3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等).
2.能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程.会求抛物线的焦点弦问题.
1.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
范围 , y∈R x≤0, y∈R , x∈R y≤0, x∈R
对称轴 _______ _______ _______ _______
焦点坐标 _______ _______ _______ _______
准线方程 _______ x= _______ y=
顶点坐标 _______
离心率 e=1
通径长 _______
|微|点|助|解|
(1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
(3)当焦点弦垂直于对称轴时,其长度为2p,为最短焦点弦长,称为通径.
2.直线与抛物线的位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴. ( )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. ( )
(3)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. ( )
(4)由抛物线y2=2px(p>0)的图象可知,其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0. ( )
2.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 ( )
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
3.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
4.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
[例1] 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
[针对训练]
1.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,
若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
题型(二) 抛物线几何性质的简单应用
[例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程;
(2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
[针对训练]
2.F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
题型(三) 直线与抛物线的位置关系
[例3] 当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点 仅有一个公共点 无公共点
听课记录:
|思|维|建|模|
判断直线与抛物线的位置关系的方法
联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于零时,直线与抛物线相交于一点.
[针对训练]
4.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 ( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
第1课时 抛物线的简单几何性质
?课前预知教材
1．x≥0 y≥0 x轴 x轴 y轴 y轴
F F F
F x＝－ y＝－
O(0,0) 2p
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.B 3.D 4.D
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
[针对训练]
1．解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下．
设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.
因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5，
故解得
故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
(2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，，所以|AB|＝2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，所以a＝±2.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由抛物线方程知F，AB为抛物线的通径，则|AB|＝2p，∴S△AOB＝|OF|·|AB|＝××2p＝p2＝2，解得p＝2(舍负)，
∴抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)∵△MON为正三角形，∴|OM|＝|ON|＝|MN|，由抛物线对称性可知MN⊥x轴，
设MN：x＝t，则y2＝2pt，解得y1＝，y2＝－，∴|MN|＝2，∴tan 30°＝＝＝，解得t＝6p，
∴|MN|＝4p，即△MON的边长为4p.
[针对训练]
2.选C 抛物线C：y2＝12x中x＝1时可得y＝±2，且F(3，0)，则A(1,2)，B(1，－2)，取H(1,0)(如图)，∴tan∠AFH＝＝＝，∴∠AFH＝60°，由对称性可知∠AFB＝120°.
3．选B 将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，则P(2,2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1,1)，则OP的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，又OF的垂直平分线方程为x＝，又|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，所以点M的坐标为.
[题型(三)]
[例3] 解：由得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0.
当k＝0时，方程化为一次方程－4x＋4＝0，
该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解，
∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，二次方程的判别式Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1)，
当Δ>0时，得k2－2k－1<0,1－∴当1－由Δ＝0得k＝1±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由Δ<0得k<1－或k>1＋，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；
当1－1＋时，直线与抛物线无公共点．
[针对训练]
4．选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0)．∴当k＝0时，直线y＝0与抛物线有一个公共点，即顶点；当k≠0时，点(1,0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点．(共44张PPT)
3.3.2
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等).
2.能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程.会求抛物线的焦点弦问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
范围 ______,y∈R x≤0,y∈R ______,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 ______ ______ ______ ______
x≥0
y≥0
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标 _________ __________ __________ __________
准线方程 ________ ________
顶点坐标 ________ 离心率 e=1 通径长 ______ F
F
F
F
x=-
y=-
O(0,0)
2p
续表
|微|点|助|解|
(1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
(3)当焦点弦垂直于对称轴时,其长度为2p,为最短焦点弦长,称为通径.
2.直线与抛物线的位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立
消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴. ( )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. ( )
(3)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.
( )
(4)由抛物线y2=2px(p>0)的图象可知,其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.
( )
√
√
√
√
2.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 ( )
A.(-m,-n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-n,-m)
√
解析:由抛物线关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上.
3.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1)
解析:∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,即p=2,
∴抛物线的焦点坐标为(0,1).
√
4.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点.故满足题意的直线共有3条.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
[例1] 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,
∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,
∴p=6,
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3和x=3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
|思|维|建|模|
针对训练
1.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程;
解:因为顶点在原点,焦点在y轴上,点M(m,-3)位于第三或第四象限,故可确定所求抛物线的开口向下.
设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F.
