第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
进一步理解抛物线的简单几何性质.理解抛物线中焦点弦、中点弦问题.
题型(一) 抛物线中的焦点弦问题
1.抛物线的焦点弦公式
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
焦点弦 x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2
2.有关抛物线的焦点弦的结论
如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(3)|AB|=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
(4)+=为定值(F是抛物线的焦点).
[例1] 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.求l的方程.
解题观摩:法一:利用|AB|=x1+x2+p求解
由题意,得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0),
A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=x1+x2+2=.
由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此直线l的方程为y=x-1.
法二:弦长公式的应用 由题意得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0.
|AB|= ·=,
由=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此直线l的方程为y=x-1.
法三:利用|AB|=求解 设直线l的倾斜角为α,则焦点弦|AB|===8,
解得sin2α=,即sin α=.
因为斜率k>0,所以k=tan α=1.
而抛物线焦点为F(1,0),
故直线l的方程为x-y-1=0.
法四:利用|AB|=2p求解 由焦点弦的性质得|AB|=2p=4×=8.所以k2=1.
又k>0,所以k=1,
故直线l的方程为x-y-1=0.
[变式拓展]
1.若本例去掉条件“且斜率为k(k>0)”,如何求解
2.若本例中去掉条件“|AB|=8”,增加“过点F的直线l交抛物线C于P,Q两点,过点P作C的准线的垂线,
垂足为M,O为坐标原点.”证明:Q,O,M三点共线.
|思|维|建|模|
解决与焦点弦有关问题的注意点
(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解.
[针对训练]
1.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,
若·=-12,则抛物线C的方程为 ( )
A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x
2.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|等于 ( )
A.9或6 B.6或3 C.9 D.3
3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,
且|AF|=4,则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6 C. D.
题型(二) 抛物线的中点弦问题
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求弦AB所在直线的方程.
听课记录:
|思|维|建|模| 解决中点弦问题的常用方法
将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=求斜率,再由点斜式写出直线方程
设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率,进而可写出直线方程
[针对训练]
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,
若弦AB的中点为(2,2),则抛物线的方程为 ,直线l的方程为 .
题型(三) 直线与抛物线的综合问题
[例3] 设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O点为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A,B两点,且|AB|=2,求实数k的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)凡涉及抛物线与直线的综合,应注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
(2)求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围,要特别注意变量的取值范围.
[针对训练]
5.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,=4.
(1)求抛物线G的方程;
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用
[题型(一)]
[变式拓展]
1．解：法一 由题意，可得F(1,0)，p＝2，当l斜率不存在时，l为x＝1，由得故|AB|＝4≠8，与题意不符．
当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，
∴ k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝8，x1＋x2＝6，则＝6，解得k＝±1.
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
法二 由题意，可得F(1,0)，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设l：x＝my＋1，则 y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴|AB|＝|y1－y2|＝＝·＝8，解得m＝±1.
则直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
2．证明：拋物线的焦点坐标为F(1,0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为M(－1，y1)，所以kOM＝＝－y1.
又kO Q＝，x2＝，y1＝，所以kOM－kO Q＝－y1－＝－－y2·＝0，
即kOM＝kOQ，又OM与OQ有公共点O，所以O，Q，M三点共线．
[针对训练]
1．选C 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
2．选D 法一 设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6，则x1＝4，由y＝8x1，得y1＝4，所以kAB＝＝2，直线AB的方程为y＝2(x－2)，将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，所以＝－＝，可得|BF|＝3.
3.选C 如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，则∠ACD＝30°，∠AFx＝60°，则p＋2＝4，所以p＝2，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[题型(二)]
[例2] 解：法一：点差法 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则有y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4，
∴弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
法二：传统法 由题意知弦AB所在直线的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
联立
消去x得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝，
又y1＋y2＝2，∴k＝4，∴弦AB所在直线的方程为y＝4(x－4)＋1，即4x－y－15＝0.
[针对训练]
4．解析：由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有且x1≠x2，两式相减得y－y＝4(x1－x2)．因为AB的中点为(2,2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
答案：y2＝4x x－y＝0
[题型(三)]
[例3] 解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
[针对训练]
5．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知直线l的方程为x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，∴(x2＋4，y2)＝4(x1＋4，y1)，
∴y2＝4y1，③
由①②③及p>0，得y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)由题意设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．(共51张PPT)
抛物线的标准方程及性质的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
进一步理解抛物线的简单几何性质.理解抛物线中焦点弦、中点弦问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 抛物线中的焦点弦问题
题型(二) 抛物线的中点弦问题
题型(三) 直线与抛物线的综合问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 抛物线中的焦点弦问题
01
1.抛物线的焦点弦公式
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点弦 x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2
2.有关抛物线的焦点弦的结论
如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(3)|AB|=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
(4)+=为定值(F是抛物线的焦点).
