目 录
（一）教材内容和内容分析……………………………………………2
（二）教学目标分析……………………………………………………2
（三）教学问题诊断分析………………………………………………2
（四）教学支持条件分析………………………………………………3
（五）教学过程设计……………………………………………………4
1. 教学流程示意图（4）
2.教学过程及设计意图（4）
3. 板书设计（8）
4. 教学目标检测设计（8）
（六）教学反思…………………………………………………………9
附件一：部分课堂活动照片（10）
附件二：教材相关章节内容（11）
《多边形的内角和与外角和》教学设计
(北师大版数学八年级下册·第六章第四节第1课时)
一、【教材内容和内容分析】
1．教学内容
本节课是北师大版教材《数学八年级（下）》第六章平行四边形第四节第1课时的内容，其教学内容为多边形内角和定理的推导和应用．
2．教学内容分析
“多边形的内角和与外角和”是在七年级下期学习了三角形内角和定理，在本章学习了平行四边形的相关性质后进一步研究多边形内角和的探究课．就知识的应用价值上来看，本节课内容既是三角形内角和自然延伸，也是进一步探究多边形问题的基础．通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题解决不仅是探索内角和的关键，而且也是今后解决四边形及多边形问题的通法，是初中学生数学逻辑思维发生、发展的重要环节．通过本课的学习，不仅可以发展学生探索和归纳能力，而且有助于帮助学生进一步体会从简单到复杂、从特殊到一般化归转化的数学思想．就内容的人文价值来看，多边形内角和的探索需要学生猜想、实验、证明、探索，对学生掌握观察、比较、类比、转化、归纳等方法有重要作用，有助于培养学生创新思维和探索精神．
综上所述，本节无论是知识的传承，还是能力的发展、思维训练，都属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分中的重要内容，有着承上启下的重要作用．
二、【教学目标分析】
1．经历“定理”的探究过程，掌握“定理”内容，能用于解决相关数学和实际问题；
2．了解数学问题中“从特殊到一般”的研究方法，培养思维水平的严谨性和全面性；
3．体会转化、类比、化归的数学思想．
三、【教学问题诊断分析】
学生通过对三角形内角和定理和平行四边形性质的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对新的数学问题的探究有一定困难. 尤其为什么要转化，怎么把新问题转化为已知问题解决是现阶段学生学习的拦路虎，我班学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好的表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学工具进行探索和归纳的能力还有待进一步提高．而这节课探究性较强，学生探究问题和添加辅助线的经验还不够丰富，本课的学习还可能存在以下困难：
（1）探究四边形的内角和时，在探究三角形内角和的启发下，可能想得到度量法、拼图法，却想不到添加辅助线的方法；
（2）学生在探究五边形、六边形、七边形的内角和时，可能出现从不同的点出发去分割图形，却求不出它的内角和；
（3）学生可能采用不同的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出n边形的内角和如何表示．
教学重点及难点
1.教学重点：体验多边形内角和定理的探究过程，理解定理内容，体会“从特殊到一般”、“化归与转化”的数学思想．
2.教学难点：理解多边形内角和问题的解决为什么要转化，如何转化的思维发生发展过程．
四、【教学支持条件分析】
八年级学生在七年级上期已学习过多边形和圆的初步认识、平行线的性质与判定等有关基础知识，对平面图形的边、角、对角线有初步的了解并能用这些知识解决相关问题．在七年级下期学习了三角形基本性质、三角形内角和定理，对三角形的内角和为180°有较深的理解．在本章学习了平行四边形相关性质，知道长方形、梯形等特殊四边形的内角和为360°，但对任意四边形的内角和是多少不能严谨的说明．八年级的学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题．因此在教学中注重运用开放性问题引导，鼓励学生大胆阐述自己的观点，培养学生数学交流能力，理解从特殊到一般的数学方法和转化数学思想．
本节课重、难点解决的方法策略：
（1）由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．一方面，通过学生自主思考和互动研讨，把问题的研究从特殊引向一般，充分经历探究多边形内角和定理的全过程，突出教学重点．另一方面，在定理的推导过程中，注意分析如三角形、特殊四边形等已有模型的特征，通过已有模型的研究、转化和类比，突破教学难点．
（2）采用自主探究教学方法．教师的教法，突出开放性问题的设计与提出，启发学生尽可能的从不同方面思考问题，解决问题，注重思维水平的深刻性；学生的学法，突出合作学习、探究发现，实践与体验．
五、【教学过程设计】
（一）教学流程示意图：
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
