课件19张PPT。11.3.2多边形的内角和BCAEDF三角形的内角和为180°四边形DBCE的内角和为 BDAECAB证明：
∵∠BDE=∠1+ ∠A ，∠CED=∠2+ ∠A ，
∴∠BDE+∠CED= ∠A + ∠A + ∠1+∠2
∴∠BDE+∠CED+∠B+∠C= ∠1 +∠A+ ∠2+ ∠A +∠B+∠C
∵∠1+∠2+∠A=180°， ∠A +∠B+∠C=180 °
∴∠BDE+∠CED+∠B+∠C= 180°+ 180°=360 °
∴四边形DBCE的内角和为360°
21FCEDB证明：过点E作EF∥BD,与BC相较于点F
∴∠BDE+∠FED=180°,
∠B=∠EFC
∵∠EFC+∠C+∠CEF=180°
∴∠B +∠C+∠CEF=180°
∴∠B +∠C+∠CEF+∠BDE+∠FED=180°+180°=360°
∴∠B +∠C+∠CED+∠EDB=360°
∴四边形DBCE的内角和为360°
BCEDFG180°+180°=180 ° ×2180°180°+180°+180 ° =180 ° × 3n边形的内角和等于（n-2） × 180°填充表格，发现规律180°× (n-2)180°+180°+180 °+180 ° =180 ° × 4 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？1.有一个人以左脚为轴旋转一周，这个人转了多少度？2.如果这个人从圆上一点A出发，沿着圆周走，再回到A点时，那么这个人走了多少度？3.如果这个人从六边形的一个顶点A出发，沿六边形走，再回到A点时，那么这个人又走了多少度呢？体现在哪些角上呢？ 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，证明:
∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为
（6-2）×180°=720°
∴ ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+ ∠5+∠6
=6×180°-720°=360°七边形的外角和为多少？八边形呢？n边形的外角和呢？这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？多边形的外角和等于360 °3．三角形的外角和与一个多边形的外角和相等．
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．
一、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．
√×√二、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为________边形．
3．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为
1：2：3：4，那么这个四边形最大内角的度数为 _____________．2．内角和等于外角和的多边形是_____边形．
三、比一比，看谁做得快！(1)八边形的内角和是多少？ 1080 °（2）几边形的内角和是900 ° ？ 7边形小试 身手：（3） 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？（3） 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：在四边形ABCD中,∠A＋∠C＝180°．
求：∠B与∠D的关系．解:在四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2)× 180° = 360°
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） =180°如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.小试 身手：一个六边形去掉一个角后，剩下的多边形的内角和是多少呢？ 1.本节课学习了哪些主要内容？
2.我们是怎样得到多边形内角和公式的？
课堂教学设计（详案）
课题
11.3.2多边形的内角和
教学时间
第 周 星期
总（ 1 ）课时 第（ 1 ）课时
年 月 日
主备教师
使用教师
授课班级
教学
目标
知识与技能
1探索并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法，感悟类比方法的价值。
2. 运用多边形内角和公式解决简单问题。
3. 掌握多边形外角和。
过程与方法
1.让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的和情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
情感态度价值观
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。
任务
定位
教学重点
多边形内角和公式的探索与证明过程
教学难点
获得将多边形内角和问题转化成三角形内角和问题来解决思路，会用归纳的方法寻求从特殊到一般的求多边形内角和的方法。
教学方法
“问题——探究——发现”的探究性教学模式
教学
准备
多媒体课件
教学媒
体运用
的说明
多媒体课件的使用，为突破本课的难点起到了重要的作用，提高了教学效率。
教学过程设计
课堂预设及目的
个性修改
一、创设情景，引入新课
出示一个三角形
教师针对三角形设置简单的问题提问，让学生通过做题，回忆有关三角形的一些知识点。
学生思考回答。
二、探究新知
剪去三角形的一个角
教师提问：①有一个三角形纸片，像下图这样裁去一个角，那么剩下的图形的内角和比三角形内角和是增大了还是减少了？猜一猜，其内角和是多少？
学生可以量一量，算一算，得到四边形的内角和为360°的感性认识。
②你能用你的方法证明一下吗？
引出课题：今天我们就一起同过研究四边形内角和，进一步探讨多边形的内角和与外角和。
教师书写课题。
1.探究四边形的内角和
学生思考，小组讨论解决方案。
教师巡视加以指导。
学生可以有如下的证明方法：
（1）方法一
∵∠BDE=180°-∠1，∠CED=180°-∠2，
∴∠BDE+∠CED=360°-(∠1+∠2)
∵∠1+∠2+∠A=180°
∴∠1+∠2=180°-∠A
∴∠BDE+∠CED=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠BDE+∠CED+∠B+∠C=180°+∠A+∠B+∠C=360°
∴四边形DBCE的内角和为360°
（2） 方法二
证明：过点E作EF∥BD,与BC相较于点F
∴∠BDE+∠FED=180°,
∠B=∠EFC
∵∠EFC+∠C+∠CEF=180°
∴∠B +∠C+∠CEF=180°
∴∠B +∠C+∠CEF+∠BDE+∠FED=180°+180°=360
∴∠B +∠C+∠CED+∠EDB=360°
∴四边形DBCE的内角和为360°
（3） 方法三
可从四边形一个顶点出发连接对角线，把四边形分成两个三角形，从而得出：四边形内角和为360°.
