第3课时 直线与椭圆的位置关系 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
会判断直线与椭圆的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用.
题型(一) 直线与椭圆位置关系的判断
一般地,联立直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的方程,得消去y,得一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 _______ Δ>0
相切 _______ Δ=0
相离 _______ Δ<0
[例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)相交;(2)相切;(3)相离
听课记录:
|思|维|建|模|
判断直线与椭圆的位置关系,可以直接由直线方程和椭圆方程联立后,通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程,然后利用判别式判断即可;有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系,从而判断直线与椭圆的位置关系.
[针对训练]
1.直线l:ax+y-a+1=0与椭圆+=1的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
2.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围为 .
题型(二) 弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求弦长的一般步骤
(1)联立直线与椭圆的方程;
(2)设法消去未知数y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系得到x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2);
(3)代入弦长公式|AB|=·|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=(k≠0)求解.
[针对训练]
3.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为 ( )
A.±1 B.±
C. D.±
4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求|AB|的最大值.
题型(三) 中点弦问题
[例3] 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
听课记录:
|思|维|建|模| 解决椭圆中点弦问题的三种方法
根与系数 的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决
点差法 利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系
共线法 利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其中一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),将A,B的坐标分别代入椭圆方程,作差即得所求直线方程
[针对训练]
5.若椭圆+=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为 ( )
A.9x+4y-13=0 B.4x+9y-13=0
C.x+2y-3=0 D.x+3y-3=0
6.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x-y+9=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
第3课时 直线与椭圆的位置关系
[题型(一)]
2 1 0
[例1] 解：(1)联立得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，Δ＝64m2－36(2m2－4)＝144－8m2，
当直线与椭圆相交，即Δ>0时，144－8m2>0，解得－3(2)当直线与椭圆相切，即Δ＝0时，144－8m2＝0，解得m＝±3.
(3)当直线与椭圆相离，即Δ<0时，144－8m2<0，解得m>3或m<－3.
[针对训练]
1．选A 法一 ∵ax＋y－a＋1＝0，即a(x－1)＋y＋1＝0，∴直线l恒过定点M(1，－1)．又∵椭圆＋＝1，∴＋<1，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交．
法二 (3a2＋2)x2－6a(a－1)x＋3(a2－2a－1)＝0，
∴Δ＝36a2(a－1)2－12(3a2＋2)(a2－2a－1)＝48a2＋48a＋24＝482＋12>0恒成立，∴直线l与椭圆相交．
2．解析：联立整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.因为直线l与椭圆C有公共点．
所以Δ＝(8k)2－24(2k2＋1)≥0，
解得k≥或k≤－.
答案：∪
[题型(二)]
[例2] 解析：∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，且斜率为2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法一 由方程组
解得或则交点A(0，－2)，B.
∴|AB|＝＝＝.
法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝.
法三 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x，得3y2＋2y－8＝0，则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴|AB|＝|y1－y2|＝×＝.
答案：
[针对训练]
3．选A 由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由题意，得|AB|＝＝ ＝，解得m＝±1.
4．解：(1)由题意可得解得a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝5.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由 14x2＋18mx＋9m2－45＝0.
由Δ＝(18m)2－4×14×(9m2－45)＞0，得m2－14＜0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|AB|＝ ＝≤，当且仅当m＝0时等号成立．∴|AB|max＝.
[题型(三)]
[例3] 解：法一：根与系数的关系、中点坐标公式法
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y，得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
因为线段AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
因为P(4,2)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以kAB＝－＝－，
所以直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4.
法三：共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4,2)为线段AB的中点，因此B(8－x,4－y)．
因为A，B两点都在椭圆上，
所以
①－②，得x＋2y－8＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0.
[针对训练]
5．选B 若直线AB⊥x轴，则点A，B关于x轴对称，则直线AB的中点在x轴，不合乎题意，所以直线AB的斜率存在，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝y1＋y2＝2，所以两式作差可得＋＝0，即＋＝0，即＋＝0，可得直线AB的斜率为kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.
