(共37张PPT)
阶段质量评价
第三章 圆锥曲线的方程
(时间:120分钟 满分:150分)
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一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-2x B.x2=2y
C.x2=-4y D.y2=-4x
√
解析:焦点坐标为(-1,0),则抛物线开口向左,焦点在x轴上,故抛物线的标准方程是y2=-4x.
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2.若双曲线C:-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
解析:由题意可知9+m= m=7,即C:-=1,令-=0 y=±x.
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3.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:因为椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,所以2a=2×2b,则a=2b,所以e====.
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4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,点A(x0,2)在抛物线C上,且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= ( )
A. B.1 C. D.2
解析:因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,
所以x0+=,所以x0=p,所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=.
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5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 ( )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条直线上 D.双曲线的一支上
解析:由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r, ∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,
∴根据双曲线定义知点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
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6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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解析:法一 联立得-=1,方程组无解,说明直线与
双曲线没有交点.
法二 由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0.
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7.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,
|PF1|=4|PF2|,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
解析:如图所示,根据题意可设|PF2|=m,|PF1|=4m,
m>0,易知|F1F2|=2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2
===-,可得c2=m2,即c=m.由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=3m=2a,即a=.所以离心率e==.
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8.已知椭圆E:+=1上,过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A,B两点
(点A位于x轴上方),若=2,则直线l的斜率k的值为( )
A. B.± C. D.±
解析:由椭圆方程可得F1(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组可得(3m2+4)y2-6my-9=0,则y1+y2=,y1y2=,
由=2得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),则-y1=2y2,代入上式得y2=,-2
=,解得m2=,则m=±,则直线的斜率为±,又点A位于x轴上方,
所以斜率为.
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二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A,B两点,下列说法正确的是( )
A.抛物线C的准线方程为y=-
B.拋物线C的焦点为
C.若O为原点,则∠AOB=90°
D.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1
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解析:由C:y2=2x,则其焦点为F,准线方程为x=-,A错误,B正确;
联立直线与拋物线方程得y2-2y-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,y1y2=-4,
而x1x2==4,由·=x1x2+y1y2=0,
即⊥,故C正确;显然直线y=x-2不过焦点F,
由拋物线定义有|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+1>|AB|,D错误.
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10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为2,且C的离心率为,则下列说法正确的有( )
A.C的渐近线方程为y=±x
B.C的标准方程为x2-=1
C.C的顶点到渐近线的距离为
D.曲线y=-1经过C的一个焦点
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解析:设抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),双曲线C的一个焦点坐标为F1(c,0)(c>0),由题意可知|FF1|=2,所以有=2 c=或c=-(舍去),又因为C的离心率为,所以e== a=1 b===.因为a=1,b= ,所以C的渐近线方程为y=±x,故A正确;因为a=1,b=,所以C的标准方程为x2-=1,故B正确;设C的一个顶点坐标为(1,0),它到渐近线x-y=0的距离为=,根据双曲线和渐近线的对称性可知,C的顶点到渐近线的距离为,故C不正确;当x=-时,y=-1=0,而(-,0)恰好是双曲线的一个焦点,故D正确.
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11.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是( )
A.△PF1F2的周长为2+4
B.△PF1F2面积的最大值为2
C.若A(1,0),则|PA|的最小值为-1
D.的最小值为-
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解析:由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=2,所以△PF1F2的周长l
=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+4,故A正确;因为点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,所以0<|y0|≤1,所以△PF1F2的面积
=|F1F2||y0|=2|y0|≤2,当|y0|=1,即y0=±1时,此时点P位于短轴端点,
△PF1F2的面积最大,最大为2,故B正确;由A(1,0),点P(x0,y0),且+=1,因为|PA|===,当x0=时,
|PA|取最小值,且最小值为,故C错误;
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的几何意义为P(x0,y0)与点M(-4,0)两点连线的斜率,设为k,由
得(1+5k2)x2+40k2x+80k2-5=0,Δ=-4(5k2+1)·(80k2-5)=20(1-11k2)≥0,
解得-≤k≤,
如图,当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时,kmin=-,所以的最小值为-,故D正确.
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三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0,并且经过点A(,1),
则该双曲线的标准方程是____________________.
-=1
解析:依题意可设双曲线方程为mx2-ny2=1,m,n>0.
由渐近线方程为x±y=0可得n=2m,
将点A(,1)代入可得6m-n=1,解得m=,n=,
所以双曲线标准方程为-=1.
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13.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是________________.
+=1(x≠0)
解析:因为|BC|=8,所以|AB|+|AC|=12>8,则顶点A的轨迹是椭圆,其中2a=12,a=6,c=4,b2=20,则顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0).
