第2课时 双曲线简单几何性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
进一步学习双曲线的简单几何性质,并能利用双曲线的性质解决实际应用问题及与最值、范围有关的问题.
题型(一) 双曲线的实际应用
[例1] 从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,
|AB|=|BC|=|CD|=1,则该双曲线的焦距为 ( )
A. B.
C.2 D.
听课记录:
|思|维|建|模|
求解与双曲线有关的应用题时,首先要建立适当的平面直角坐标系,设出相应点的坐标,然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述,转化为数学问题求解.
[针对训练]
1.A,B,C是我方三个炮兵阵地.A在B的正东,相距6千米;C在B的北偏西30°,相距4千米.P为敌炮兵阵地.某时刻A发现P地某种信号,4秒后B,C两地才同时发现这种信号(该信号的传播速度为1千米/秒).若从A地炮击P地,求准确炮击的方位角.
题型(二) 双曲线的第二定义
[例2] 若动点P(x,y)满足4=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
听课记录:
|思|维|建|模|
若动点M到定点F(c,0)的距离和它到定直线x=的距离的比是e=,则当01时,动点M的轨迹是双曲线.这就是椭圆和双曲线的第二定义.其中直线x=±叫做椭圆(或双曲线)的准线.
[针对训练]
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为左支上一点,P到左准线的距离为d,若|PF1|2=d·|PF2|,则其离心率的取值范围是 ( )
A.[,+∞) B.(1,]
C.[1+,+∞) D.(1,1+]
题型(三) 双曲线几何性质的综合应用
[例3] (1)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)双曲线几何性质的综合应用涉及的知识较宽,如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识.在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
①若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.
②若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
[针对训练]
3.(多选)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则 ( )
A.渐近线方程为y=±x
B.渐近线方程为y=±x
C.∠MAN=60°
D.∠MAN=120°
第2课时 双曲线简单几何性质的应用
[题型(一)]
[例1] 选C 如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则该双曲线过点(，)，且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以该双曲线的焦距为2.
[针对训练]
1．解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，依题意|PB|－|PA|＝4，
∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．其中a＝2，c＝3，b2＝5，其方程为－＝1(x≥2)，又|PB|＝|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上，作PD⊥BC于点D，则直线PD：x－y＋7＝0，由方程组结合x≥2，解得即P(8，5)．由于kAP＝，可知P在北偏东30°方向．
[题型(二)]
[例2] 选B 由等式4＝|3x＋4y＋2|可得＝>1，即动点P到定点(1,2)与定直线3x＋4y＋2＝0的距离之比为且大于1，而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线．故选B.
[针对训练]
2．选D ∵|PF1|2＝d·|PF2|，∴＝＝e，即|PF2|＝e|PF1| ①.
又|PF2|－|PF1|＝2a ②，由①②解得|PF1|＝，|PF2|＝.又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即≥2c，即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋.又e>1，∴1[题型(三)]
[例3] (1)选A 设F1(－，0)，F2(，0)，因为－y＝1，所以1·2＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－(2)选B 不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
[针对训练]
3．选BC 由题意可得e＝＝，设c＝2t，则a＝t，t＞0，b＝＝t，所以圆A的圆心为(t,0)，半径长为t，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，圆心A到渐近线的距离d＝＝t，所以弦长|MN|＝2＝2＝t＝b，可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.(共32张PPT)
双曲线简单几何性质的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
进一步学习双曲线的简单几何性质,并能利用双曲线的性质解决实际应用问题及与最值、范围有关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 双曲线的实际应用
题型(二) 双曲线的第二定义
题型(三) 双曲线几何性质的综合应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 双曲线的实际应用
01
[例1] 从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,
|AB|=|BC|=|CD|=1,则该双曲线的焦距为( )
A. B. C.2 D.
√
解析:如图,以O为原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则该双曲线过点(,),且a=1,所以-=1,解得b2=2,所以c2=a2+b2=3,得c=,所以该双曲线的焦距为2.
求解与双曲线有关的应用题时,首先要建立适当的平面直角坐标系,设出相应点的坐标,然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述,转化为数学问题求解.
|思|维|建|模|
针对训练
1.A,B,C是我方三个炮兵阵地.A在B的正东,相距6千米;C在B的北偏西30°,相距4千米.
P为敌炮兵阵地.某时刻A发现P地某种信号,4秒后B,C两地才同时发现这种信号
(该信号的传播速度为1千米/秒).若从A地炮击P地,求准确炮击的方位角.
