第3课时 直线与双曲线的位置关系 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标] 会判断直线与双曲线的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用.
题型(一) 判断直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线方程为y=kx+m(m≠0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将y=kx+m代入-=1,消去y并化简,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,判别式Δ>0 直线与双曲线相交,有两个公共点;判别式Δ=0 直线与双曲线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ<0 直线与双曲线相离,没有公共点.
[例1] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”,确定满足条件的实数k的取值范围.
|思|维|建|模|
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[针对训练]
1.直线y=与双曲线-y2=1交点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是 ( )
A.∪
B.
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-,)
题型(二) 弦长问题
[例2] 已知双曲线C的焦点在x轴上,焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=x.
(1)求C的标准方程;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求|AB|.
听课记录:
|思|维|建|模|
弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种:
①|AB|=|x1-x2|
=;
②|AB|=|y1-y2|
=(k≠0).
[针对训练]
3.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
题型(三) 中点弦问题
[例3] 设A,B为双曲线-=1上的两点,若线段AB的中点为M(1,2),则直线AB的方程是 ( )
A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0
听课记录:
|思|维|建|模| 中点弦问题的解决方法
根与系数的关系法 直线与双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点
点差法 利用弦两端点适合双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率
[针对训练]
4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.已知直线l:x-y+3=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点P(1,4)是弦AB的中点,则双曲线C的渐近线方程是 ( )
A.y=±4x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
第3课时 直线与双曲线的位置关系
[题型(一)]
[例1] 解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由得－[变式拓展]
解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
[针对训练]
1.选B 由题知，双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以直线l：y＝与双曲线的一条渐近线平行，由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点．
2．选B 由消去y并整理得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，
得解得－[题型(二)]
[例2] 解：(1)因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得2c＝4，所以c＝2①，
又双曲线C的一条渐近线为y＝x，
所以＝②，
又a2＋b2＝c2③，
联立上述式子解得a＝，b＝1，
故所求方程为－y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x2＋3x－6＝0，由Δ＝32－4××(－6)＝15>0，所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24，
即|AB|＝·＝
·＝10.
[针对训练]
3．选C 双曲线x2－＝1的右焦点为(，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝，代入双曲线x2－＝1可得y＝±2，即|AB|＝4，满足条件；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－0＝k(x－)，代入双曲线x2－＝1可得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝(2k2)2－4(2－k2)·(－3k2－2)＝12k4＋4(2－k2)(3k2＋2)＝16k2＋16>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝4＝，两边平方可得6k2＝3，解得k＝±，所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选C.
[题型(三)]
[例3] 选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则两式相减，
得＝，因为线段AB的中点为M(1,2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，因此由＝ ＝1，即直线AB的斜率为1，方程为y－2＝x－1 x－y＋1＝0，代入双曲线方程中，得y2－4y－14＝0，因为(－4)2－4×1×(－14)>0，所以线段AB存在，故选C.
[针对训练]
4．选C 直线l的方程为y＝·(x－3)，即y＝x－3，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，由消去y并整理得(b2－a2)x2＋6a2x－a2(9＋b2)＝0，Δ＝36a4－4a2(a2－b2)(9＋b2)＝4a2b2(9＋b2－a2)>0，因为弦AB的中点为N(－4，－7)，
于是得－＝－4，即a2＝b2，而a2＋b2＝9，解得a2＝，b2＝，满足Δ>0，所以双曲线E的方程为－＝1，即－＝1.
5．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，＝1.因为A，B两点在双曲线C上，所以所以－＝0，则＝＝＝×1＝4，即＝2，故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x.(共43张PPT)
直线与双曲线的位置关系
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第3课时
课时目标
会判断直线与双曲线的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 判断直线与双曲线的位置关系
题型(二) 弦长问题
题型(三) 中点弦问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 判断直线与双曲线的位置关系
01
一般地,设直线方程为y=kx+m(m≠0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将y=kx+m代入-=1,消去y并化简,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,判别式Δ>0 直线与双曲线相交,有两个公共点;判别式Δ=0 直线与双曲线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ<0 直线与双曲线相离,没有公共点.