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14.设a>b>0,椭圆+=1的离心率为e1,双曲线-=1的离心率为e2,
若e1e2<1,则的取值范围是_______________.
解析:记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1,c2,由题意知=a2-b2,
=b2+a2-2b2=a2-b2,则椭圆与双曲线共焦点,设c1=c2=c,则e1=,e2=,
∴e1e2=,∵e1e2<1,∴==-<1.设=t>0,则t-<1,解得0即0<<,又∵a2-2b2>0,且a>b>0,∴>,故的取值范围是.
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四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),点A1,A2是双曲线C的左、
右顶点,点P在双曲线C上.
(1)若|A1A2|=4b,点P(2,-1),求双曲线C的方程;(5分)
解:由题意有解得所以双曲线C的方程为-y2=1.
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(2)当P异于点A1,A2时,直线PA1与PA2的斜率之积为2,求双曲线C的渐近线方程.(8分)
解:设点P(x0,y0),则-=1,即=,又A1(-a,0),A2(a,0),
则有·=·===2,所以=,
所以渐近线方程为y=±x.
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16.(15分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程;(5分)
解:令-=0 y=±x,所以=1,
又由题意可知双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离d==1 c2=2=a2+b2 a2=b2=1,
所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.
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(2)是否存在直线l,经过点M(1,4)且与双曲线C交于A,B两点,M为线段AB的中点？若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.(10分)
解:假设存在,由题意知,该直线的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l的斜率为k,则x1+x2=2,y1+y2=8,又有-=1,-=1,
两式相减得--+=0,即(y1+y2)·(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2),
即=1,所以4k=1,解得k=,
所以直线l的方程为y-4=(x-1),即x-4y+15=0,联立
得(4y-15)2-y2-1=15y2-120y+224=0 Δ=1202-60×224=60×(240-224)>0,
即直线l:x-4y+15=0与双曲线C有两个交点,满足条件,所以存在直线l,
其方程为x-4y+15=0.
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17.(15分)(2024·北京高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和
短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
解:由题意b=c==,从而a==2,
所以椭圆方程为+=1,离心率为e=.
(1)求椭圆E的方程及离心率;(5分)
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(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.(10分)
解:直线AB的斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,矛盾,
从而设AB:y=kx+t(k≠0,t>),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立化简并整理得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0,
所以Δ=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2)>0,
即4k2+2-t2>0,
所以x1+x2=,x1x2=.
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若直线BD的斜率为0,
由椭圆的对称性可知D(-x2,y2),
所以直线AD的方程为y=(x-x1)+y1,在直线AD方程中令x=0,
得yC====+t==1,
解得t=2.所以t的值为2.
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18.(17分)已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为(1,0),过点M(2,0)的直线与E交于A,B两点,过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P.
(1)求E的方程;(3分)
解:由题意,设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0),则=1,可得p=2,故抛物线E的标准方程为y2=4x.
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(2)证明:点P在定直线l上;(5分)
解:证明:若直线AB与x轴重合,则该直线与抛物线只有一个交点,不符合题意;设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得y2-4my
-8=0,Δ=16m2+32>0,由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-8.
由题意可知,直线BP的方程为y=y2,直线OA的方程为y=x=x=x,
联立直线BP,OA的方程可得x=y2,所以x==-2.因此,点P在定直线l:x=-2上.
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(3)延长BO交直线l于点Q,求四边形ABPQ面积S的最小值.(9分)
解:如图,易知点P(-2,y2),
直线OB的方程为y=x=x=x,
联立直线OB与直线l的方程
可得y=-=y1,故点Q(-2,y1),
则AQ⊥l,所以AQ∥BP,则四边形ABPQ为直角梯形.又|AQ|=x1+2,
|BP|=x2+2,
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所以S=(|AQ|+|BP|)·|y1-y2|=(x1+x2+4)·=·
=·=·=.
因为=|y1|+≥2=4,当且仅当|y1|=,即y1=±2时,
等号成立,
所以S=≥×(4)3=16.因此,四边形ABPQ面积S的最小值为16.
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19.(17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张纸片,按如下步骤折纸:
步骤1:在纸上画一个圆A,并在圆外取一定点B;
步骤2:把纸片折叠,使得点B折叠后与圆A上某一点重合;
步骤3:把纸片展开,并得到一条折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.
你会发现,当折痕足够密时,这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸,画一个半径为2的圆A,并在圆外取一定点B,|AB|=4,按照上述方法折纸,点B折叠后与圆A上的点W重合,折痕与直线WA交于点E,E的轨迹为曲线T.