[例1] 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.求l的方程.
解题观摩:法一:利用|AB|=x1+x2+p求解
由题意,得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0),
A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=x1+x2+2=.
由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此直线l的方程为y=x-1.
法二:弦长公式的应用 由题意得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0),
A(x1,y1),B(x2,y2),则得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0.
|AB|= ·=,
由=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此直线l的方程为y=x-1.
法三:利用|AB|=求解 设直线l的倾斜角为α,
则焦点弦|AB|===8,
解得sin2α=,即sin α=.
因为斜率k>0,所以k=tan α=1.
而抛物线焦点为F(1,0),
故直线l的方程为x-y-1=0.
法四:利用|AB|=2p求解 由焦点弦的性质得|AB|=2p=4×=8.所以k2=1.
又k>0,所以k=1,
故直线l的方程为x-y-1=0.
[变式拓展]
1.若本例去掉条件“且斜率为k(k>0)”,如何求解
解:法一 由题意,可得F(1,0),p=2,当l斜率不存在时,l为x=1,由得故|AB|=4≠8,与题意不符.
当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-1),
∴ k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8,x1+x2=6,则=6,解得k=±1.
∴直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.
解:法二 由题意,可得F(1,0),∵直线l与抛物线相交于A,B,∴l斜率存在时,斜率不为0,故可设l:x=my+1,则 y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,∴|AB|=|y1-y2|
===8,
解得m=±1.
则直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.
[变式拓展]
1.若本例去掉条件“且斜率为k(k>0)”,如何求解
2.若本例中去掉条件“|AB|=8”,增加“过点F的
直线l交抛物线C于P,Q两点,过点P作C的准线的垂线,垂足为M,O为坐标原点.”证明:Q,O,M三点共线.
证明:拋物线的焦点坐标为F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,点P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为M(-1,y1),所以kOM==-y1.
又kOQ=,x2=,y1=,所以kOM-kOQ=-y1-=--y2·=0,
即kOM=kOQ,又OM与OQ有公共点O,所以O,Q,M三点共线.
解决与焦点弦有关问题的注意点
(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解.
|思|维|建|模|
1.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x
针对训练
解析:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=my+,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,得·=x1x2+y1y2
=-p2=-p2=-12,得p=4(舍负),即抛物线C的方程为y2=8x.
√
2.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|等于 ( )
A.9或6 B.6或3 C.9 D.3
√
解析:法一 设点A为第一象限内的点,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,y1>0,则由题意可得F(2,0),|AF|=x1+2=6,则x1=4,由=8x1,得y1=4,
所以kAB==2,直线AB的方程为y=2(x-2),将直线AB的方程
代入y2=8x化简得x2-5x+4=0,所以x2=1,所以|BF|=x2+2=3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得,+=,所以=-=,
可得|BF|=3.
3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6 C. D.
解析:如图,过点A作AD⊥l,|AD|=|AF|=|AC|=4,
则∠ACD=30°,∠AFx=60°,则p+2=4,所以p=2,
因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,
所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.
√
题型(二) 抛物线的中点弦问题
02
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求弦AB所在直线的方程.
解:法一:点差法 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
且x1≠x2,
则有=8x1,=8x2,
∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2),
即=4,∴kAB=4,
∴弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.
解:法二:传统法 由题意知弦AB所在直线的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),
弦AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0).
联立
消去x得ky2-8y-32k+8=0,
此方程的两根就是线段端点A,B的纵坐标.
由根与系数的关系得y1+y2=,
又y1+y2=2,∴k=4,
∴弦AB所在直线的方程为y=4(x-4)+1,即4x-y-15=0.
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求弦AB所在直线的方程.
解决中点弦问题的常用方法
|思|维|建|模|
将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=求斜率,
再由点斜式写出直线方程
设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率,进而可写出直线方程
针对训练
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若弦AB的中点为(2,2),则抛物线的方程为__________,直线l的方程为_________.
y2=4x
x-y=0
解析:由题意知抛物线的方程为y2=4x,设直线l与抛物线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有且x1≠x2,两式相减得-=4(x1-x2).因为AB的中点为(2,2),所以y1+y2=4,所以==1,所以直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.