思考：我们把三角形剪掉一个角，多了一条边，变成了四边形，比三角形内角和多180°，则四边形内角和为360°，那么把三角形
剪掉两个角呢？它是几边形？比三角形内角和多多少度？内角和是多少？把三角形剪掉三个角呢？它是几边形？比三角形内角和多多少度？内角和是多少？……请填写下表：
三角形内角和
180°
四边形内角和
180°+180°=360°
五边形内角和
180°+180°×2=540°
六边形内角和
180°+180°×3=720°
……
……
n边形内角和
180°+180°×(n-3)=180°(n-2)
填写表格，学生根据前面探究四边形内角和得出规律：多边形的边数增加1，内角和就增加180°.
从而得出n边形的内角和等于（n一2）·180°．
2.探究多边形外角和
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如果学生做这个题有困难，可先做下面的3个引题：
①有一个人以左脚为轴旋转一周，这个人转了多少度？
②如果这个人从圆上一点A出发，沿着圆周走，再回到A点时，那么这个人走了多少度？
③如果这个人从六边形的一个顶点A出发，沿六边形走，再回到A点时，那么这个人又走了多少度呢？体现在哪些角上呢？
通过分析这道题，对六边形的外角和有了一个初步的感性认识，然后再回到原题推导验证出六边形外角和，最终水到渠成地分析出多边形的外角和为360°
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6-2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关。
180°n-（n-2）*180°=360°
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
四、小试身手
1.判断题．
①当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．
②当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．
③三角形的外角和与一个多边形的外角和相等．
2.填空题．
①一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为________边形．
②内角和等于外角和的多边形是_____边形．
③四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为
1：2：3：4，那么这个四边形最大内角的度数为 _____________．
3.比一比，看谁做得快！
(1)八边形的内角和是多少？
（2）几边形的内角和是900 ° ？
（3）如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
4.挑战自我
一个六边形去掉一个角后，剩下的多边形的内角和是多少呢？
五、课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
本节课学习了哪些主要内容？
我们是怎样得到多边形内角和公式的？
六、课后作业
1.课本P90第4、5、6题．
2.在探究四边形内角和时，我们有一种方法是连接对角线，起什么作用？你还有其他分割的方法吗？
通过把三角形剪去一个角变成四边形，让学生们体会三角形和四边形的密切联系，从而激发学生们探究四边形内角和的欲望。
学生可通过以前的知识了：邻补角以及三角形内角和证明四边形内角和。
学生从证明三角形内角和得到启发，可用作平行线的方法证出四边形的内角和。
从学生熟悉的，已知的特例出发，通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，体现了将较复杂图形化为简单的基本单元的化归思想。
通过填写表格，让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用。
学生可能对这道题做起来有点困难，所以在出示这道题后，适时的出示三个引题，减小学生做这道题时的难度。
运用邻补角和多边形内角和的知识，探究多边形外角和。
引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收货，通过建立知识之间的联系，凸显化归思想，强调从特殊到一般的研究问题的方法。
留有层次的作业，满足不同学习成绩学生的要求。
教学流程图
学生课后活动和
作业设计
教后札记
学生学习信息反馈
教后反思
1、从学生角度
2、从自身角度
3、从课堂即时生成与对策角度
教学评价
这节《多边形内角和》一课的教学设计从三角形内角和出发，遵循教材的整体性与连贯性，把四边形的知识与三角形有机联系，通过切割三角形的内角的方式提出新问题，既是对三角形学习的有效复习，又蕴含着本节课的学习内容的开始，切入点独到，有新意。让学生体验到四边形与三角形之间的内在联系，有利于将四边形的问题转化为三角形的问题，学会知识迁移。而且学生对于四边形内角和的探索多了一种方法，而且从内角的增多而引起内角的变化的角度研究问题是值得关注的新尝试，同时这样做后续还会对应着归纳，对比，猜想，验证等思维过程，很好地实现了教给学生怎样学习的目的。定理的发现与证明是本节课的难点，重点的时间和精力去把握重点和难点的内容，为课堂的高效学习提供了基础。教学设计考虑了学生的思维的开放性和方法的多样性，证明方法多样，不同方法的处理有祥有略，使得课堂教学有张有池，从容有序。教师能够把活动式教学与讲授式教学有机结合起来，提供学生探索的空间的同时及时引导和讲授。通过开放的教学设计，有效的课堂提问，有效的组织学生互动研讨，教师的主导作用发挥得恰到好处。学生的主体地位同样得到了很好地落实，因为整堂课学生都围绕着问题深入思考，这些问题都难度适中，处于思维发生区内，很好地调动了学生的积极性。开放的问题设计和多样的问题解决方法給予学生广阔的探索空间，这是有一定思维含量的一节课，学生的思维跟随教师的引导逐渐深入，经历了观察、归纳、猜想、验证的学习过程，既有感性体验又有理性思考，通过数形结合的方法从感性到达理性思考。练习题的选择少而精，有效巩固重点内容，同时体现开放性。