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(1)以AB所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系,求曲线T的方程;(3分)
解:以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),
由折纸方法,知|EB|=|EW|,则||EB|-|EA||=||EW|-|EA||=|WA|=2<|AB|=4.
根据双曲线的定义,曲线T是以A,B为左、右焦点,实轴长为2的双曲线,
设其方程为-=1(a>0,b>0),则a=1,c==2,
所以a2=1,b2=3.故曲线T的方程为x2-=1.
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(2)设曲线T的左、右顶点分别为E,H,点P在曲线T上,过点P作曲线T的切线l与圆x2+y2=1交于M,N两点(点M在点N的左侧),记EM,HN的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值;(7分)
解:证明:易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程组整理得(3-k2)x2-2kmx-(m2+3)=0,
由Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=12(m2+3-k2)=0,可得m2=k2-3.
联立方程组整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,
Δ=4k2m2-4(k2+1)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0,
则x1+x2=-,x1x2=.
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因为k1=,k2=,所以k1·k2=·=.
又因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
代入可得y1y2==,
由于m2=k2-3,则y1y2=,
由于点M在点N的左侧,故x1-x2<0,
所以x1-x2=-|x1-x2|=-,
代入可得x1-x2=-.又因为x1x2=,所以k1·k2===3,
所以k1·k2为定值,定值为3.
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(3)F是T的右焦点,若直线n过点F,与曲线T交于C,D两点,是否存在x轴上的点Q(t,0),使得直线n绕点F无论怎么转动,都有·=0成立 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(7分)
解:假设存在点Q(t,0),使·=0恒成立,
由已知得F(2,0),
当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为y=k'(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4),
联立得(k'2-3)x2-4k'2x+4k'2+3=0,
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Δ=(-4k'2)2-4(k'2-3)(4k'2+3)=36k'2+36>0,且k'≠±,
则x3+x4=,x3x4=,=(x3-t,y3),=(x4-t,y4),
则·=(x3-t)(x4-t)+y3y4
=x3x4-t(x3+x4)+t2+k'2x3x4-2k'2(x3+x4)+4k'2
=.
若·=0恒成立,则(t2-4t-5)k'2-3t2+3=0恒成立,
即解得t=-1.
当直线n的斜率不存在时,直线n的方程为x=2,
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此时4-=1,解得y=±3.
不妨取C(2,3),D(2,-3),
则=(2-t,3),=(2-t,-3).
又·=(2-t)2-9=0,解得t=-1或t=5.
综上所述,t=-1.
所以存在点Q(-1,0),使得直线n绕点F无论怎么转动,都有·=0成立.
19阶段质量评价（三） 圆锥曲线的方程
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=-2x B.x2=2y
C.x2=-4y D.y2=-4x
2.若双曲线C:-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则离心率e= ( )
A. B.
C. D.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,点A(x0,2)在抛物线C上,且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= ( )
A. B.1
C. D.2
5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 ( )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条直线上 D.双曲线的一支上
6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=4|PF2|,则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆E:+=1上,过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,则直线l的斜率k的值为 ( )
A. B.±
C. D.±
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A,B两点,下列说法正确的是 ( )
A.抛物线C的准线方程为y=-
B.拋物线C的焦点为
C.若O为原点,则∠AOB=90°
D.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为2,且C的离心率为,则下列说法正确的有 ( )
A.C的渐近线方程为y=±x
B.C的标准方程为x2-=1
C.C的顶点到渐近线的距离为
D.曲线y=-1经过C的一个焦点
11.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是 ( )
A.△PF1F2的周长为2+4
B.△PF1F2面积的最大值为2
C.若A(1,0),则|PA|的最小值为-1
D.的最小值为-
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0,并且经过点A(,1),则该双曲线的标准方程是 .
13.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 .
14.设a>b>0,椭圆+=1的离心率为e1,双曲线-=1的离心率为e2,若e1e2<1,则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),点A1,A2是双曲线C的左、右顶点,点P在双曲线C上.
(1)若|A1A2|=4b,点P(2,-1),求双曲线C的方程;(5分)
(2)当P异于点A1,A2时,直线PA1与PA2的斜率之积为2,求双曲线C的渐近线方程.(8分)
16.(15分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程;(5分)
(2)是否存在直线l,经过点M(1,4)且与双曲线C交于A,B两点,M为线段AB的中点？若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.(10分)
17.(15分)(2024·北京高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;(5分)
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.(10分)
18.(17分)已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为(1,0),过点M(2,0)的直线与E交于A,B两点,过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P.