题型(三) 直线与抛物线的综合问题
03
[例3] 设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O点为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程;
解:过点P作x轴的垂线且垂足为点N,
则|PN|=y,由题意知|PM|-|PN|=,
∴=y+,化简得x2=2y.
故点P的轨迹方程为x2=2y.
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A,B两点,且|AB|=2,求实数k的值.
解:由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y化简得x2-2kx-2=0,
∴x1+x2=2k,x1x2=-2.
∵|AB|=·=·=2,
∴k4+3k2-4=0,又k2≥0,
∴k2=1,∴k=±1.
(1)凡涉及抛物线与直线的综合,应注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
(2)求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围,要特别注意变量的取值范围.
|思|维|建|模|
针对训练
5.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点.
当直线l的斜率是时,=4.
(1)求抛物线G的方程;
解:设B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知直线l的方程为x=2y-4.由
得2y2-(8+p)y+8=0,∴
又∵=4,∴(x2+4,y2)=4(x1+4,y1),
∴y2=4y1,③
由①②③及p>0,得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线G的方程为x2=4y.
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
解:由题意设l:y=k(x+4)(k≠0),BC的中点坐标为(x0,y0),由
得x2-4kx-16k=0,④
∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
∴线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2.
对于方程④,由Δ=16k2+64k>0,得k>0或k<-4.∴b∈(2,+∞).
课时跟踪检测
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1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
√
解析:令x=4,则y2=8p,故y=±2,所以|AB|=4=8,所以p=2,
故准线为x=-1,则|AF|=4-(-1)=5.
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2.已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,4),则直线l的方程为 ( )
A.4x-y=0 B.2x-y=0
C.8x-y-6=0 D.x-2y+3=0
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y1-y2=2(-)=2(x1+x2)(x1-x2),
∵线段AB的中点为(1,4),∴x1-x2≠0,x1+x2=2,∴=2(x1+x2)=4,
即直线l的斜率为4,∴直线l的方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0.
√
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2
3.已知直线l:y=x-与拋物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若△AOB
(O为坐标原点)的面积为,则p=( )
A. B.1 C.2 D.
√
解析:由题知直线l:y=x-过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,所以联立方程得x2-3px+=0,显然Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,所以|AB|=x1+x2+p=4p,因为原点O到直线l的距离为d==p,所以S△AOB=×4p×p=,解得p=(舍负).故选D.
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4.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角是的直线,交抛物线于A,B两点,
则|AB|=( )
A.8 B.8 C.16 D.16
√
解析:根据抛物线方程y2=8x,得焦点坐标为F(2,0),直线AB的斜率为k=tan=-1,则直线AB的方程为y=-(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,x1x2=4,所以弦长|AB|=|x1-x2|=·=·=16.
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5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点A,B在C上,l与x轴的交点为P,O为坐标原点,则 ( )
A.C的标准方程为y2=2x
B.若直线AB过点F,则|AB|≥4
C.若直线AB过点F,则·=-4
D.过点P及点(1,2)的直线与C相切
√
√
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解析:对于A,因为抛物线C的焦点F到准线l的距离为2,所以p=2,故C的标准方程为y2=4x,A错误;对于B,由A得F(1,0),设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,
y1y2=-4,故|AB|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2+p=4t2+4≥4,B正确;
对于C,由B得x1x2=·==1,所以·=x1x2+y1y2=-3,C错误;
对于D,因为准线l与x轴的交点为P,故点P(-1,0).设点Q(1,2),则直线PQ的方程为x-y+1=0.联立消去x得y2-4y+4=0,则Δ=0,故直线PQ与C相切,D正确.故选BD.
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6.(多选)设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则 ( )
A.点P的坐标为 B.直线AB的方程为y=
C.PA⊥PB D.|AB|=
解析:由y=ax2得x2=y,则焦点F,∵a>0,则其准线方程为y=-,∴P,
A正确;设切线方程为y=kx-(k≠0).由得ax2-kx+=0,令Δ=k2-4a·=0,
解得k=±1.∴切点A,B.因此直线AB的方程为y=,B正确;
又=,=,∴·=-+=0.从而PA⊥PB,C正确;
|AB|==,D错误.