6．选B 设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦的中点坐标是M(－4,1)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝2.由得＋＝0，∴＝－×＝2，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.(共49张PPT)
直线与椭圆的位置关系
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第3课时
课时目标
会判断直线与椭圆的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与椭圆位置关系的判断
题型(二) 弦长问题
题型(三) 中点弦问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 直线与椭圆位置关系的判断
01
一般地,联立直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的方程,得
消去y,得一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 _____ Δ>0
相切 _____ Δ=0
相离 _____ Δ<0
2
1
0
[例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)相交;
解:联立得9x2+8mx+2m2-4=0,Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2,
当直线与椭圆相交,即Δ>0时,144-8m2>0,解得-3(2)相切;
解:当直线与椭圆相切,即Δ=0时,144-8m2=0,解得m=±3.
(3)相离
解:当直线与椭圆相离,即Δ<0时,144-8m2<0,解得m>3或m<-3.
判断直线与椭圆的位置关系,可以直接由直线方程和椭圆方程联立后,通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程,然后利用判别式判断即可;有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系,从而判断直线与椭圆的位置关系.
|思|维|建|模|
针对训练
1.直线l:ax+y-a+1=0与椭圆+=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
√
解析:法一 ∵ax+y-a+1=0,即a(x-1)+y+1=0,∴直线l恒过定点M(1,-1).又∵椭圆+=1,∴+<1,∴定点M在椭圆内,∴直线l与椭圆相交.
法二 (3a2+2)x2-6a(a-1)x+3(a2-2a-1)=0,
∴Δ=36a2(a-1)2-12(3a2+2)(a2-2a-1)=48a2+48a+24=48+12>0恒成立,
∴直线l与椭圆相交.
2.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围为
_________________________.
∪
解析:联立整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
因为直线l与椭圆C有公共点.
所以Δ=(8k)2-24(2k2+1)≥0,
解得k≥或k≤-.
题型(二) 弦长问题
02
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于
A,B两点,则弦AB的长为_________.
解析:∵直线AB过椭圆+=1的右焦点F2(1,0),且斜率为2,∴直线AB的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
法一 由方程组解得或则交点A(0,-2),
B.
∴|AB|===.
解析:法二 设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去y,得3x2-5x=0,解得x1=0,x2=.∴|AB|=|x1-x2|=×=.
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于
A,B两点,则弦AB的长为_________.
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于
A,B两点,则弦AB的长为_________.
解析:法三 设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去x,
得3y2+2y-8=0,则由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,
∴|AB|=|y1-y2|=×=.
求弦长的一般步骤
(1)联立直线与椭圆的方程;
(2)设法消去未知数y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系得到x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2);
(3)代入弦长公式|AB|=·|x1-x2|=或
|AB|=|y1-y2|=(k≠0)求解.
|思|维|建|模|
针对训练
3.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为( )
A.±1 B.± C. D.±
√
解析:由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
由题意,得|AB|== =,解得m=±1.
4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
解:由题意可得解得a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求|AB|的最大值.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
由 14x2+18mx+9m2-45=0.
由Δ=(18m)2-4×14×(9m2-45)>0,得m2-14<0.
∴x1+x2=-,x1x2=.
∴|AB|= =≤,
当且仅当m=0时等号成立.
∴|AB|max=.
题型(三) 中点弦问题
03
[例3] 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
解:法一:根与系数的关系、中点坐标公式法
设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4).
联立
消去y,得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.
因为线段AB的中点恰好为P(4,2),所以==4,解得k=-,且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.
解:法二:点差法 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式相减得+=0,整理得kAB==-.
因为P(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,
所以kAB=-=-,
所以直线AB的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.
[例3] 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
解:法三:共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,由于点P(4,2)为线段AB的中点,因此B(8-x,4-y).
因为A,B两点都在椭圆上,
所以
①-②,得x+2y-8=0.
即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-8=0.
[例3] 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
|思|维|建|模|
解决椭圆中点弦问题的三种方法
根与系数 的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决
点差法 利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系
共线法 利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其中一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),将A,B的坐标分别代入椭圆方程,作差即得所求直线方程
针对训练
5.若椭圆+=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为( )
A.9x+4y-13=0 B.4x+9y-13=0 C.x+2y-3=0 D.x+3y-3=0
√
解析:若直线AB⊥x轴,则点A,B关于x轴对称,则直线AB的中点在x轴,
不合乎题意,所以直线AB的斜率存在,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=y1+y2=2,所以两式作差可得+=0,
即+=0,即+=0,可得直线AB的
斜率为kAB==-,所以直线AB的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0.