(1)求E的方程;(3分)
(2)证明:点P在定直线l上;(5分)
(3)延长BO交直线l于点Q,求四边形ABPQ面积S的最小值.(9分)
19.(17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张纸片,按如下步骤折纸:
步骤1:在纸上画一个圆A,并在圆外取一定点B;
步骤2:把纸片折叠,使得点B折叠后与圆A上某一点重合;
步骤3:把纸片展开,并得到一条折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.
你会发现,当折痕足够密时,这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸,画一个半径为2的圆A,并在圆外取一定点B,|AB|=4,按照上述方法折纸,点B折叠后与圆A上的点W重合,折痕与直线WA交于点E,E的轨迹为曲线T.
(1)以AB所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系,求曲线T的方程;(3分)
(2)设曲线T的左、右顶点分别为E,H,点P在曲线T上,过点P作曲线T的切线l与圆x2+y2=1交于M,N两点(点M在点N的左侧),记EM,HN的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值;(7分)
(3)F是T的右焦点,若直线n过点F,与曲线T交于C,D两点,是否存在x轴上的点Q(t,0),使得直线n绕点F无论怎么转动,都有·=0成立 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(7分)
阶段质量评价(三)
1．D 2.D 3.B 4.C
5.选D 由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，画出圆x2＋y2＝1与(x－4)2＋y2＝4的图象如图，设圆P的半径为r, ∵圆P与圆O和圆M都外切，∴|PM|＝r＋2，|PO|＝r＋1，则|PM|－|PO|＝1<4，∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上．
6．选A 法一 联立得－＝1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点．
法二 由－＝0，得3x±4y＝0，所以双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，因为直线3x－4y＝0是双曲线－＝1的一条渐近线，因此交点个数为0.
7．选A 如图所示，
根据题意可设|PF2|＝m，|PF1|＝4m，m>0，易知|F1F2|＝2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝＝－，可得c2＝m2，即c＝m.由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝3m＝2a，即a＝.所以离心率e＝＝.
8．选C 由椭圆方程可得F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由＝2得(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，则－y1＝2y2，代入上式得y2＝，－2y＝，解得m2＝，则m＝±，则直线的斜率为±，又点A位于x轴上方，所以斜率为.
9.选BC 由C：y2＝2x，则其焦点为F，准线方程为x＝－，A错误，B正确；联立直线与拋物线方程得y2－2y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，y1y2＝－4，而x1x2＝＝4，由·＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故C正确；显然直线y＝x－2不过焦点F，由拋物线定义有|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1>|AB|，D错误．
10．选ABD 设抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，双曲线C的一个焦点坐标为F1(c,0)(c>0)，由题意可知|FF1|＝2，所以有＝2 c＝或c＝－(舍去)，又因为C的离心率为，所以e＝＝ a＝1 b＝＝＝.因为a＝1，b＝ ，所以C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；因为a＝1，b＝，所以C的标准方程为x2－＝1，故B正确；设C的一个顶点坐标为(1,0)，它到渐近线x－y＝0的距离为＝，根据双曲线和渐近线的对称性可知，C的顶点到渐近线的距离为，故C不正确；当x＝－时，y＝e－＋－1＝0，而(－，0)恰好是双曲线的一个焦点，故D正确．
11．选ABD 由椭圆方程＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝2，所以△PF1F2的周长l＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2＋4，故A正确；因为点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以0<|y0|≤1，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝2|y0|≤2，当|y0|＝1，即y0＝±1时，此时点P位于短轴端点，△PF1F2的面积最大，最大为2，故B正确；由A(1,0)，点P(x0，y0)，且＋y＝1，因为|PA|＝＝＝，当x0＝时，|PA|取最小值，且最小值为，故C错误；的几何意义为P(x0，y0)与点M(－4,0)两点连线的斜率，设为k，由得(1＋5k2)x2＋40k2x＋80k2－5＝0，Δ＝(40k2)2－4(5k2＋1)·(80k2－5)＝20(1－11k2)≥0，解得－≤k≤，
如图，当直线y＝k(x＋4)与椭圆C相切时，kmin＝－，所以的最小值为－，故D正确．
12.－＝1
13.＋＝1(x≠0)
14．解析：记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1，c2，由题意知c＝a2－b2，c＝b2＋a2－2b2＝a2－b2，则椭圆与双曲线共焦点，设c1＝c2＝c，则e1＝，e2＝，∴e1e2＝，∵e1e2<1，∴＝＝－<1.设＝t>0，则t－<1，解得00，且a>b>0，
∴>，故的取值范围是.
答案：
15．解：(1)由题意有解得所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设点P(x0，y0)，则－＝1，即＝，又A1(－a,0)，A2(a,0)，
则有k·k＝·＝＝＝2，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x.
