a2＋2e2x，整理得x＝＝·(2c2－a2)＝2a2－.又因为0≤x＜a2(点P不能与长轴端点重合)，所以0≤2a2－＜a2，即0≤2－＜1.化简整理可得椭圆离心率的取值范围为.
法三：利用余弦定理 设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，
则∠F1BF2最大且为钝角或直角．
于是cos∠F1BF2≤0.
由余弦定理可得cos∠F1BF2＝＝＝1－≤0.
化简整理可得2≥，所以≤e<1，
即椭圆离心率的取值范围为.
法四：利用数形结合
如图，设椭圆短轴的一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角(即使得椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°)，
显然需有|OF2|≥|OB|，即c≥b.
此时，∠OBF2≥45°，即∠F1BF2≥90°，
当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况．
所以c2≥b2＝a2－c2，于是a2≤2c2.
所以2≥.
又椭圆的离心率小于1，
故椭圆离心率的取值范围为.
[针对训练]
1．选C 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝7|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.又|PF1|－|PF2|≤|F1F2|＝2c，当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以a－a≤2c，即a≤2c，则e＝≥，即≤e<1，所以椭圆离心率的取值范围是.故选C.
[题型(二)]
[例2] (1)选C 因为椭圆C的方程为＋y2＝1，所以A(0，－1)，
设M(x，y)，则＋y2＝1，故x2＝4－4y2，且－1≤y≤1，所以|MA|2＝x2＋(y＋1)2＝4－4y2＋(y＋1)2＝－3y2＋2y＋5＝－32＋，当y＝时，|MA|2取得最大值，故|MA|max＝.故选C.
(2)解析：由椭圆方程＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，所以·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
[针对训练]
2．选B 记P(x0，y0)，|PM|＝＝＝，x0∈[－2,2]，f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(－2≤x≤2)图象的对称轴为x＝，由于当x＝2时，f(x)取到最小值，则≥2 m≥.故选B.
3．选B 依据题意，圆心记为C(1,0)，半径r＝，则|AB|的最小值为|AC|的最小值减去圆的半径．设A(x0，y0)，∵A在椭圆上，则有＋y＝1，且－2≤x0≤2，|AC|＝＝＝，∴当x0＝时，|AC|有最小值.∴|AB|的最小值为－＝.故选B.
[题型(三)]
[例3] 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
在Rt△BF1F2中，|F2B|＝＝.由椭圆的性质知，|F1B|＋|F2B|＝2a，所以a＝(|F1B|＋|F2B|)＝(2.8＋)≈4.1，b＝＝≈3.4.所以所求的椭圆方程为＋＝1.
[针对训练]
4．解：设椭圆隧道的标准方程为＋＝1(y>0，a>b>0)．建立平面直角坐标系，如图所示，则点P(6,5)在椭圆＋＝1上．将b＝h＝6与点P(6,5)代入椭圆方程得解得b＝6，a＝，所以l＝2a＝≈22，即隧道设计的拱宽l至少是22米．(共35张PPT)
椭圆简单几何性质的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
进一步学习椭圆的简单几何性质,并能利用椭圆的性质解决实际应用问题及与最值、范围有关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围)
题型(二) 椭圆的最值问题
题型(三) 椭圆的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围)
01
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,
∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
解:法一:利用基本不等式 不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,
因为∠F1PF2=90°,
所以m2+n2=|F1F2|2=4c2.
而m+n=2a m2+2mn+n2=4a2.
由基本不等式2mn≤m2+n2,可知4a2≤m2+m2+n2+n2=2(m2+n2),
所以m2+n2≥2a2,于是4c2≥2a2 e=≥.
又因为椭圆离心率小于1,所以所求椭圆离心率的取值范围为.
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,
∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
解:法二:利用焦半径公式 设P(x1,y1),由焦半径公式知|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1.
因为∠F1PF2=90°,
所以|PF1|,|PF2|,|F1F2|满足勾股定理.
所以4c2=(a+ex1)2+(a-ex1)2=2a2+2e2,
整理得==·(2c2-a2)=2a2-.
又因为0≤
所以0≤2a2-化简整理可得椭圆离心率的取值范围为.
解:法三:利用余弦定理 设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,
则∠F1BF2最大且为钝角或直角.
于是cos∠F1BF2≤0.
由余弦定理可得cos∠F1BF2===1-≤0.
化简整理可得≥,所以≤e<1,
即椭圆离心率的取值范围为.
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,
∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
解:法四:利用数形结合 如图,设椭圆短轴的一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角(即使得椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°),
显然需有|OF2|≥|OB|,即c≥b.
此时,∠OBF2≥45°,即∠F1BF2≥90°,
当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况.
所以c2≥b2=a2-c2,于是a2≤2c2.
所以≥.