6.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x-y+9=0,
弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
√
解析:设直线2x-y+9=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
弦的中点坐标是M(-4,1),则x1+x2=-8,y1+y2=2,直线AB的斜率k==2.
由得+=0,∴=-×=2,
∴=,故椭圆的离心率e===.
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1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
解析:把x+y-3=0代入+y2=1,得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.
∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离.
√
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2.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 ( )
A. B. C. D.
解析:由消去y得2x2+(x-1)2=4,即3x2-2x-3=0,
∴弦的中点的横坐标是x=×=,代入直线方程y=x-1中,得y=-,
∴弦的中点坐标是.
√
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3.经过点P且与椭圆+y2=1相切的直线方程是( )
A.x+2y-4=0 B.x-2y-4=0
C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0
√
解析:显然当x=1时,直线与椭圆有两个交点,不符合题意;当存在斜率k时,
直线方程设为y-=k(x-1),与椭圆的方程联立,得
得(1+4k2)x2+4kx(-2k)+4k2-4k-1=0,
直线与椭圆相切,故Δ=0,即[4k(-2k)]2-4×(1+4k2)×(4k2-4k-1)=0,
解得k=-,所以切线方程为x+2y-4=0,故选A.
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4.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,
则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
√
解析:由椭圆方程得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的
方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y得,5x2-8x+8=0,
则x1+x2=,x1·x2=,所以|AB|=·
=×=.即弦AB的长为.
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5.若椭圆+=1的弦AB中点坐标为, 则直线AB的斜率为( )
A. B.- C. D.-
解析:由于+=<1,所以点在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知x1+x2=2,y1+y2=1,两式相减得
+=0,
所以kAB==-=-=-.
√
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6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,
直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A. B. C.- D.-
√
解析:将直线y=x+m与椭圆C联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.
因为直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-21
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7. (5分)若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是___________________.
(1,3)∪(3,+∞)
解析:∵+=1表示椭圆,∴m>0且m≠3.
由得(m+3)x2+4mx+m=0,
∴Δ=16m2-4m(m+3)>0,解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3,∴m的取值范围是(1,3)∪(3,+∞).
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8. (5分)已知直线l:y=kx+1与椭圆+y2=1交于M,N两点,且|MN|=,则k=_____.
±1
解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得(1+2k2)x2+4kx=0,
所以x1+x2=-,x1x2=0,由|MN|=,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以(1+k2)(x1-x2)2
=,所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=,
即(1+k2)=,
化简得k4+k2-2=0,所以k2=1,所以k=±1.
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9. (5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于
A,B两点,若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为______________.
解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程+=1,可得
两式相减可得+=0,
变形可得kAB==,
又AB的中点M为(1,-1),
所以x1+x2=2,y1+y2=-2,
+=1
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代入上式可得,kAB==,
又kAB=kMF,F(4,0),kMF=,
所以=,3b2=a2,又a2=b2+c2,c2=16,
解得a2=24,b2=8,
所以椭圆E的方程为+=1.
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10. (5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点
出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.
根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,
其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=,
过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,
则|F1M|∶|F2M|=__________.
解析:由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2,所以=,
由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
3∶5
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11. (5分)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点(异于A,B),
直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,则|MN|的最小值为_________.
解析:如图所示,设P(x0,y0),则+=1,易知A(-2,0),B(2,0),直线PA和直线PB的斜率存在,且斜率之积为kPA·kPB
=·==-.
设直线PA的方程为y=k(x+2),则M(4,6k),
直线PB的方程为y=-(x-2),则N,
所以|MN|==|6k|+≥2=6.
当且仅当12k2=3,即k=±时,等号成立,故|MN|的最小值为6.
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12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),
且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆方程;(5分)
解:∵椭圆C的焦点为F1(0,-1),F2(0,1),∴c=1 ①,
又∵点在椭圆C:+=1上,
∴+=1 ②,
而a2=b2+c2 ③,
∴联立①②③得
∴椭圆方程为+x2=1.
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(2)若A点为椭圆上一动点,求A点到直线y=x-4的最小距离.(5分)
解:设l:y=x+m与椭圆相切,
∴联立方程组
∴3x2+2mx+m2-2=0,Δ=4m2-4×3(m2-2)=0,∴m=±,
显然易知当m=-时,l:y=x-与y=x-4距离最近,
∴d===2-.