[例1] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围.
解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)当1-k2≠0,
即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).由
得- [变式拓展]
若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”,确定满足条件的实数k的取值范围.
解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2).
由得k=±,
此时方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点;
当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点.
故当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与
双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
|思|维|建|模|
针对训练
1.直线y=与双曲线-y2=1交点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:由题知,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以直线l:y=与双曲线的一条渐近线平行,由图可知,直线l与双曲线有且只有一个交点.
√
2.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是( )
A.∪ B.
C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-,)
√
解析:由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0,由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,
得解得-题型(二) 弦长问题
02
[例2] 已知双曲线C的焦点在x轴上,焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=x.
(1)求C的标准方程;
解:因为焦点在x轴上,设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),
由题意得2c=4,所以c=2①,
又双曲线C的一条渐近线为y=x,
所以=②,
又a2+b2=c2③,
联立上述式子解得a=,b=1,
故所求方程为-y2=1.
(2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求|AB|.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+3x-6=0,
由Δ=32-4××(-6)=15>0,所以x1+x2=-12,x1x2=-24,
即|AB|=·
=·=10.
|思|维|建|模|
弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种:
①|AB|=|x1-x2|
=;
②|AB|=|y1-y2|
=(k≠0).
针对训练
3.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
解析:双曲线x2-=1的右焦点为(,0),当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,代入双曲线x2-=1可得y=±2,即|AB|=4,满足条件;当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y-0=k(x-),代入双曲线x2-=1可得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2k2)2-4(2-k2)·(-3k2-2)=12k4+4(2-k2)(3k2+2)=16k2+16>0,
x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=4=,两边平方可得6k2=3,解得k=±,所以斜率存在且满足条件的直线有2条,所以共有3条,故选C.
题型(三) 中点弦问题
03
[例3] 设A,B为双曲线-=1上的两点,若线段AB的中点为M(1,2),则直线AB的方程是( )
A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0
√
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则两式相减,得=,因为线段AB的中点
为M(1,2),所以x1+x2=2,y1+y2=4,因此由= =1,
即直线AB的斜率为1,方程为y-2=x-1 x-y+1=0,代入双曲线方程中,得y2-4y-14=0,因为(-4)2-4×1×(-14)>0,所以线段AB存在,故选C.
中点弦问题的解决方法
|思|维|建|模|
根与系数的关系法 直线与双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点
点差法 利用弦两端点适合双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率
针对训练
4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
解析:直线l的方程为y=·(x-3),即y=x-3,设双曲线E的方程为-
=1(a>0,b>0),由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0,
Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0,因为弦AB的中点为N(-4,-7),
于是得-=-4,即a2=b2,而a2+b2=9,解得a2=,b2=,满足Δ>0,所以双曲线E的方程为-=1,即-=1.
5.已知直线l:x-y+3=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点P(1,4)是弦AB的中点,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.y=±4x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x
√
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=8,=1.因为A,B两点在双曲线C上,所以所以-=0,则=
==×1=4,即=2,故双曲线C的渐近线方程是y=±2x.
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1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析:由题意,双曲线-=1(a>0,b>0),可得其渐近线方程为y=±x,因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.
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2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
解析:易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2√
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3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1)
√
解析:法一 将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,纵坐标为-1-1=-2,即中点坐标为(-1,-2).
法二 设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的中点为M(x0,y0),将A,B代入双曲线方程得2-=3,
2-=3,作差整理得kAB====1①,
又M在y=x-1上,则有y0=x0-1②,
联立①②解得x0=-1,y0=-2,所以M(-1,-2).
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4.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为 ( )
A. B. C. D.
解析:将直线x+y=1代入4x2-y2=1得3x2+2x-2=0.
设两交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|=×=.