16．解：(1)令－＝0 y＝±x，所以＝1，
又由题意可知双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离d＝＝1 c2＝2＝a2＋b2 a2＝b2＝1，所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
(2)假设存在，由题意知，该直线的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，又有x－y＝1，x－y＝1，两式相减得x－x－y＋y＝0，即(y1＋y2)(y1－y2)＝(x1＋x2)(x1－x2)，
即＝1，所以4k＝1，解得k＝，所以直线l的方程为y－4＝(x－1)，即x－4y＋15＝0，联立得(4y－15)2－y2－1＝15y2－120y＋224＝0 Δ＝1202－60×224＝60×(240－224)>0，
即直线l：x－4y＋15＝0与双曲线C有两个交点，满足条件，所以存在直线l，其方程为x－4y＋15＝0.
17．解：(1)由题意b＝c＝＝，从而a＝ ＝2，所以椭圆方程为＋＝1，离心率为e＝.
(2)直线AB的斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，
从而设AB：y＝kx＋t(k≠0，t>)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0，
所以Δ＝16k2t2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8(4k2＋2－t2)>0，即4k2＋2－t2>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若直线BD的斜率为0，
由椭圆的对称性可知D(－x2，y2)，
所以直线AD的方程为y＝(x－x1)＋y1，在直线AD方程中令x＝0，
得yC＝
＝
＝＝＋t＝＝1，解得t＝2.所以t的值为2.
18．解：(1)由题意，设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，可得p＝2，故抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)证明：若直线AB与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得y2－4my－8＝0，Δ＝16m2＋32>0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－8.
由题意可知，直线BP的方程为y＝y2，直线OA的方程为y＝x＝x＝x，
联立直线BP，OA的方程可得x＝y2，所以x＝＝－2.因此，点P在定直线l：x＝－2上．
(3)如图，易知点P(－2，y2)，直线OB的方程为y＝x＝x＝x，
联立直线OB与直线l的方程可得y＝－＝y1，故点Q(－2，y1)，则AQ⊥l，所以AQ∥BP，则四边形ABPQ为直角梯形．又|AQ|＝x1＋2，|BP|＝x2＋2，所以S＝(|AQ|＋|BP|)·|y1－y2|＝(x1＋x2＋4)·＝·＝·＝·＝3.因为＝|y1|＋≥2＝4，当且仅当|y1|＝，即y1＝±2时，等号成立，
所以S＝3≥×(4)3＝16.因此，四边形ABPQ面积S的最小值为16.
19．解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，
由折纸方法，知|EB|＝|EW|，则||EB|－|EA||＝||EW|－|EA||＝|WA|＝2<|AB|＝4.
根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为左、右焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝1，c＝＝2，
所以a2＝1，b2＝3.故曲线T的方程为x2－＝1.
(2)证明：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程组整理得(3－k2)x2－2kmx－(m2＋3)＝0，
由Δ＝4k2m2＋4(3－k2)(m2＋3)＝12(m2＋3－k2)＝0，可得m2＝k2－3.
联立方程组整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝4k2m2－4(k2＋1)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)>0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为k1＝，k2＝，所以k1·k2＝·＝.
又因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
代入可得y1y2＝＝，
由于m2＝k2－3，则y1y2＝，
由于点M在点N的左侧，故x1－x2<0，
所以x1－x2＝－|x1－x2|＝－，
代入可得x1－x2＝－.
又因为x1x2＝，所以k1·k2＝
＝＝3，所以k1·k2为定值，定值为3.
(3)假设存在点Q(t,0)，使·＝0恒成立，
由已知得F(2,0)，
当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为y＝k′(x－2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立得(k′2－3)x2－4k′2x＋4k′2＋3＝0，
Δ＝(－4k′2)2－4(k′2－3)(4k′2＋3)＝36k′2＋36>0，且k′≠±，
则x3＋x4＝，x3x4＝，＝(x3－t，y3)，＝(x4－t，y4)，
则·＝(x3－t)(x4－t)＋y3y4
＝x3x4－t(x3＋x4)＋t2＋k′2x3x4－2k′2(x3＋x4)＋4k′2
＝.
若·＝0恒成立，则(t2－4t－5)k′2－3t2＋3＝0恒成立，
即解得t＝－1.当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x＝2，
此时4－＝1，解得y＝±3.
不妨取C(2,3)，D(2，－3)，
则＝(2－t,3)，＝(2－t，－3)．
又·＝(2－t)2－9＝0，解得t＝－1或t＝5.综上所述，t＝－1.
所以存在点Q(－1,0)，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有·＝0成立．配套