解:以线段AB的中点为原点,正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),依题意|PB|-|PA|
=4,∴P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.其中a=2,c=3,
b2=5,其方程为-=1(x≥2),又|PB|=|PC|,∴P又在线段BC的垂直平分线上,作PD⊥BC于点D,则直线PD:x-y+7=0,
由方程组结合x≥2,解得即P(8,5).由于kAP=,
可知P在北偏东30°方向.
题型(二) 双曲线的第二定义
02
[例2] 若动点P(x,y)满足4=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线
解析:由等式4=|3x+4y+2|可得=>1,即动点P到定点(1,2)与定直线3x+4y+2=0的距离之比为且大于1,
而定点不在定直线上,所以动点P的轨迹为双曲线.故选B.
√
若动点M到定点F(c,0)的距离和它到定直线x=的距离的比是e=,则当01时,动点M的轨迹是双曲线.这就是椭圆和双曲线的第二定义.其中直线x=±叫做椭圆(或双曲线)的准线.
|思|维|建|模|
针对训练
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为左支上一点,
P到左准线的距离为d,若|PF1|2=d·|PF2|,则其离心率的取值范围是( )
A.[,+∞) B.(1,]
C.[1+,+∞) D.(1,1+]
√
解析:∵|PF1|2=d·|PF2|,∴==e,即|PF2|=e|PF1| ①.
又|PF2|-|PF1|=2a ②,由①②解得|PF1|=,|PF2|=.
又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即≥2c,即e2-2e-1≤0,
解得1-≤e≤1+.又e>1,∴1题型(三) 双曲线几何性质的综合应用
03
[例3] (1)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:设F1(-,0),F2(,0),因为-=1,所以·
=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,即3-1<0,解得-√
(2)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:不妨设D位于第一象限,双曲线的渐近线方程为y=±x,分别与x=a联立,可得D(a,b),E(a,-b),则|DE|=2b.∴S△ODE=×a×|DE|=a×2b
=ab=8,∴c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立.∴c2的
最小值为16,∴c的最小值为4,∴C的焦距的最小值为2×4=8.
√
(1)双曲线几何性质的综合应用涉及的知识较宽,如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识.在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
①若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.
②若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
|思|维|建|模|
针对训练
3.(多选)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,
以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则( )
A.渐近线方程为y=±x
B.渐近线方程为y=±x
C.∠MAN=60°
D.∠MAN=120°
√
√
解析:由题意可得e==,设c=2t,则a=t,t>0,b==t,所以圆A的圆心为(t,0),半径长为t,双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,圆心A到渐近线的距离d==t,所以弦长|MN|=2=2
=t=b,可得△MNA是边长为b的等边三角形,即有∠MAN=60°.故选BC.
课时跟踪检测
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1.如图,某绿色蔬菜种植基地在A处,要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去,现要求在农贸市场中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近,而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近,则该界线所在曲线为 ( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析:如图,设M是界限上的一点,则|MA1|+|AA1|=|MA2|+|AA2|,
所以|MA1|-|MA2|=|AA2|-|AA1|,即||MA1|-|MA2||=||AA2|-|AA1||,在△AA1A2中,||AA2|-|AA1||<|A1A2|,所以点M的轨迹为双曲线,即该界线所在曲线为双曲线.故选C.
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2.希腊数学家帕普斯指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线.当01时,轨迹为双曲线.现有方程m(x2+y2-2x+2y+2)=(x+y-3)2(m>0)表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,2) D.(2,+∞)
√
解析:由题意m(x2+y2-2x+2y+2)=(x+y-3)2,可以化为m[(x-1)2+(y+1)2]=(x+y-3)2,
两边同时开方得=|x+y-3|,所以=,
由几何意义可知,上式表示(x,y)到(1,-1)和直线x+y-3=0的距离之比,则e=>1,所以m∈(0,2).故选C.
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3.如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,
玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的
典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与直线
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是( )
√
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解析:依题意,双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点M,N,
则有解得a=,b=3,因此,双曲线C的渐近线方程为y=±x.
双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,A正确;双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,B不正确;双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,C不正确;双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,D不正确.故选A.