又椭圆的离心率小于1,故椭圆离心率的取值范围为.
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,
∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
求离心率的取值范围,关键在于需要找到一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组.
|思|维|建|模|
针对训练
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,且椭圆上存在点P,使得|PF1|=7|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=7|PF2|,所以|PF1|=a,
|PF2|=a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立,所以a-a≤2c,即a≤2c,则e=≥,即≤e<1,所以椭圆离心率的取值范围是.故选C.
题型(二) 椭圆的最值问题
02
[例2] (1)已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,
点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是( )
A.2 B.4 C. D.
√
解析:因为椭圆C的方程为+y2=1,
所以A(0,-1),
设M(x,y),则+y2=1,故x2=4-4y2,且-1≤y≤1,
所以|MA|2=x2+(y+1)2=4-4y2+(y+1)2=-3y2+2y+5=-3+,
当y=时,|MA|2取得最大值,故|MA|max=.故选C.
(2)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为_________.
6
解析:由椭圆方程+=1可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则=(x,y),
=(x+1,y),所以·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,当x=2时,·取得最大值6.
求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
|思|维|建|模|
针对训练
2.已知定点M(m,0),P为椭圆C:+y2=1上一动点,满足当|PM|取得最小值时,
点P恰为椭圆C的右顶点,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B. C.[,+∞) D.[2,+∞)
√
解析:记P(x0,y0),|PM|===
,x0∈[-2,2],f(x)=x2-2mx+m2+1(-2≤x≤2)图象的对称轴为x=,由于当x=2时,f(x)取到最小值,则≥2 m≥.故选B.
3.已知A,B分别是椭圆+y2=1与圆(x-1)2+y2=上的动点,则|AB|的最小值为( )
A. B. C. D.
√
解析:依据题意,圆心记为C(1,0),半径r=,则|AB|的最小值为|AC|的最小值减去圆的半径.设A(x0,y0),∵A在椭圆上,则有+=1,且-2≤x0≤2,
|AC|===,
∴当x0=时,|AC|有最小值.∴|AB|的最小值为-=.故选B.
题型(三) 椭圆的实际应用
03
[例3] 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面
(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.
过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程.(精确到0.1 cm)
解:建立如图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为+=1(a>b>0).
在Rt△BF1F2中,|F2B|==.
由椭圆的性质知,|F1B|+|F2B|=2a,所以a=(|F1B|+|F2B|)
=(2.8+)≈4.1,b==≈3.4.所以所求的椭圆方程为+=1.
解决关于椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题,理顺题中的各种关系,如等量关系.
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系.
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解.
|思|维|建|模|
针对训练
4.某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).若椭圆形边的最高点到地面的距离h为6米,则隧道设计的拱宽l至少是多少米
(结果取整数,参考数据:≈3.3)
解:设椭圆隧道的标准方程为+=1(y>0,a>b>0).建立
平面直角坐标系,如图所示,则点P(6,5)在椭圆+=1上.
将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程得
解得b=6,a=,所以l=2a=≈22,即隧道设计的拱宽l至少是22米.
课时跟踪检测
04
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1.(多选)如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则给出下列式子中,正确的是 ( )
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.< D.c1a2>a1c2
√
√
解析:观察图形可知a1+c1>a2+c2,即A不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即B正确;由a1-c1
=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即D正确,C不正确.
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2.已知水平地面上有一个篮球,球的中心为O',在斜平行光线的照射下,其阴影为椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,椭圆的标准方程为+=1,设篮球与地面的接触点为H,则OH的长为( )
A. B. C. D.
解析:由题意,得椭圆的短半轴长是球的半径.如图,连接AO',OO',
BO',则∠O'AB+∠O'BA=(∠A'AB+∠B'BA)=×180°=90°,
所以∠AO'B=90°.因为O是中点,所以球心O'到椭圆中心O的
距离等于椭圆的长半轴的长度.过球心O'向地面作垂线,
垂足为H,在构成的Rt△O'HO中,|OO'|2=|OH|2+|O'H|2,
所以|OH|===.故选B.
√
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3.如图,椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,
过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,
则|AF1|+|CF2|的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析:由椭圆的对称性可知|CF2|=|BF1|,所以|AF1|+|CF2|=|AF1|+|BF1|=|AB|.
因为弦AB,CD分别过椭圆E的左、右焦点,且AB∥CD,所以|AB|∈.
又a=,b2=4,所以|AB|∈,故选C.
√
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4.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与
C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是( )
A.4 B.3+2 C.6 D.4+2
解析:设|AF2|=t(t>0),则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t,
由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,
有t>1,所以2a==(t-1)++3≥3+2
=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号,
则椭圆长轴长的最小值是3+2.
