3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.掌握双曲线的简单几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等).
2.能用双曲线的简单性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等.
1.双曲线的几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
范围
对称性 对称轴: 对称中心:
顶点 , ,
实轴和 虚轴 实轴:线段A1A2,长:
虚轴:线段B1B2,长:
实半轴长: ,虚半轴长:
焦点 (±,0) (0,±)
渐近线 y= y=
离心率 e= ,e∈
2.等轴双曲线
实轴和虚轴 的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是 .
|微|点|助|解|
(1)由=1+知,当|x|无限增大时,|y|也随之无限增大,所以双曲线是不封闭的曲线.
(2)双曲线的顶点只有两个,即实轴的两个端点,虚轴的两个端点并不在双曲线上.另外,实轴长不一定大于虚轴长,这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来.
(3)e===,决定双曲线的开口大小,越大,双曲线的开口就越大,所以越大,e越大,双曲线开口越大;越小,e越小,双曲线的开口就越小.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)双曲线上的点到焦点的距离最小值:同侧时最小值为c-a,异侧时最小值为c+a.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ( )
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线. ( )
(4)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0. ( )
2.(多选)已知双曲线C:-=1,则下列选项正确的是 ( )
A.C的焦点坐标为(±4,0)
B.C的顶点坐标为(0,±3)
C.C的离心率为
D.C的虚轴长为2
3.如图,直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1,2,3,4),其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是 ( )
A.e2C.e2题型(一) 由双曲线的标准方程研究其几何性质
[例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
听课记录:
[变式拓展]
将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0,n>0)”,结论不变,如何求解
|思|维|建|模|
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
[针对训练]
1.(多选)已知双曲线C:-=1,则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直,则m=2
C.若(2,0)是双曲线C的一个焦点,则m=2
D.若m=2,则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
题型(二) 由双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
听课记录:
|思|维|建|模|
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程,一般是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式,但是不知焦点所处的位置,可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.
②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0),再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.
[针对训练]
2.已知双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数,且焦点所在轴相同,则该双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.已知双曲线的一个焦点为(,0),渐近线方程为x±y=0,则该双曲线的标准方程为 ( )
A.-x2=1 B.y2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
题型(三) 双曲线的渐近线
[例3] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点到其渐近线的距离为2a,则C的渐近线的斜率为 ( )
A.± B.±
C.±2 D.±
听课记录:
|思|维|建|模|
求双曲线的渐近线方程的基本步骤
(1)利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系;
(2)确定双曲线焦点的位置;
(3)写出双曲线的渐近线方程:当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±x;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线方程为y=±x.
[针对训练]
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 .
5.已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 .
题型(四) 双曲线的离心率
[例4] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若以线段F1F2为直径的圆与直线ax-by+2ac=0有交点,则双曲线C的离心率取值范围为 .
听课记录:
|思|维|建|模| 求双曲线离心率的常用方法
直接法 已知a,c可直接利用e=求解,已知a,b(或已知渐近线方程)可利用e=求解
方程法 若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的方程求解
不等关系 求双曲线离心率的取值范围,关键是根据条件得到不等关系,并想办法转化为关于a,b,c的不等关系
[针对训练]
6.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点),则该双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C.2 D.或2
7.已知F1,F2是双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若3|AB|>|F1F2|,则双曲线离心率的取值范围是 .
第1课时 双曲线的简单几何性质
?课前预知教材
1．x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 坐标轴
原点 A1(－a,0) A2(a,0) A1(0，－a)
A2(0，a) 2a 2b a b ±x ±x
(1，＋∞) 2.等长 y＝±x
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.BCD 3.C
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
[变式拓展]
解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，a＝，b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2.
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
[针对训练]
1．选BC 由双曲线C：－＝1且m>0，则实轴长为2a＝2，A错误；由渐近线为y＝± x，若相互垂直，则－＝－1 m＝2，B正确；由(2,0)为焦点，则c＝2，则2＋m＝c2＝4 m＝2，C正确；若m＝2，则双曲线C：－＝1，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为c－a＝2－，D错误．故选BC.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝①.
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1②.
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝③.
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1④.
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[针对训练]
2．选C 因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，离心率e＝，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e＝2, 即＝2，所以c2＝4a2，又因为双曲线的虚轴长为4, 即2b＝4，所以b＝2, 即c2－a2＝3a2＝4，所以a2＝，所以所求双曲线的方程为－＝1.