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√
√
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7. (5分)已知定点A(0,1),直线l:y=-1,记过点A且与直线l相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为_________.
x2=4y
解析:设已知圆的圆心为C(x,y),因为过点A的圆C与直线l:y=-1相切,
可得|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C的轨迹是以原点为顶点,
A为焦点,l为准线的抛物线,所以可设动点C的轨迹方程为x2=2py(p>0),由已知p=2,所以所求动点C的轨迹方程为x2=4y.
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8. (5分)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为_______.
解析:如图,直线m为抛物线的准线,过点A,B分别作AM,BN垂直于m,作BE⊥AM,因为|AF|=|AM|,
|BF|=|BN|,且|AF|=3|BF|,所以|AM|=3|BN|,
则|AB|=4|BF|,|AE|=|AM|-|ME|=2|BF|,
所以cos∠BAE=,则∠BAE=60°,
即直线l的倾斜角为60°.
60°
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9. (5分)已知抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为(1,1),则直线l的方程为___________.
解析:因为抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,所以易得抛物线的方程为y2=4x,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为线段MN的中点为Q(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,
则x1≠x2,由
两式相减得-=4(x1-x2),所以==2,
故直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
2x-y-1=0
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10. (5分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=16,则p的值为__________.
2
解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴直线AB的方程为y=x-,代入y2=2px可得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p,x1x2=,
由抛物线的定义可知|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AF|·|BF|=
=x1x2+(x1+x2)+=+p2+=2p2=16,解得p=2.
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11. (5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则3|AF|+4|BF|的最小值为___________.
4+7
解析:因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,
故p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0).
设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
不妨令y1>0>y2,联立方程整理得y2-4ty-4=0,
则y1+y2=4t,y1y2=-4,故x1x2=×=1.又|AF|=x1+=x1+1,|BF|=x2+=x2+1,
则3|AF|+4|BF|=3x1+3+4x2+4≥2+7=4+7,当且仅当x1=,x2=时等号成立,故3|AF|+4|BF|的最小值为4+7.
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12. (5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与x轴的交点为H,抛物线C的焦点为F,
过点H的直线与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,=,则=________;
若AB的中点到准线l的距离为,则p=_________.
16
4
解析:由题可知H,设直线AB:x=ty-,代入抛物线方程可得,y2-2pty+p2=0,则y1y2=p2,因为|BF|=4|AF|,所以y2=4y1,又x1=,x2=,∴==16,
x1x2===16,∴x1=,x2=2p,又AB的中点到准线l的距离为,
∴+=,即x1+x2+p=,∴+2p+p=,即p=4.
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13.(10分)已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,M为E的准线l上的一点,直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为4.
(1)求E的方程;(5分)
解:由题意知F,设点M的坐标为,
则直线MF的斜率为=-.
因为直线MF的斜率为-1,所以-=-1,即a=p,
所以△OFM的面积S=|OF|·|a|==4,
解得p=4或p=-4(舍去),故抛物线E的方程为y2=8x.
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(2)过抛物线E的焦点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.(5分)
解:设点A(x1,y1),B(x2,y2),其中k=tan 60°=,F(2,0).
则直线AB的方程为y=(x-2),由
消去y整理得3x2-20x+12=0,显然Δ>0, x1+x2=,
故弦长|AB|=x1+x2+p=+4=.
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14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,动圆C经过定点F(2,0),且与定直线l:x=-2相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(4分)
解:设点C(x,y)与直线l:x=-2相切的切点为N,则|CF|=|CN|,即动点C到定点F和定直线l:x=-2的距离相等,所以点C的轨迹是以F(2,0)为焦点,直线l:x=-2为准线的抛物线,所以=2,所以p=4,故动圆圆心C的轨迹方程是y2=8x.
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(2)经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A,B两点,点P在直线l上且BP∥x轴,求证:直线AP经过原点O.(6分)
解:证明:由题意,可知直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组得y2-8my-16=0,
则y1y2=-16,所以y2=-,则P,
所以kOP==,kOA===,kOP=kOA.
又OP,OA有公共点O,所以直线AP经过原点O.
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15.(15分)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A,B两点,求证:
(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;(6分)
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)kOA=,kOB=,∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,∴x1x2+y1y2=0,
∵=2px1,=2px2,∴·+y1y2=0,
∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=-4p2,∴x1x2=4p2.
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(2)直线AB过定点.(9分)
证明:当直线AB的斜率存在时,
∵=2px1,=2px2,
∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),
∴=,∴kAB=,
∴直线AB:y-y1=(x-x1),
∴y=+y1-,
∴y=+,
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∵=2px1,y1y2=-4p2,
∴y=+,∴y=(x-2p),
∴直线AB过定点(2p,0).