√
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5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,点P为直线x=上一点,若点F2在线段PF1的垂直平分线上,则C的离心率的取值
范围是( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知F2(c,0),因为点P在直线x=上一点,
所以|PF2|≥-c,若点F2在线段PF1的垂直平分线上,
可得|PF2|=|F1F2|=2c,则2c≥-c,整理可得≥,
即e=≥.又e<1,所以C的离心率的取值范围是.
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6.若F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,
则|·|的最大值是( )
A.4 B.5 C.2 D.1
解析:由椭圆+y2=1,得a=2,b=1,即c==,所以F1(-,0),
F2(,0).设P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y),·
=x2-3+y2.由P在椭圆上,得y2=1-,即·=x2-2(-2≤x≤2),
易知·∈[-2,1],所以|·|的最大值为2.故选C.
√
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7.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与
短半轴长的乘积.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,
点A是椭圆C上的动点,点B是点A关于原点的对称点,若四边形AF1BF2的周长为12,则四边形AF1BF2面积的最大值为( )
A.4 B.2 C.2 D.
解析:由题可知,πab=6π,即ab=6,由四边形AF1BF2的周长为12,得2a+2a=12,即a=3,所以b=2,所以椭圆C:+=1,则c=.设A(x1,y1),x1∈[-3,3],y1∈[-2,2],则B(-x1,-y1),所以四边形AF1BF2的面积为2c·|y1|=2|y1|≤4.故选A.
√
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8.已知点P为椭圆C:+=1上任意一点,直线l过☉M:x2+y2-4x+3=0的
圆心且与☉M交于A,B两点,则·的取值范围是( )
A.[3,35] B.(3,35] C.[2,6] D.(2,6]
√
解析:由☉M:(x-2)2+y2=1,圆心M(2,0),半径为1,则=-,可得·
=(+)·(+)=(-)(+)=||2-||2=||2-1,由椭圆方程可知a=4,b=2,c==2,即M恰为椭圆C的右焦点,则2=a-c
≤||≤a+c=6,所以·∈[3,35].故选A.
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9. (5分)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,
则椭圆离心率的取值范围是__________.
解析:根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为+
=1(a>b>0),设F1(-c,0),F2(c,0),设M(x0,y0),·=0 (-c-x0,-y0)
·(c-x0,-y0)=0 -c2+=0 =c2-,点M(x0,y0)在椭圆内部,有+
<1 b2+a2(c2-)-a2b2<0 >2a2-,要想该不等式恒成立,只需2a2-<0 2a2c20 01
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10. (5分)已知椭圆C:+y2=1,则椭圆C上的点到点B(0,1)的距离的最大值
是 .
解析:设P(x,y)是椭圆上的一个动点,则x2=4-4y2,|PB|=
===,
由于-1≤y≤1,故当y=-时,|PB|取得最大值=.
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11.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成,半圆的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合,图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出半圆的方程和半椭圆的方程;(5分)
解:以半圆的直径为x轴,圆心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
由已知,圆的半径为5,则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0).
椭圆的短半轴长b=5,=,又b2=a2-c2,
所以a2=100,b2=25,
所以半椭圆的方程为+=1(y≥0).
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(2)根据美学知识,当=0.6时达到最佳美观的效果,
求达到最佳美观的效果时AB的长.(5分)
解:设第一象限内的点A的横坐标为m(0|AD|=+=3.由=0.6得=,解得m=,此时|AB|=.
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12.(10分)在平面直角坐标系xOy中,M(x0,y0),A(-2,0),B(2,0),|MA|+|MB|=6.
(1)求M的轨迹方程;(4分)
解:因为|MA|+|MB|=6,|AB|=4,|MA|+|MB|>|AB|,
所以点M的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,
其中2a=6,2c=4,故a=3,c=2,b2=a2-c2=9-4=5,
故M的轨迹方程为+=1.
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(2)若∠AMB=60°,求△AMB的面积.(6分)
解:由∠AMB=60°,|MA|+|MB|=6,|AB|=4,及余弦定理得cos∠AMB
==,
即=,
解得|MA|·|MB|=,
则S△AMB=|MA||MB|sin 60°
=××=.
1课时检测（三十一） 椭圆简单几何性质的应用
1.(多选)如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则给出下列式子中,正确的是 ( )
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.< D.c1a2>a1c2
2.已知水平地面上有一个篮球,球的中心为O',在斜平行光线的照射下,其阴影为椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,椭圆的标准方程为+=1,设篮球与地面的接触点为H,则OH的长为 ( )
A. B.
C. D.
3.如图,椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,
|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是 ( )
A.4 B.3+2
C.6 D.4+2
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,点P为直线x=上一点,若点F2在线段PF1的垂直平分线上,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.若F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则|·|的最大值是 ( )
A.4 B.5
C.2 D.1
7.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,点A是椭圆C上的动点,点B是点A关于原点的对称点,若四边形AF1BF2的周长为12,则四边形AF1BF2面积的最大值为 ( )
A.4 B.2
C.2 D.