3．选D 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，＝，再由c2＝a2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，该双曲线的标准方程为－y2＝1，故选D.
[题型(三)]
[例3] 选A 设C的半焦距为c(c>0)，则c2＝a2＋b2，根据对称性，可知C的上焦点(0，c)到其渐近线ax－by＝0的距离为＝b，所以2a＝b，所以C的渐近线的斜率为±＝±.故选A.
[针对训练]
4．解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
5．解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4.
答案：4
[题型(四)]
[例4] (1)解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5.又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝.
答案：
(2)解析：以线段F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝c2，与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则圆心到直线的距离d＝＝2a≤c，所以双曲线的离心率e＝≥2.
答案：[2，＋∞)
[针对训练]
6．选B 在Rt△OAF中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝＝，所以e＝＝＝＝，故选B.
7．解析：如图，设以F2(c,0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，所以|AB|＝2.因为3|AB|>|F1F2|，所以3×2>2c，所以9a2－9b2>c2，又b2＝c2－a2，所以<，所以e<.因为e>1，所以双曲线离心率的取值范围是.
答案：(共52张PPT)
3.2.2
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.掌握双曲线的简单几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等).
2.能用双曲线的简单性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.双曲线的几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
范围 __________________ __________________
对称性 对称轴:__________ 对称中心:_______
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
坐标轴
原点
顶点 _________, _________ _________, _________
实轴和 虚轴 实轴:线段A1A2,长:_____
虚轴:线段B1B2,长:_____
实半轴长:_____,虚半轴长:_____
焦点 (±,0) (0,±)
焦距 |F1F2|=2c
渐近线 y=_________ y=________
离心率 e=______,e∈_________
A1(-a,0)
A2(a,0)
A1(0,-a)
A2(0,a)
2a
2b
a
b
±x
±x
(1,+∞)
续表
2.等轴双曲线
实轴和虚轴______的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是_______.
y=±x
等长
|微|点|助|解|
(1)由=1+知,当|x|无限增大时,|y|也随之无限增大,所以双曲线是不封闭的曲线.
(2)双曲线的顶点只有两个,即实轴的两个端点,虚轴的两个端点并不在双曲线上.另外,实轴长不一定大于虚轴长,这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来.
(3)e===,决定双曲线的开口大小,越大,双曲线的开口就越大,
所以越大,e越大,双曲线开口越大;越小,e越小,双曲线的开口就越小.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)双曲线上的点到焦点的距离最小值:同侧时最小值为c-a,异侧时最小值为c+a.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ( )
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线. ( )
(4)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0. ( )
√
×
√
√
2.(多选)已知双曲线C:-=1,则下列选项正确的是( )
A.C的焦点坐标为(±4,0) B.C的顶点坐标为(0,±3)
C.C的离心率为 D.C的虚轴长为2
√
√
√
解析:因为a2=9,b2=7,所以a=3,b=,c==4.因为焦点在y轴上,所以C的焦点坐标为(0,±4),故A错误;顶点为(0,±3),故B正确;离心率为,故C正确;虚轴长为2,故D正确.
3.如图,直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1,2,3,4),
其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的
大小关系是 ( )
A.e2C.e2√
解析:根据双曲线离心率大于1,椭圆离心率在(0,1)之间,则e3,e4都大于e1,e2,根据椭圆越接近圆,则其离心率越接近0,故e2e3,综上e2课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 由双曲线的标准方程研究其几何性质
[例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1,即-=1,∴a=3,b=2,c=.
因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),
焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),
实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e==,
渐近线方程为y=±x=±x.
[变式拓展]
将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0,n>0)”,结论不变,如何求解
解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0),
由此可知,a=,b=,c=,
焦点坐标为(,0),(-,0),
离心率e===,
顶点坐标为(-,0),(,0),
实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2.
所以渐近线方程为y=± x,即y=±x.
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
|思|维|建|模|
针对训练
1.(多选)已知双曲线C:-=1,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直,则m=2
C.若(2,0)是双曲线C的一个焦点,则m=2
D.若m=2,则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
√
√
解析:由双曲线C:-=1且m>0,则实轴长为2a=2,A错误;由渐近线为y=±x,若相互垂直,则-=-1 m=2,B正确;由(2,0)为焦点,则c=2,则2+m=c2=4 m=2,C正确;若m=2,则双曲线C:-=1,故双曲线C上的点到焦点距离最小值为c-a=2-,D错误.故选BC.