当直线AB的斜率不存在时,则kOA=1,
∴直线OA:y=x,与抛物线方程联立,得x2=2px,
∴A(2p,2p),故直线AB过定点(2p,0),
综上,直线AB过定点(2p,0).
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16.(15分)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求p;(7分)
16
解:设A(xA,yA),B(xB,yB),由
可得x2-2px-2p=0,易得Δ=4p2+8p>0,
所以xA+xB=2p,xAxB=-2p,
则|AB|=×
=2 =8,
即p2+2p-8=0,因为p>0,所以p=2.
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(2)设抛物线C的焦点为F,过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G,求四边形AEBG的面积.(8分)
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解:由题意可得抛物线C的焦点为F(0,1),直线EG的方程为x+y-1=0.
联立化简可得x2+4x-4=0,则Δ=16+16>0,设E(x1,y1),
G(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,则|EG|=y1+y2+p=8,
因为AB⊥EG,所以S四边形AEBG=|AB|·|EG|=×8×8=32.课时检测（三十九） 抛物线的标准方程及性质的应用
1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,4),则直线l的方程为 ( )
A.4x-y=0 B.2x-y=0
C.8x-y-6=0 D.x-2y+3=0
3.已知直线l:y=x-与拋物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若△AOB(O为坐标原点)的面积为,则p= ( )
A. B.1
C.2 D.
4.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角是的直线,交抛物线于A,B两点,则|AB|= ( )
A.8 B.8
C.16 D.16
5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点A,B在C上,l与x轴的交点为P,O为坐标原点,则 ( )
A.C的标准方程为y2=2x
B.若直线AB过点F,则|AB|≥4
C.若直线AB过点F,则·=-4
D.过点P及点(1,2)的直线与C相切
6.(多选)设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则 ( )
A.点P的坐标为
B.直线AB的方程为y=
C.PA⊥PB
D.|AB|=
7.(5分)已知定点A(0,1),直线l:y=-1,记过点A且与直线l相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为 .
8.(5分)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为 .
9.(5分)已知抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为(1,1),则直线l的方程为 .
10.(5分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=16,则p的值为 .
11.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则3|AF|+4|BF|的最小值为 .
12.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与x轴的交点为H,抛物线C的焦点为F,过点H的直线与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,=,则= ;若AB的中点到准线l的距离为,则p= .
13.(10分)已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,M为E的准线l上的一点,直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为4.
(1)求E的方程;(5分)
(2)过抛物线E的焦点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.(5分)
14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,动圆C经过定点F(2,0),且与定直线l:x=-2相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(4分)
(2)经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A,B两点,点P在直线l上且BP∥x轴,求证:直线AP经过原点O.(6分)
15.(15分)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A,B两点,求证:
(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;(6分)
(2)直线AB过定点.(9分)
16.(15分)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求p;(7分)
(2)设抛物线C的焦点为F,过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G,求四边形AEBG的面积.(8分)
课时检测(三十九)
1．选B 令x＝4，则y2＝8p，故y＝±2，所以|AB|＝4＝8，所以p＝2，故准线为x＝－1，则|AF|＝4－(－1)＝5.
2．选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1－y2＝2(x－x)＝2(x1＋x2)(x1－x2)，∵线段AB的中点为(1,4)，∴x1－x2≠0，x1＋x2＝2，∴＝2(x1＋x2)＝4，即直线l的斜率为4，∴直线l的方程为y－4＝4(x－1)，即4x－y＝0.
3．选D 由题知直线l：y＝x－过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以联立方程得x2－3px＋＝0，显然Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4p，因为原点O到直线l的距离为d＝＝p，所以S△AOB＝×4p×p＝，解得p＝(舍负)．故选D.
4．选D 根据抛物线方程y2＝8x，得焦点坐标为F(2,0)，直线AB的斜率为k＝tan ＝－1，则直线AB的方程为y＝－(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以弦长|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝16.
5．选BD 对于A，因为抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，故C的标准方程为y2＝4x，A错误；对于B，由A得F(1,0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝t(y1＋y2)＋2＋p＝4t2＋4≥4，B正确；对于C，由B得x1x2＝·＝＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，C错误；对于D，因为准线l与x轴的交点为P，故点P(－1,0)．设点Q(1，2)，则直线PQ的方程为x－y＋1＝0.联立消去x得y2－4y＋4＝0，则Δ＝0，故直线PQ与C相切，D正确．故选BD.