8.已知点P为椭圆C:+=1上任意一点,直线l过☉M:x2+y2-4x+3=0的圆心且与☉M交于A,B两点,
则·的取值范围是 ( )
A.[3,35] B.(3,35]
C.[2,6] D.(2,6]
9.(5分)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 .
10.(5分)已知椭圆C:+y2=1,则椭圆C上的点到点B(0,1)的距离的最大值是 .
11.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成,半圆的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合,图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出半圆的方程和半椭圆的方程;(5分)
(2)根据美学知识,当=0.6时达到最佳美观的效果,求达到最佳美观的效果时AB的长.(5分)
12.(10分)在平面直角坐标系xOy中,M(x0,y0),A(-2,0),B(2,0),|MA|+|MB|=6.
(1)求M的轨迹方程;(4分)
(2)若∠AMB=60°,求△AMB的面积.(6分)
课时检测(三十一)
1．选BD 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即A不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即B正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即D正确，C不正确．
2．选B 由题意，得椭圆的短半轴长是球的半径．如图，
连接AO′，OO′，BO′，则∠O′AB＋∠O′BA＝(∠A′AB＋∠B′BA)＝×180°＝90°，所以∠AO′B＝90°.因为O是中点，所以球心O′到椭圆中心O的距离等于椭圆的长半轴的长度．过球心O′向地面作垂线，垂足为H，在构成的Rt△O′HO中，|OO′|2＝|OH|2＋|O′H|2，所以|OH|＝＝＝.故选B.
3．选C 由椭圆的对称性可知|CF2|＝|BF1|，所以|AF1|＋|CF2|＝|AF1|＋|BF1|＝|AB|.因为弦AB，CD分别过椭圆E的左、右焦点，且AB∥CD，所以|AB|∈.又a＝，b2＝4，所以|AB|∈，故选C.
4.选B 设|AF2|＝t(t>0)，则|AB|＝t＋1，|BF1|＝2a－1，|AF1|＝2a－t，由AF1⊥AB，可得(t＋1)2＋(2a－t)2＝(2a－1)2，则2a＝>0，有t>1，所以2a＝＝(t－1)＋＋3≥3＋2＝3＋2，当且仅当t－1＝，即t＝1＋时取等号，则椭圆长轴长的最小值是3＋2.
5.选D 由题意可知F2(c，0)，因为点P在直线x＝上一点，所以|PF2|≥－c，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，则2c≥－c，整理可得≥，即e＝≥.又e<1，所以C的离心率的取值范围是.
6．选C 由椭圆＋y2＝1，得a＝2，b＝1，即c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)．设P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，·＝x2－3＋y2.由P在椭圆上，得y2＝1－，即·＝x2－2(－2≤x≤2)，易知·∈[－2,1]，所以|·|的最大值为2.故选C.
7．选A 由题可知，πab＝6π，即ab＝6，由四边形AF1BF2的周长为12，得2a＋2a＝12，即a＝3，所以b＝2，所以椭圆C：＋＝1，则c＝.设A(x1，y1)，x1∈[－3,3]，y1∈[－2,2]，则B(－x1，－y1)，所以四边形AF1BF2的面积为2c·|y1|＝2|y1|≤4.故选A.
8．选A 由⊙M：(x－2)2＋y2＝1，圆心M(2，0)，半径为1，则＝－，可得·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝||2－1，由椭圆方程可知a＝4，b＝2，c＝＝2，即M恰为椭圆C的右焦点，则2＝a－c≤||≤a＋c＝6，所以·∈[3,35]．故选A.
9．解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c,0)，设M(x0，y0)，·＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0 x－c2＋y＝0 y＝c2－x，点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1 b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0 x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c20 0答案：
10．解析：设P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x2＝4－4y2，|PB|＝＝＝＝，由于－1≤y≤1，故当y＝－时，|PB|取得最大值 ＝.
答案：
11．解：(1)以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为5，则半圆的方程为x2＋y2＝25(y≤0)．
椭圆的短半轴长b＝5，＝，又b2＝a2－c2，
所以a2＝100，b2＝25，
所以半椭圆的方程为＋＝1(y≥0)．
(2)设第一象限内的点A的横坐标为m(012．解：(1)因为|MA|＋|MB|＝6，|AB|＝4，|MA|＋|MB|>|AB|，
所以点M的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中2a＝6,2c＝4，故a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝9－4＝5，故M的轨迹方程为＋＝1.
(2)由∠AMB＝60°，|MA|＋|MB|＝6，|AB|＝4，及余弦定理得cos∠AMB＝
＝，
即＝，
解得|MA|·|MB|＝，
则S△AMB＝|MA||MB|sin 60°
＝××＝.