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4.3D打印是快速成型的一种技术,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm,下底直径为9 cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,则该塔筒的高为( )
A. cm B.18 cm C. cm D.9 cm
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解析:该塔筒的轴截面如图所示,以喉部(中间最细处)的中点O为原点,建立平面直角坐标系,设A与B分别为上、下底面对应点,双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由双曲线的离心率为,得=,则b2=4a2.由喉部(中间最细处)的直径为8 cm,得2a=8,a=4,所以双曲线的方程为-=1.设点A(xA,yA),B(xB,yB),由xA=3,xB=,得yA=2,yB=-7,所以该塔筒的高为yA-yB=9.故选D.
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5.某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6 km;C在B的北偏西30°方向,相距4 km;P为航天员的着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,4 s后B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s,则在A处测得P的方向角为 ( )
A.北偏东30° B.北偏东60°
C.北偏西30° D.北偏西60°
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解析:因为B,C同时接到信号,所以|PB|=|PC|,则点P在线段BC的垂直平分线上,因为B,C比A处同时晚4 s收到信号,所以有|PB|-|PA|=4<6=|AB|,从而P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,所以2a=4,c=3,则b2=c2-a2=5.如图,以线段AB的中点O为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,正东方向为x轴的正方向,建立如图所示的
平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),
所以双曲线的方程为-=1(x≥2),线段BC的
垂直平分线的方程为y-=(x+4),即x-y+7=0,
联立解得即点P(8,5),从而kPA==,所以直线PA的倾斜角为60°,则在A处测得P的方向角为北偏东30°,故选A.
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6.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则 ( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
√
√
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解析:等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;由双曲线的方程可知|F1F2|=2,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在直线y=x上,所以由解得|x0|=1,则点P的横坐标为±1,故C正确;由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1=,故D正确.
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7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的
方程是y2-x2=1,y∈[1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,
则清洁钢球的最大半径为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.2.5
解析:当清洁钢球能擦净凹槽的最底部时,轴截面如图所示,圆心在双曲线的对称轴上,并与双曲线的顶点相交,
设清洁钢球的半径为r,圆心为(0,r+1),则圆的方程为x2+(y-r-1)2=r2,代入双曲线方程y2-x2=1,得y2-(r+1)y+r=0,
∴y=1或y=r,要使清洁钢球到达最底部,则r≤1.故选A.
√
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8. (5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
若双曲线存在一点P使=,则该双曲线的离心率的取值范围是_________.
解析:在△PF1F2中,由正弦定理知=,
又=,∴=,∴P在双曲线右支上.
设P(x0,y0),如图,∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=.
由双曲线几何性质知|PF2|>c-a,则>c-a,
即e2-2e-1<0,∴1(1,1+)
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9.(10分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线
右支上一点,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,垂足为点H,|OH|=λ|OF1|,λ∈.
(1)当λ=时,求双曲线的渐近线方程;(5分)
解:如图所示,当x=c时,代入双曲线-=1,可得y=±,由Rt△OHF1与Rt△PF2F1相似,可得=.
因为|OH|=λ|OF1|,所以λ=,整理得2a2λ+b2λ=b2,
可得2a2λ=b2(1-λ),所以=.当λ=时,可得=1,
所以a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
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(2)求双曲线的离心率e的取值范围.(5分)
解:由(1)可得|PF2|=,则e2==1+=1+=1+=-1=-1-.又由函数f(λ)=-1-在上单调递增,
所以当λ=时,e2取得最大值3,当λ=时,e2取得最小值,即≤e2≤3,
所以≤e≤.故双曲线的离心率e的取值范围是.
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10.(10分)已知双曲线-=1的右焦点为F2,M是双曲线右支上一点,定点A(9,2),求|MA|+|MF2|的最小值.
解:由题意得a=3,b=4,则c===5,所以e==.过点M作MN垂直于双曲线的右准线x=,垂足为N,设|MN|=d,则=e,即|MF2|=d,
所以|MA|+|MF2|=|MA|+d.显然,当M,N,A三点
共线时,|MA|+|MF2|取得最小值,为xA-=9-=.课时检测（三十五） 双曲线简单几何性质的应用
1.如图,某绿色蔬菜种植基地在A处,要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去,现要求在农贸市场中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近,而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近,则该界线所在曲线为 ( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.希腊数学家帕普斯指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线.