6．选ABC 由y＝ax2得x2＝y，则焦点F，∵a>0，则其准线方程为y＝－，∴P，A正确；设切线方程为y＝kx－(k≠0)．由得ax2－kx＋＝0，令Δ＝k2－4a·＝0，解得k＝±1.∴切点A，B.因此直线AB的方程为y＝，B正确；又＝，＝，∴·＝－＋＝0.从而PA⊥PB，C正确；|AB|＝＝，D错误．
7．解析：设已知圆的圆心为C(x，y)，因为过点A的圆C与直线l：y＝－1相切，可得|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以原点为顶点，A为焦点，l为准线的抛物线，所以可设动点C的轨迹方程为x2＝2py(p>0)，由已知p＝2，所以所求动点C的轨迹方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
8．解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，作BE⊥AM，因为|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，且|AF|＝3|BF|，所以|AM|＝3|BN|，则|AB|＝4|BF|，|AE|＝|AM|－|ME|＝2|BF|，所以cos∠BAE＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°.
答案：60°
9．解析：因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，所以易得抛物线的方程为y2＝4x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段MN的中点为Q(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1≠x2，由
两式相减得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
10．解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴直线AB的方程为y＝x－，代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，∴|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝＋p2＋＝2p2＝16，解得p＝2.
答案：2
11．解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，故p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨令y1>0>y2，联立方程整理得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，故x1x2＝×＝1.又|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1，则3|AF|＋4|BF|＝3x1＋3＋4x2＋4≥2＋7＝4＋7，当且仅当x1＝，x2＝时等号成立，故3|AF|＋4|BF|的最小值为4＋7.
答案：4＋7
12．解析：由题可知H，设直线AB：x＝ty－，代入抛物线方程可得，y2－2pty＋p2＝0，则y1y2＝p2，因为|BF|＝4|AF|，所以y2＝4y1，又x1＝，x2＝，∴＝＝16，x1x2＝＝＝16x，∴x1＝，x2＝2p，又AB的中点到准线l的距离为，∴＋＝，即x1＋x2＋p＝，∴＋2p＋p＝，即p＝4.
答案：16 4
13．解：(1)由题意知F，设点M的坐标为，
则直线MF的斜率为＝－.
因为直线MF的斜率为－1，所以－＝－1，即a＝p，
所以△OFM的面积S＝|OF|·|a|＝＝4，
解得p＝4或p＝－4(舍去)，故抛物线E的方程为y2＝8x.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中k＝tan 60°＝，F(2,0)．
则直线AB的方程为y＝(x－2)，由消去y整理得3x2－20x＋12＝0，显然Δ>0, x1＋x2＝，
故弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋4＝.
14．解：(1)设点C(x，y)与直线l：x＝－2相切的切点为N，则|CF|＝|CN|，即动点C到定点F和定直线l：x＝－2的距离相等，所以点C的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线l：x＝－2为准线的抛物线，所以＝2，所以p＝4，故动圆圆心C的轨迹方程是y2＝8x.
(2)证明：由题意，可知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组得y2－8my－16＝0，
则y1y2＝－16，所以y2＝－，则P，所以kOP＝＝，kOA＝＝＝，kOP＝kOA.又OP，OA有公共点O，所以直线AP经过原点O.
15．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)kOA＝，kOB＝，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0，
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)当直线AB的斜率存在时，
∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝，∴kAB＝，
∴直线AB：y－y1＝(x－x1)，
∴y＝＋y1－，
∴y＝＋，
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，
∴y＝＋，∴y＝(x－2p)，
∴直线AB过定点(2p,0)．
当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，
∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，
∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，
综上，直线AB过定点(2p,0)．
16．解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由可得x2－2px－2p＝0，易得Δ＝4p2＋8p>0，所以xA＋xB＝2p，xAxB＝－2p，则|AB|＝× ＝2 ＝8，
即p2＋2p－8＝0，因为p>0，所以p＝2.
(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0,1)，直线EG的方程为x＋y－1＝0.
联立化简可得x2＋4x－4＝0，则Δ＝16＋16>0，设E(x1，y1)，G(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝6，则|EG|＝y1＋y2＋p＝8，因为AB⊥EG，所以S四边形AEBG＝|AB|·|EG|＝×8×8＝32.