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5.体育馆等建筑物的屋顶一般采用曲面结构.如图所示,某建筑物的屋顶采用双曲面结构,该建筑物屋顶外形弧线可看作是双曲线的
上支部分,其渐近线方程为y=±x,焦点坐标
为,那么该双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
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解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由渐近线方程为y=±x,得= ①,
又焦点坐标为,c=,
所以a2+b2= ②,
由①②解得a2=,b2=4,
所以双曲线的标准方程为-=1.
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6.已知F是双曲线-=1的左焦点,过F倾斜角为30°的直线与双曲线渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析:由双曲线-=1可知a=2,b=2,c=4,F(-4,0),故其渐近线方程为y=±x=±x,过F倾斜角为30°的直线方程为l:y-0=tan 30°(x+4),即l:y=(x+4),
不妨设l与渐近线的交点如图所示,由于×(-)=-1,即AB⊥OA.
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联立解得即A(-1,),则|OA|==2,
联立解得即B(2,2),则|OB|==4,
则|AB|= =2,故△OAB的面积为×|OA|×|AB|=×2×2=2,故选D.
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7.(多选)已知双曲线C:-y2=1,点A,B在C上,AB的中点为(1,1),则( )
A.C的渐近线方程为y=±2x B.C的右焦点为(2,0)
C.C与圆x2+y2=1没有交点 D.直线AB的方程为x-4y+3=0
√
√
解析:对于A、B,由双曲线C:-y2=1可得a2=4,b2=1,c2=5,所以渐近线
方程为y=±x=±x,右焦点为(,0),故A、B不正确;
对于C,联立消y可得x2=,代入x2+y2=1,解得y无实数根,
所以C与圆x2+y2=1没有交点,故正确;
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对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减,得
-(y1+y2)(y1-y2)=0,因为AB的中点为(1,1),所以等式可得-2(y1-y2)=0,
易得直线AB的斜率存在,故可得kAB==,则直线为y-1=(x-1),即x-4y+3=0,联立双曲线C的方程和直线x-4y+3=0,消去x,可得12y2-24y+5=0,此时Δ=576
-4×5×12>0,则直线与双曲线有两个交点,符合题意,故直线AB的方程为x-4y+3=0,故正确.
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8. (5分)(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,
则k的一个取值为_____________.
解析:联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,
由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意.
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9. (5分)已知A,B为双曲线x2-=1上两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4),
则直线AB的斜率为_________.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=,由线段AB的中点坐标为(-1,-4),
即-2(x1-x2)=,∴kAB==.
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10. (5分)已知直线MN:y=x+2和双曲线C:-=1相交于M,N两点,
O为原点,则△OMN面积为__________.
解析:联立得x2-4x-24=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4,
x1x2=-24,所以|MN|==,又因为点O到直线MN的距离为d=,所以S△OMN=|MN|d=××=4.
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11. (5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为________.
解析:由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1),
=(-c,y0),因为=-,所以即
所以A.=,=(c,y0),因为⊥,所以·=0,
即c2-=0,解得=4c2.
因为点A在双曲线C上,所以-=1,又=4c2,所以-=1,
即-=1,化简得=,所以e2=1+=,所以e=.
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12. (5分)如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是____________;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是_______km.
解析:以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图,由题意得|MA|-|MB|=4<6,根据双曲线定义知,轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支,故2a=4,a=2,2c=6,c=3,
b=,所以曲线PQ的轨迹方程为-=1(x≥2).因为|AC|=6,
所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,
C共线时等号成立.所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4)km.
-=1(x≥2)
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13.(10分)讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数.
解:联立直线和双曲线方程消去y得x2-(x+b)2=1.
整理得2bx+b2+1=0 ①,
若b=0,则方程①变为1=0,无解,此时直线与双曲线无公共点.
事实上,此时直线为y=x,就是双曲线的渐近线,自然与双曲线无公共点.