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13.(10分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短半轴长为3,离心率为.
(1)求椭圆M的方程;(4分)
解:由椭圆M:+=1 的短半轴长为3,离心率为,可得b=3且=,即a=c,
因为a2=b2+c2,可得2c2=9+c2,解得c=3,
所以a=3,所以椭圆的方程为+=1.
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(2)过P(1,1)的直线l交椭圆M于A,B两点,且P为AB的中点,求弦AB的长度.(6分)
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为P(1,1)为AB的中点,
可得=1,=1,
则两式相减得9(x2-x1)(x1+x2)+18(y2-y1)(y1+y2)=0,
即=-=-,即kAB=-,
所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0,
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联立方程组
整理得x2-2x-9=0,
可得x1+x2=2,x1x2=-9,
则|AB|=|x1-x2|=·
=·=5.
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14.(10分)如图,过点B(0,-b)作椭圆+=1(a>b>0)的弦,
求这些弦中的最大弦长.
解:设M(x,y)是椭圆上任意一点,
则|BM|2=x2+(y+b)2=x2+y2+2by+b2①,由+=1,有x2=(b2-y2)②.
将②代入①式,整理得|BM|2=y2+2by+(a2+b2)=·+.
∵-b≤y≤b,
当b≤c时,≤b,∴当y=时,|BM|的最大值为.
当b>c时,>b,∴当y=b时,点M为(0,b),即y轴上方顶点位置,∴|BM|的
最大值为2b.
综上所述,当b≤c时,这些弦中的最大弦长为;当b>c时,
这些弦中的最大弦长为2b.
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15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;(5分)
解:由题意得解得
所以e===.
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(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分)
解:法一 kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0,
|AP|==,由(1)知C:+=1.
设点B到直线AP的距离为d,则d==,
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度,
此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为x+2y+E=0,
则=,解得E=6或E=-18,
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当E=6时,联立
解得或
即B(0,-3)或B,
当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0,
当B时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0.
当E=-18时,联立得2y2-27y+117=0,
Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
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(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分)
解:法二 当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3),
令P(x1,y1),B(x2,y2),
联立消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,
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Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-,
所以|PB|==,
A到直线PB的距离d=,S△PAB=··=9,
所以k=或k=,均满足题意,所以l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
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(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分)
解:法三 当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-3)+,l与y轴的交点为Q,令x=0,
则Q,联立
则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0,
其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-,
则3xB=,xB=,则S=|AQ||xP-xB|
==9,解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意.
则直线l为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.课时检测（三十二） 直线与椭圆的位置关系
1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
2.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 ( )
A. B.
C. D.
3.经过点P且与椭圆+y2=1相切的直线方程是 ( )
A.x+2y-4=0 B.x-2y-4=0
C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0
4.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为 ( )
A. B.
C. D.
5.若椭圆+=1的弦AB中点坐标为, 则直线AB的斜率为 ( )
A. B.-
C. D.-
6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,
若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( )
A. B.
C.- D.-
7.(5分)若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是 .
8.(5分)已知直线l:y=kx+1与椭圆+y2=1交于M,N两点,且|MN|=,则k= .
9.(5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为 .
10.(5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|= .
11.(5分)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点(异于A,B),直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,则|MN|的最小值为 .
12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆方程;(5分)
(2)若A点为椭圆上一动点,求A点到直线y=x-4的最小距离.(5分)
13.(10分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短半轴长为3,离心率为.
(1)求椭圆M的方程;(4分)
(2)过P(1,1)的直线l交椭圆M于A,B两点,且P为AB的中点,求弦AB的长度.(6分)
14.(10分)如图,过点B(0,-b)作椭圆+=1(a>b>0)的弦,求这些弦中的最大弦长.
15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;(5分)
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分)
课时检测(三十二)
1．选A 把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
2．选A 由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，∴弦的中点坐标是.
3．选A 显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当存在斜率k时，直线方程设为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立，得得(1＋4k2)x2＋4kx(－2k)＋4k2－4k－1＝0，
直线与椭圆相切，故Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4k－1)＝0，
解得k＝－，所以切线方程为x＋2y－4＝0，故选A.
4．选C 由椭圆方程得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消y得，5x2－8x＋8＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝·＝×＝.即弦AB的长为.
5．选B 由于＋＝<1，所以点在椭圆内部，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
两式相减得＋＝0，所以kAB＝＝－＝－＝－.