题型(二) 由双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
解:依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=,
∴a=5,b==12,故其标准方程为-=1.
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
解:法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=①.
∵A(2,-3)在双曲线上,
∴-=1②.
联立①②,无解.
若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=③.
∵A(2,-3)在双曲线上,
∴-=1④.
联立③④,解得a2=8,b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
解:法二 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),
∵A(2,-3)在双曲线上,
∴-(-3)2=λ,即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程,一般是先定型(焦点在哪个轴上),
再定量(确定a2,b2的值).
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式,但是不知焦点所处的位置,
可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.
②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为
-=λ(λ≠0),再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.
|思|维|建|模|
针对训练
2.已知双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数,且焦点所在轴相同,则该双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
√
解析:因为椭圆+=1的焦点在y轴上,离心率e=,所以所求双曲线的焦点也在y轴上,离心率e=2, 即=2,所以c2=4a2,又因为双曲线的虚轴长为4, 即2b=4,所以b=2, 即c2-a2=3a2=4,所以a2=,所以所求双曲线的方程为-=1.
3.已知双曲线的一个焦点为(,0),渐近线方程为x±y=0,则该双曲线的标准方程为( )
A.-x2=1 B.y2-=1 C.x2-=1 D.-y2=1
解析:由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=,=,再由c2=a2+b2,
解得a2=2,b2=1,该双曲线的标准方程为-y2=1,故选D.
√
[例3] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点到其渐近线的距离为2a,则C的渐近线的斜率为( )
A.± B.± C.±2 D.±
题型(三) 双曲线的渐近线
解析:设C的半焦距为c(c>0),则c2=a2+b2,根据对称性,可知C的上焦点(0,c)到其渐近线ax-by=0的距离为=b,所以2a=b,所以C的渐近线的斜率为±=±.故选A.
√
求双曲线的渐近线方程的基本步骤
(1)利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系;
(2)确定双曲线焦点的位置;
(3)写出双曲线的渐近线方程:当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±x;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线方程为y=±x.
|思|维|建|模|
针对训练
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为______________.
y=±x
解析:∵e==2,∴c=2a,又c2=a2+b2,∴4a2=a2+b2,b2=3a2,b=a,∴双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
5.已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,
则C的焦距为______.
4
解析:易得双曲线C的渐近线方程为y=± x,
又知C的一条渐近线方程为y=-x,则=,
解得m=3.故C的方程为-y2=1.所以C的焦距为4.
[例4] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点
分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,
则C的离心率为___________.
题型(四) 双曲线的离心率
解析:由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,
将x=c代入-=1得y=±,即A,B,
故|AB|==10,|AF2|==5.又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|
=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,
故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若以线段F1F2为直径的圆与直线ax-by+2ac=0有交点,则双曲线C的离心率取值范围为____________.
[2,+∞)
解析:以线段F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=c2,与直线ax-by+2ac=0有交点,则圆心到直线的距离d==2a≤c,所以双曲线的离心率e=≥2.
求双曲线离心率的常用方法
|思|维|建|模|
直接法 已知a,c可直接利用e=求解,已知a,b(或已知渐近线方程)
可利用e=求解
方程法 若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的方程求解
不等关系 求双曲线离心率的取值范围,关键是根据条件得到不等关系,并想办法转化为关于a,b,c的不等关系
6.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点),则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.或2
针对训练
√
解析:在Rt△OAF中,因为∠AFO=2∠AOF,所以∠AOF=30°,
则tan 30°==,所以e====,故选B.
7.已知F1,F2是双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,
a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若3|AB|>|F1F2|,
则双曲线离心率的取值范围是____________.
解析:如图,设以F2(c,0)为圆心,a为半径的圆与
双曲线的一条渐近线bx-ay=0交于A,B两点,
则F2到渐近线bx-ay=0的距离d==b,
所以|AB|=2.因为3|AB|>|F1F2|,
所以3×2>2c,所以9a2-9b2>c2,
又b2=c2-a2,所以<,所以e<.因为e>1,
所以双曲线离心率的取值范围是.