若b≠0,即直线平行于两条渐近线中的一条,方程①成为一元一次方程,有唯一解,原方程组有唯一一组解,此时直线与双曲线有一个公共点.
综上可知,b=0时,无公共点;b≠0时,有一个公共点.
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14.(10分)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.
(1)求直线l的方程;(6分)
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,所以直线的斜率为k==4,
所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6,
经验证y=4x-6符合题意,所以直线l的方程为y=4x-6.
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(2)求线段AB的长.(4分)
解:将y=4x-6代入x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=,
所以|AB|=·=×
=.
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15.(15分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
过F1的直线交双曲线C于P,Q两点,且∠F1PF2=60°,=a2.
(1)求双曲线C的渐近线方程;(6分)
解:由题意,得=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=|PF1|·|PF2|=a2,
所以|PF1|·|PF2|=4a2.
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2====,
所以c2=2a2,
所以b2=c2-a2=a2,所以b=a,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
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(2)当a=时,在x轴上求一点T,使得·为定值.(9分)
解:当a=时,双曲线C的方程为-=1,则F1(-2,0).
因为∠F1PF2=60°,所以直线PQ的斜率不为0,
设直线PQ的方程为x=my-2,
联立消x得(m2-1)y2-4my+2=0.
则解得m≠±1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
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则y1+y2=,y1y2=,
设T(t,0),则·=(x1-t,y1)·(x2-t,y2)
=(x1-t)(x2-t)+y1y2
=(my1-2-t)(my2-2-t)+y1y2
=(m2+1)y1y2-m(2+t)(y1+y2)+(2+t)2
=(m2+1)·-(2+t)·+(2+t)2=,
要使·为定值,则t2-2=t2+4t+2,即t=-1,此时·=-1,
所以点T(-1,0).课时检测（三十六） 直线与双曲线的位置关系
1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是 ( )
A.1 B.2
C.1或2 D.0
2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(2,1)
4.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为 ( )
A. B.
C. D.
5.体育馆等建筑物的屋顶一般采用曲面结构.如图所示,某建筑物的屋顶采用双曲面结构,该建筑物屋顶外形弧线可看作是双曲线的上支部分,其渐近线方程为y=±x,焦点坐标为,那么该双曲线的标准方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
6.已知F是双曲线-=1的左焦点,过F倾斜角为30°的直线与双曲线渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ( )
A.8 B.6
C.4 D.2
7.(多选)已知双曲线C:-y2=1,点A,B在C上,AB的中点为(1,1),则 ( )
A.C的渐近线方程为y=±2x
B.C的右焦点为(2,0)
C.C与圆x2+y2=1没有交点
D.直线AB的方程为x-4y+3=0
8.(5分)(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为 .
9.(5分)已知A,B为双曲线x2-=1上两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4),则直线AB的斜率为 .
10.(5分)已知直线MN:y=x+2和双曲线C:-=1相交于M,N两点,O为原点,则△OMN面积为 .
11.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,
点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为 .
12.(5分)如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是 ;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是
km.
13.(10分)讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数.
14.(10分)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.
(1)求直线l的方程;(6分)
(2)求线段AB的长.(4分)
15.(15分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线C于P,Q两点,且∠F1PF2=60°,=a2.
(1)求双曲线C的渐近线方程;(6分)
(2)当a=时,在x轴上求一点T,使得·为定值.(9分)
课时检测(三十六)
1．选A 由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其渐近线方程为y＝±x，因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．选A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23．选C 法一 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2)．
法二 设直线y＝x－1与双曲线2x2－y2＝3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得2x－y＝3,2x－y＝3，作差整理得kAB＝＝＝＝1①，
又M在y＝x－1上，则有y0＝x0－1②，
联立①②解得x0＝－1，y0＝－2，所以M(－1，－2)．
4．选B 将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1得3x2＋2x－2＝0.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝.