因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,
故解得
故m=±2,抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
解:由题意,可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点为F,直线l:x=,所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为,,所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2.
故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
题型(二) 抛物线几何性质的简单应用
[例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程;
解:由抛物线方程知F,AB为抛物线的通径,则|AB|=2p,
∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2,解得p=2(舍负),
∴抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长.
解:∵△MON为正三角形,∴|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,
设MN:x=t,则y2=2pt,解得y1=,y2=-,∴|MN|=2,
∴tan 30°===,解得t=6p,
∴|MN|=4p,即△MON的边长为4p.
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
|思|维|建|模|
针对训练
2.F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:抛物线C:y2=12x中x=1时可得y=±2,且F(3,0),则A(1,2),B(1,-2),取H(1,0)(如图),
∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,
由对称性可知∠AFB=120°.
√
3.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 ( )
A. B. C. D.
解析:将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2=2p×2,解得p=1,则P(2,2),
所以OP的斜率为1,且OP的中点为(1,1),则OP的垂直平分线方程为
y-1=-(x-1),即x+y-2=0,又OF的垂直平分线方程为x=,又|MP|=|MO|=
|MF|,则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点,所以点M的坐标为.
√
[例3] 当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点
仅有一个公共点 无公共点
题型(三) 直线与抛物线的位置关系
解:由得k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0.
当k=0时,方程化为一次方程-4x+4=0,
该方程只有一解x=1,原方程组只有一组解,
∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点;
当k≠0时,二次方程的判别式Δ=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1),
当Δ>0时,得k2-2k-1<0,1-∴当1-由Δ=0得k=1±,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点;
由Δ<0得k<1-或k>1+,此时直线与抛物线无公共点.
综上,当k=0或k=1±时,直线与抛物线仅有一个公共点;
当1-当k<1-或k>1+时,直线与抛物线无公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法
联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于零时,直线与抛物线相交于一点.
|思|维|建|模|
4.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 ( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
针对训练
解析:∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过定点(1,0).∴当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;当k≠0时,点(1,0)在抛物线的内部,所以直线与抛物线有两个公共点,综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点.
√
课时跟踪检测
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14
2
1.下列命题正确的是 ( )
A.抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(1,0)
B.抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=-1
C.抛物线C:y2=2px的图象关于x轴对称
D.抛物线C:y2=2px的图象关于y轴对称
解析:抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(-1,0),准线方程为x=1,故A、B错误;抛物线C:y2=2px的图象关于x轴对称,故C正确,D错误.故选C.
√
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2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y
解析:设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4.
∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.
√
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3.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.∪
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(,+∞)
解析:由题意知过A(0,-4)和B(t,0)两点的直线斜率kAB=,∴过A,B的直线方程为y=x-4,与抛物线方程联立得x2-x+2=0,Δ=-8<0,∴t<-或t>,故选B.
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4.已知A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,
且△AOB的面积为12,则∠AOB=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:如图,∵|OA|=|OB|,知A,B两点关于y轴对称,
设A,B(a>0),∴S△AOB=×2a×=12,
解得a=2,∴B(2,6),∴tan θ==,∴θ=30°,
∴∠AOB=2θ=60°.故选C.
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解析:如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,直线PN与准线垂直,垂足为H,根据抛物线的定义,可得|MN|=|NH|,故△PMN的周长为|NH|+|NP|+|MP|=|PH|+4,
由可得B(2,3).∴|PH|的取值范围
为(4,6),∴△PMN的周长的取值范围为(8,10),故选B.
√
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6.(多选)设拋物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是 ( )
A.准线l的方程是x=-2 B.|ME|+|MF|的最小值为4
C.|ME|-|MF|的最大值为5 D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
解析:由抛物线C:y2=4x,则其焦点为F(1,0),准线为x=-1,A错误;
如图所示,其中MA⊥准线于A,则|MF|=|MA|,故|ME|+|MF|=|ME|
+|MA|,当且仅当E,M,A三点共线时,|ME|+|MF|最小,为E到准线的距离4,B正确;由||ME|-|MF||≤|EF|= -≤|ME|-|MF|≤,
当且仅当E,F,M三点共线时取等号,其最大值为,C错误;
设M,则MF的中点坐标为,
而|MF|==+1,故=,所以以线段MF为
直径的圆与y轴相切,D正确.故选BD.