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1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
解析:由已知得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
√
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2.(多选)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2√
√
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3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 ( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
√
解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
∴c=4,a2=b2=c2=×16=8,即双曲线方程为x2-y2=8.
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4.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),
点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.
√
解析:设F1(0,-4),F2(0,4),P(-6,4),则|F1F2|=2c=8,
|PF1|==10,|PF2|==6,
则2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4,则e===2.故选C.
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5.(多选)已知椭圆C1:+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为椭圆C1,双曲线C2的离心率,则( )
A.0 C.m>n D.当n=1时,m=3
√
√
解析:因为椭圆C1,双曲线C2的焦点相同,所以m>1,m2-1=n2+1,
所以m2=n2+2,所以m>n,当n=1时,m=,故A、D错误,C正确.
因为(e1e2)2=·=·==1+>1,所以e1>,
故B正确.
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6.(多选)已知双曲线C:-=-1的焦点分别为F1,F2,则下列结论正确的是( )
A.渐近线方程为3x±4y=0
B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
√
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解析:由题意可得C:-=1,故渐近线为3y=±4x,故A错误;易知双曲线和
椭圆的离心率分别为e1==,e2==,显然它们不互为倒数,故B错误;
由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2×3=6,若|PF1|=2|PF2|,则||PF1|-|PF2||=|PF2|
=6,|PF1|=12,又|F1F2|=2×=10,故△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|
=6+12+10=28,故C正确;由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点,即最短距离为6,故D正确.
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7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线
与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A. B. C. D.
解析:根据双曲线的离心率e==,得c=a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,=4,
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.
法一 由得5x2-16x+12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
所以|AB|=|x1-x2|==,故选D.
法二 因为圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d==,所以|AB|=2=2=,故选D.
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8. (5分)已知双曲线-=1的离心率e=,实半轴长为4,则双曲线的方程为____________.
-=1
解析:由已知可得解得b=3,所以双曲线方程为-=1.
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9. (5分)若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为___________.
y=±x
解析:∵=,∴==,∴=,∴=,∴=.又∵双曲线的焦点在y轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
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10. (5分)已知点B1,B2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)虚轴的两个端点,
过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若△PQB2为正三角形,则该双曲线的离心率e为 .
解析:如图所示,依题意Q点纵坐标为b,把y=b代入
双曲线方程可得x=±a,所以点Q的坐标为(a,b),
又Rt△B2B1Q中,tan∠B1B2Q===,
则=,e===.
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11. (5分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.
若双曲线E上存在一点P使得|+|=b,则双曲线E的离心率的
取值范围为_______________.
[,+∞)
解析:如图所示,+=2,所以2||=b,
所以||=,又因为||≥||=a,即≥a,
即b≥2a,所以离心率e==≥=,
所以双曲线的离心率的取值范围为[,+∞).
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12.(10分)已知双曲线的两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0),点P是双曲线
左支上的一点,|PF2|-|PF1|=4.
(1)求双曲线的标准方程;(5分)
解:由题意可得,c=4,a=2,则b==2,且焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程.(5分)
解:由(1)可知,该双曲线的实半轴长为2,虚半轴长为2,离心率为e==2,
渐近线方程为y=±x.
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13.(10分)求中心在原点,适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是10,且经过点(10,3);(5分)
解:设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为两顶点间的距离是10,且经过点(10,3),
则解得则双曲线方程为-=1.
(2)一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分)
解:因为一个焦点坐标为(5,0),可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=5,
由一条渐近线方程为3x-4y=0,可得y=x,则=,
设a=4k,b=3k,k>0,则c2=a2+b2 52=(4k)2+(3k)2,解得k=1,
则a=4,b=3,所以双曲线方程为-=1.
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14.(15分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(3,-1),点M(3,m)在双曲线上.求:
(1)双曲线的方程;(5分)
解:因为e=,所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为过点(3,-1),所以9-1=λ,即λ=8,所以双曲线的方程为x2-y2=8.
(2)·;(5分)
解:由(1)可设F1(-4,0),F2(4,0),所以=(-4-3,-m),=(4-3,-m),
所以·=(-4-3)×(4-3)+m2=2+m2,因为M点在双曲线上,
所以18-m2=8,即m2=10,所以·=12.
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(3)△F1MF2的面积.(5分)
解:△F1MF2的底|F1F2|=8,由(2)知m=±,
所以△F1MF2的高h=|m|=,
所以=×8×=4.