当01时,轨迹为双曲线.现有方程m(x2+y2-2x+2y+2)
=(x+y-3)2(m>0)表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,2) D.(2,+∞)
3.如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,
是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与直线x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是 ( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
4.3D打印是快速成型的一种技术,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm,下底直径为9 cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,则该塔筒的高为 ( )
A. cm B.18 cm C. cm D.9 cm
5.某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6 km;C在B的北偏西30°方向,相距4 km;P为航天员的着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,4 s后B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s,则在A处测得P的方向角为 ( )
A.北偏东30° B.北偏东60°
C.北偏西30° D.北偏西60°
6.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则 ( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是y2-x2=1,y∈[1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.2.5
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线存在一点P使=,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
9.(10分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2⊥F1F2,
OH⊥PF1,垂足为点H,|OH|=λ|OF1|,λ∈.
(1)当λ=时,求双曲线的渐近线方程;(5分)
(2)求双曲线的离心率e的取值范围.(5分)
10.(10分)已知双曲线-=1的右焦点为F2,M是双曲线右支上一点,定点A(9,2),求|MA|+|MF2|的最小值.
课时检测(三十五)
1.选C 如图，设M是界限上的一点，则|MA1|＋|AA1|＝|MA2|＋|AA2|，所以|MA1|－|MA2|＝|AA2|－|AA1|，即||MA1|－|MA2||＝||AA2|－|AA1||，在△AA1A2中，||AA2|－|AA1||<|A1A2|，所以点M的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线．故选C.
2．选C 由题意m(x2＋y2－2x＋2y＋2)＝(x＋y－3)2，可以化为m[(x－1)2＋(y＋1)2]＝(x＋y－3)2，两边同时开方得＝|x＋y－3|，所以＝，由几何意义可知，上式表示(x，y)到(1，－1)和直线x＋y－3＝0的距离之比，则e＝>1，所以m∈(0,2)．故选C.
3．选A 依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点M，N，则有解得a＝，b＝3，因此，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，B不正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，C不正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，D不正确．故选A.
4.选D 该塔筒的轴截面如图所示，以喉部(中间最细处)的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上、下底面对应点，双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由双曲线的离心率为，得＝，则b2＝4a2.由喉部(中间最细处)的直径为8 cm，得2a＝8，a＝4，所以双曲线的方程为－＝1.设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由xA＝3，xB＝，得yA＝2，yB＝－7，所以该塔筒的高为yA－yB＝9.故选D.
5．选A 因为B，C同时接到信号，所以|PB|＝|PC|，则点P在线段BC的垂直平分线上，因为B，C比A处同时晚4 s收到信号，所以有|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，从而P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，所以2a＝4，c＝3，则b2＝c2－a2＝5.
如图，以线段AB的中点O为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，2)，所以双曲线的方程为－＝1(x≥2)，线段BC的垂直平分线的方程为y－＝(x＋4)，即x－y＋7＝0，联立解得即点P(8，5)，从而kPA＝＝，所以直线PA的倾斜角为60°，则在A处测得P的方向角为北偏东30°，故选A.
6．选ACD 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．
7．选A 当清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设清洁钢球的半径为r，圆心为(0，r＋1)，则圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，代入双曲线方程y2－x2＝1，得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，要使清洁钢球到达最底部，则r≤1.故选A.
8．解析：在△PF1F2中，由正弦定理知
＝，又＝，∴＝，∴P在双曲线右支上．设P(x0，y0)，如图，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，则＞c－a，即e2－2e－1＜0，∴1＜e＜1＋.
答案：(1,1＋)
9．解：(1)如图所示，当x＝c时，代入双曲线－＝1，可得y＝±，由Rt△OHF1与Rt△PF2F1相似，可得＝.因为|OH|＝λ|OF1|，所以λ＝，整理得2a2λ＋b2λ＝b2，可得2a2λ＝b2(1－λ)，所以＝.当λ＝时，可得＝1，所以a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)由(1)可得|PF2|＝，则e2＝＝1＋＝1＋＝1＋＝－1＝－1－.又由函数f(λ)＝－1－在上单调递增，
所以当λ＝时，e2取得最大值3，当λ＝时，e2取得最小值，即≤e2≤3，所以≤e≤.故双曲线的离心率e的取值范围是.
10．解：由题意得a＝3，b＝4，则c＝＝＝5，所以e＝＝.过点M作MN垂直于双曲线的右准线x＝，垂足为N，设|MN|＝d，则＝e，即|MF2|＝d，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d.显然，当M，N，A三点共线时，|MA|＋|MF2|取得最小值，为xA－＝9－＝.