√
√
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7.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,
且A,C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|,则|BF|等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程l:x=-1,设准线l与x轴交于点H,不妨设点A在第四象限,过A和B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,如图,由抛物线的定义可知|AF|=|AD|,|BF|=|BE|,又|AC|=2|AF|,所以|AC|=2|AD|,则∠ACD=.所以直线AB的倾斜角为,因为|HF|=p=2,
==,所以|AF|=|AD|=.在Rt△CEB中,∠ECB=,设|BE|=|BF|=x,则2|BE|=|BC|,即2x=++x,解得x=4,
所以|BF|=4.
√
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8. (5分)已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2=________.
0
解析:因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,x=m与x轴垂直,故y1=-y2,即y1+y2=0.
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9. (5分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的
公共弦长为2,则抛物线的方程为___________________.
y2=3x或y2=-3x
解析:设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),由对称性,知x1=x2,y2=-y1,则|y1|+|y2|=2,
即y1-y2=2y1=2,所以y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=.
于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
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10. (5分)过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为____.
8
解析:抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线l的倾斜角为,
设直线l与抛物线交于M,N两点,则直线l的方程为y=-x+1,
代入x2=4y得y2-6y+1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=6,
故所求弦长为|MN|=|MF|+|NF|=y1+y2+2=8.
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11. (5分)半立方抛物线是一种特殊曲线,其特点为以坐标原点为尖点,以x轴为对称轴,并且x轴是半立方抛物线在坐标原点处的切线.如图为移动后的半立方抛物线C:y2=8(x-1)3的图象,若直线l:y=2(x-1)与C交于A,B两点,则|AB|=_______.
解析:由题得C与直线l均过定点(1,0),如图,直线l:y=2(x-1)与C交于A,B两点,联立消去y得8(x-1)3
=8(x-1)2,即8(x-1)2(x-2)=0,解得x=1或x=2.不妨设点B在
第一象限,则A(1,0),xB=2,代入l:y=2(x-1),可得yB=2,
即B(2,2),故|AB|==3.
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12.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点P(x,y)到焦点的距离比它到y轴的距离大1.
(1)求抛物线C的方程;(4分)
解:依题意,P(x,y)到抛物线C焦点的距离为x+,
则x+-x=1,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
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(2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求·的值.(6分)
解:显然直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x=ty+1,
由消去x得y2-4ty-4=0,显然Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1y2=-4,x1x2=·=1,
所以·=x1x2+y1y2=-3.
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13.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1).
(1)求抛物线C的方程;(3分)
解:因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1),所以1=2p,解得p=,
所以抛物线C的方程为y2=x.
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(2)O为坐标原点,A,B为抛物线C上异于原点O的不同两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求证:直线AB过定点.(7分)
解:证明:设点A,B的坐标分别为(,y1),(,y2),所以k1==,k2==,
所以k1k2==-2,即y1y2=-.当直线AB的斜率不存在时,y1=-y2,
直线AB的方程为x=;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
联立消去x整理,得ky2-y+m=0,故y1y2==-,得k=-2m,
则直线AB的方程为y=-2mx+m,
可化为y=-2m,所以直线过点.
综上,直线AB过定点.
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14.(15分)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程;(6分)
解:由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.
∴抛物线E的方程为y2=4x.
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(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.(9分)
解:证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,∴m2=4×2,解得m=±2.由抛物线的
对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),得直线AF的方程为y=2(x-1),
由 得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,∴B.
又G(-1,0),∴kGA=,kGB=-,
∴kGA+kGB=0,∴∠AGF=∠BGF.
∴GF为∠AGB的平分线.课时检测（三十八） 抛物线的简单几何性质
1.下列命题正确的是 ( )
A.抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(1,0)
B.抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=-1
C.抛物线C:y2=2px的图象关于x轴对称
D.抛物线C:y2=2px的图象关于y轴对称
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
3.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.∪
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(,+∞)
4.已知A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为12,则∠AOB= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
5.已知抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的取值范围是 ( )
A.(6,12) B.(8,10)
C.(6,10) D.(8,12)
6.(多选)设拋物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是 ( )
A.准线l的方程是x=-2
B.|ME|+|MF|的最小值为4
C.|ME|-|MF|的最大值为5
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
7.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧.
若|AC|=2|AF|,则|BF|等于 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
8.已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2= .
9.(5分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,则抛物线的方程为 .