5．选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由渐近线方程为y＝±x，得＝ ①，
又焦点坐标为，c＝，
所以a2＋b2＝ ②，
由①②解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
6．选D 由双曲线－＝1可知a＝2，b＝2，c＝4，F(－4,0)，故其渐近线方程为y＝±x＝±x，过F倾斜角为30°的直线方程为l：y－0＝tan 30°(x＋4)，
即l：y＝(x＋4)，
不妨设l与渐近线的交点如图所示，由于×(－)＝－1，即AB⊥OA.
联立解得即A(－1，)，则|OA|＝＝2，
联立解得即B(2，2)，则|OB|＝＝4，则|AB|＝ ＝2，故△OAB的面积为×|OA|×|AB|＝×2×2＝2，故选D.
7．选CD 对于A、B，由双曲线C：－y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝5，所以渐近线方程为y＝±x＝±x，右焦点为(，0)，故A、B不正确；对于C，联立消y可得x2＝，代入x2＋y2＝1，解得y无实数根，所以C与圆x2＋y2＝1没有交点，故正确；对于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1，－y＝1，两式相减，得－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因为AB的中点为(1,1)，所以等式可得－2(y1－y2)＝0，易得直线AB的斜率存在，故可得kAB＝＝，则直线为y－1＝(x－1)，即x－4y＋3＝0，联立双曲线C的方程和直线x－4y＋3＝0，消去x，可得12y2－24y＋5＝0，此时Δ＝576－4×5×12>0，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线AB的方程为x－4y＋3＝0，故正确．
8．解析：联立化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，由题意得1－4k2＝0或Δ＝(24k2)2＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，解得k＝±或无解，即k＝±，经检验，符合题意．
答案：
9．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝，由线段AB的中点坐标为(－1，－4)，即－2(x1－x2)＝，∴kAB＝＝.
答案：
10．解析：联立得x2－4x－24＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－24，所以|MN|＝·＝，又因为点O到直线MN的距离为d＝，
所以S△OMN＝|MN|d＝××＝4.
答案：4
11．解析：由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，
所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，
所以即
所以A.＝，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2.
因为点A在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：
12．解析：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，由题意得|MA|－|MB|＝4<6，根据双曲线定义知，轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，故2a＝4，a＝2,2c＝6，c＝3，b＝，所以曲线PQ的轨迹方程为－＝1(x≥2)．因为|AC|＝6，所以|MB|＋|MC|＝|MC|＋|MA|－2a≥|AC|－4＝6－4，当且仅当A，M，C共线时等号成立．所以这两条公路MB，MC的路程之和最短为(6－4)km.
答案：－＝1(x≥2) 6－4
13．解：联立直线和双曲线方程消去y得x2－(x＋b)2＝1.
整理得2bx＋b2＋1＝0 ①，
若b＝0，则方程①变为1＝0，无解，此时直线与双曲线无公共点．
事实上，此时直线为y＝x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．
若b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．
综上可知，b＝0时，无公共点；b≠0时，有一个公共点．
14．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1，两式相减得x－x－＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，所以4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以直线的斜率为k＝＝4，
所以l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6，
经验证y＝4x－6符合题意，所以直线l的方程为y＝4x－6.
(2)将y＝4x－6代入x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝，
所以|AB|＝·＝× ＝.
15．解：(1)由题意，得S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝a2，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝＝，所以c2＝2a2，
所以b2＝c2－a2＝a2，所以b＝a，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
(2)当a＝时，双曲线C的方程为－＝1，则F1(－2,0)．
因为∠F1PF2＝60°，所以直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为x＝my－2，
联立消x得(m2－1)y2－4my＋2＝0.
则解得m≠±1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
设T(t,0)，则·＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)·(x2－t)＋y1y2
＝(my1－2－t)(my2－2－t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－m(2＋t)·(y1＋y2)＋(2＋t)2
＝(m2＋1)·－(2＋t)·＋(2＋t)2＝，
要使·为定值，则t2－2＝t2＋4t＋2，即t＝－1，此时·＝－1，所以点T(－1,0)．