6．选C 将直线y＝x＋m与椭圆C联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.因为直线y＝x＋m与椭圆C相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2.由题意，F1(－，0)，F2(，0)，因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C.
7．解析：∵＋＝1表示椭圆，
∴m>0且m≠3.由
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
8．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0，由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
答案：±1
9．解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程＋＝1，可得
两式相减可得＋＝0，
变形可得kAB＝＝，
又AB的中点M为(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
代入上式可得，kAB＝＝，
又kAB＝kMF，F(4,0)，kMF＝，
所以＝，3b2＝a2，又a2＝b2＋c2，c2＝16，解得a2＝24，b2＝8，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．解析：由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2，所以＝，由|PF1|＝，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝，故|F1M|∶|F2M|＝3∶5.
答案：3∶5
11．解析：如图所示，设P(x0，y0)，则＋＝1，易知A(－2,0)，B(2，0)，直线PA和直线PB的斜率存在，且斜率之积为kPA·kPB＝·＝＝－.
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，则M(4,6k)，
直线PB的方程为y＝－(x－2)，则N，
所以|MN|＝＝|6k|＋≥2＝6.
当且仅当12k2＝3，即k＝±时，等号成立，故|MN|的最小值为6.
答案：6
12．解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0，1)，∴c＝1 ①，
又∵点在椭圆C：＋＝1上，
∴＋＝1 ②，
而a2＝b2＋c2 ③，
∴联立①②③得
∴椭圆方程为＋x2＝1.
(2)设l：y＝x＋m与椭圆相切，
∴联立方程组
∴3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－4×3(m2－2)＝0，∴m＝±，
显然易知当m＝－时，l：y＝x－与y＝x－4距离最近，
∴d＝＝＝2－.
13．解：(1)由椭圆M：＋＝1 的短半轴长为3，离心率为，可得b＝3且＝，即a＝c，因为a2＝b2＋c2，可得2c2＝9＋c2，解得c＝3，所以a＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(1,1)为AB的中点，
可得＝1，＝1，
则两式相减得9(x2－x1)(x1＋x2)＋18(y2－y1)(y1＋y2)＝0，
即＝－＝－，即kAB＝－，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0，
联立方程组
整理得x2－2x－9＝0，
可得x1＋x2＝2，x1x2＝－9，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝5.
14．解：设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|BM|2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2①，
由＋＝1，有x2＝(b2－y2)②.
将②代入①式，整理得|BM|2＝y2＋2by＋(a2＋b2)＝·2＋.
∵－b≤y≤b，
当b≤c时，≤b，
∴当y＝时，|BM|的最大值为.
当b>c时，>b，
∴当y＝b时，点M为(0，b)，即y轴上方顶点位置，∴|BM|的最大值为2b.
综上所述，当b≤c时，这些弦中的最大弦长为；当b>c时，这些弦中的最大弦长为2b.
15．解：(1)由题意得
解得
所以e＝＝＝.
(2)法一 kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，
|AP|＝＝，由(1)知C：＋＝1.
设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度，
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为x＋2y＋E＝0，
则＝，解得E＝6或E＝－18，
当E＝6时，联立
解得或
即B(0，－3)或B，
当B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，
当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0.
当E＝－18时，联立
得2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．
综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
法二 当l的斜率不存在时，l：x＝3，B，|PB|＝3，A到PB的距离d＝3，
此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件．
当l的斜率存在时，设PB：y－＝k(x－3)，
令P(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消y可得(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0，
Δ＝(24k2－12k)2－4(4k2＋3)(36k2－36k－27)>0，且k≠kAP，即k≠－，
所以|PB|＝ ＝，
A到直线PB的距离d＝，S△PAB＝··＝9，
所以k＝或k＝，均满足题意，所以l：y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
法三 当l的斜率不存在时，l：x＝3，B，|PB|＝3，A到PB的距离d＝3，
此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件．
当直线l斜率存在时，
设l：y＝k(x－3)＋，
l与y轴的交点为Q，令x＝0，
则Q，
联立
则有(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0，
其中Δ＝64k22－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)>0，且k≠－，
则3xB＝，xB＝，
则S＝|AQ||xP－xB|
＝＝9，解得k＝或k＝，经代入判别式验证均满足题意．
则直线l为y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