10.(5分)过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
11.(5分)半立方抛物线是一种特殊曲线,其特点为以坐标原点为尖点,以x轴为对称轴,并且x轴是半立方抛物线在坐标原点处的切线.如图为移动后的半立方抛物线C:y2=8(x-1)3的图象,若直线l:y=2(x-1)与C交于A,B两点,则|AB|= .
12.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点P(x,y)到焦点的距离比它到y轴的距离大1.
(1)求抛物线C的方程;(4分)
(2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求·的值.(6分)
13.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1).
(1)求抛物线C的方程;(3分)
(2)O为坐标原点,A,B为抛物线C上异于原点O的不同两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求证:直线AB过定点.(7分)
14.(15分)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程;(6分)
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.(9分)
课时检测(三十八)
1．选C 抛物线C：y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x＝1，故A、B错误；抛物线C：y2＝2px的图象关于x轴对称，故C正确，D错误．故选C.
2．选CD 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．选B 由题意知过A(0，－4)和B(t,0)两点的直线斜率kAB＝，∴过A，B的直线方程为y＝x－4，与抛物线方程联立得x2－x＋2＝0，Δ＝－8<0，∴t<－或t>，故选B.
4．选C 如图，∵|OA|＝|OB|，知A，B两点关于y轴对称，设A，B(a>0)，∴S△AOB＝×2a×＝12，解得a＝2，∴B(2，6)，∴tan θ＝＝，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.故选C.
5．选B 如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，直线PN与准线垂直，垂足为H，根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周长为|NH|＋|NP|＋|MP|＝|PH|＋4，由可得B(2，3)．∴|PH|的取值范围为(4,6)，∴△PMN的周长的取值范围为(8,10)，故选B.
6．选BD 由抛物线C：y2＝4x，则其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，A错误；如图所示，
其中MA⊥准线于A，则|MF|＝|MA|，故|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|，当且仅当E，M，A三点共线时，|ME|＋|MF|最小，为E到准线的距离4，B正确；由||ME|－|MF||≤|EF|＝ －≤|ME|－|MF|≤，当且仅当E，F，M三点共线时取等号，其最大值为，C错误；设M，则MF的中点坐标为，而|MF|＝＝＋1，故＝，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，D正确．故选BD.
7.选C 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，则∠ACD＝.所以直线AB的倾斜角为，因为|HF|＝p＝2，＝＝，所以|AF|＝|AD|＝.在Rt△CEB中，∠ECB＝，设|BE|＝|BF|＝x，则2|BE|＝|BC|，即2x＝＋＋x，解得x＝4，所以|BF|＝4.
8．解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
答案：0
9．解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由对称性，知x1＝x2，y2＝－y1，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2y1＝2，所以y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.
于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
答案：y2＝3x或y2＝－3x
10．解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，直线l的倾斜角为，设直线l与抛物线交于M，N两点，则直线l的方程为y＝－x＋1，代入x2＝4y得y2－6y＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝6，故所求弦长为|MN|＝|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2＝8.
答案：8
11．解析：由题得C与直线l均过定点(1,0)，如图，
直线l：y＝2(x－1)与C交于A，B两点，联立消去y得8(x－1)3＝8(x－1)2，即8(x－1)2(x－2)＝0，解得x＝1或x＝2.不妨设点B在第一象限，则A(1,0)，xB＝2，代入l：y＝2(x－1)，可得yB＝2，即B(2，2)，故|AB|＝＝3.
答案：3
12．解：(1)依题意，P(x，y)到抛物线C焦点的距离为x＋，则x＋－x＝1，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝ty＋1，
由消去x得y2－4ty－4＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3.
13．解：(1)因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明：设点A，B的坐标分别为(y，y1)，(y，y2)，
所以k1＝＝，k2＝＝，所以k1k2＝＝－2，即y1y2＝－.当直线AB的斜率不存在时，y1＝－y2，直线AB的方程为x＝；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，联立消去x整理，得ky2－y＋m＝0，故y1y2＝＝－，得k＝－2m，
则直线AB的方程为y＝－2mx＋m，
可化为y＝－2m，所以直线过点.综上，直线AB过定点.
14．解：(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，由A(2,2)，F(1,0)，得直线AF的方程为y＝2(x－1)，由 得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴B.
又G(－1,0)，∴kGA＝，kGB＝－，
∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF.
∴GF为∠AGB的平分线．