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15.(15分)已知双曲线C:-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;(8分)
解:由题可设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
①当λ>0时,方程为-=1,令4λ=得λ=,即双曲线方程为-=1,
即-=1.
②当λ<0时,方程为-=1,令-3λ=得λ=-3,即双曲线方程为-=1.
所以双曲线的标准方程为-=1或-=1.
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(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.(7分)
解:设P点的坐标为(x0,y0)(x0≥2),则满足-=1,
|PA|=====,则当x0=时,|PA|有最小值为.课时检测（三十四） 双曲线的简单几何性质
1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于 ( )
A.6 B.8
C.9 D.10
2.(多选)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值可以是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 ( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
4.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.
5.(多选)已知椭圆C1:+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为椭圆C1,
双曲线C2的离心率,则 ( )
A.0
C.m>n D.当n=1时,m=3
6.(多选)已知双曲线C:-=-1的焦点分别为F1,F2,则下列结论正确的是 ( )
A.渐近线方程为3x±4y=0
B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( )
A. B.
C. D.
8.(5分)已知双曲线-=1的离心率e=,实半轴长为4,则双曲线的方程为 .
9.(5分)若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为 .
10.(5分)已知点B1,B2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)虚轴的两个端点,过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若△PQB2为正三角形,则该双曲线的离心率e为 .
11.(5分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若双曲线E上存在一点P使得|+|=b,则双曲线E的离心率的取值范围为 .
12.(10分)已知双曲线的两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0),点P是双曲线左支上的一点,|PF2|-|PF1|=4.
(1)求双曲线的标准方程;(5分)
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程.(5分)
13.(10分)求中心在原点,适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是10,且经过点(10,3);(5分)
(2)一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分)
14.(15分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(3,-1),点M(3,m)在双曲线上.求:
(1)双曲线的方程;(5分)
(2)·;(5分)
(3)△F1MF2的面积.(5分)
15.(15分)已知双曲线C:-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;(8分)
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.(7分)
课时检测(三十四)
1．选B 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2．选AB 由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选AB.
3．选A 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8.
4．选C 设F1(0，－4)，F2(0,4)，P(－6,4)，则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝ ＝6，则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝＝2.故选C.
5．选BC 因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2－1＝n2＋1，所以m2＝n2＋2，所以m>n，当n＝1时，m＝，故A、D错误，C正确．因为(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1>，故B正确．
6．选CD 由题意可得C：－＝1，故渐近线为3y＝±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1＝＝，e2＝＝，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2×3＝6，若|PF1|＝2|PF2|，则||PF1|－|PF2||＝|PF2|＝6，|PF1|＝12，又|F1F2|＝2×＝10，故△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝6＋12＋10＝28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．
7．选D 根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一 由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝·|x1－x2|＝ ＝，故选D.
法二 因为圆心(2,3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D.
8．解析：由已知可得解得b＝3，所以双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
9．解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
10．解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b，把y＝b代入双曲线方程可得x＝±a，所以点Q的坐标为(a，b)，又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q＝＝＝，则＝，e＝＝＝.
答案：
11．解析：如图所示，＋2＝2，所以2||＝b，所以||＝，又因为||≥||＝a，即≥a，即b≥2a，所以离心率e＝＝≥＝，所以双曲线的离心率的取值范围为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
12．解：(1)由题意可得，c＝4，a＝2，则b＝＝2，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由(1)可知，该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为2，离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x.
13．解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)，
则解得则双曲线方程为－＝1.
(2)因为一个焦点坐标为(5,0)，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5，由一条渐近线方程为3x－4y＝0，可得y＝x，则＝，
设a＝4k，b＝3k，k>0，则c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，
则a＝4，b＝3，所以双曲线方程为－＝1.
14．解：(1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)由(1)可设F1(－4,0)，F2(4,0)，所以1＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，
所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以1·＝12.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝8，由(2)知m＝±，所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△MF1F2＝×8×＝4.
15．解：(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
①当λ>0时，方程为－＝1，令4λ＝2得λ＝，即双曲线方程为－＝1，即－＝1.
②当λ<0时，方程为－＝1，令－3λ＝2得λ＝－3，即双曲线方程为－＝1.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足－＝1，
|PA|＝
＝
＝
＝
＝，则当x0＝时，|PA|有最小值为.