产生疑惑 寻求转化
前后呼应 类比探究
应用新知 归纳拓展
（二）教学过程：
教学
环节
课堂内容、教师活动
学生活动
设计意图
1．
创设情境
提出问题
同学们，就像一份快乐，如果两人分享就会得到更多的快乐一样，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能变的更大、更多，你们相信吗？也许大家还觉得不可思议，可是，今天我们要学习的多边形的内角和就是一个典型的例子．
思考、反馈，结合生活实际大胆的说出自己的疑惑与想法．
通过一个富含哲理的问题，引起学生的认知冲突，充分的调动其好奇心和求知欲，为本节课后续的深入学习埋下伏笔．
2．
实践探索
去伪存真
每个组的资料盒里都准备了一些长方形的卡纸，请取出一张，任意的剪掉一个角，可以有几种不同的剪法，剪出可能的图形，并思考以下问题：
剪出的图形内角和是多少？你是怎么计算的？结果比原来的长方形内角和增加还是减少了？
剪好的小组请派代表将图形贴在黑板上，准备交流对以上问题的思考．
用剪刀剪出可能的图形，思考剪出图形的内角和，把计算原理整理在学案相应位置，大胆的讨论、展示自己的剪裁作品，从多方面入手，求出所剪图形的内角和，感受多边形内角和随边数变化而变化的事实．
以一个开放性的数学问题直接进入这节课的主题，让一个看似很容易的问题引起学生的认知冲突和探究兴趣，让学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在“多边形的内角和”上．通过对长方形的剪裁，认识到多边形内角和会随边数的变化而变化，建立特殊四边形与三角形、五边形的联系，为对多边形进行类比研究打下基础．
3． 转化探究
初步解惑
对于正方形、长方形、平行四边形、梯形等特殊的四边形，我们已经能求得其内角和为360°，但毕竟他们都是特殊的四边形，那对于任意的四边形能否通过转化求出内角和？
请每个同学都任意画一个四边形，尝试用转化的方法从不同的角度思考求出它的内角和，做好交流准备．
在卡纸上画任意四边形，类比三角形内角和的研究方法，对任意四边形的内角和进行多角度思考，寻找不同的解决问题的办法．
通过画任意四边形求内角和，把研究的对象从特殊引向一般，引导学生把握其内在的规律，渗透转化的数学思想.达成教学目标2:了解“从特殊到一般”的研究方法, 自然的完成本节课难点的突破．
4． 类比探究
概括公式
同学们通过不同角度的思考，充分的证明了四边形内角和为360°，那么五边形、六边形、七边形，…，甚至n边形的内角和又是多少度呢？请大家运用自己学到的办法，在学案相应位置写出你的结论．教师参与小组探究，倾听学生讨论，组织小组代表汇报探究成果（鼓励学生说出不同分割方法，以便全班共享），总结数学思想和方法．
以四边形内角和的研究方法做类比，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度推导、表示、认识、理解多边形的内角和公式．
以任意四边形内角和的研究方法做类比，继续深化学生对本节课知识的理解，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度理解多边形的内角和公式．以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，达成教学目标1:掌握“多边形的内角和定理”，
教学目标3:体会类比、化归的数学思想，实现本节课重难点的第二次突破．这样不仅掌握了公式，而且还总结出了类似数学问题的研究方法，进而完成新知识的建构与内化.
5．
随堂练习
巩固提升
（1）试求20边形的内角和．
（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，试求它的边数．
（3）把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的多边形内角和是多少度？
学生尝试练习，用本节课学到的多边形内角和公式解决已知边数求内角和、已知内角和求边数等问题．
三个练习，层层递进，练习1直接巩固公式，练习2深化边角关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用以及分类讨论的数学思想；通过练习强化对多边形内角和定理掌握．达到掌握公式的目的，进一步优化学生思维，提高能力．
6．
归纳总结
内化吸收
请同学分享学完这节课的收获，分享后对学生的总结进行提炼归纳，渗透德育思想．
1．掌握了多边形内角和公式：(n－2)·180°；
2．转化的思想；
3．由特殊到一般的研究方法；
4．从不同的角度思考同一个问题会有不同的收获．
回顾本课学习的知识及应用到的数学思想和数学方法．学生小结，教师补充、提炼，使这节课所学知识系统化，并从感性认识上升到理性认识，渗透德育思想．
从总体而言本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．采用“问题驱动”的教学方式，运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展．采用实验探究法、观察发现法、类比教学法等，组织学生自主探究，合作交流．为学生创设情境，从提出问题——实验猜想——转化探究——类比归纳——得出结论——解决问题，让学生经历数学知识的发现、发展和应用过程，突出转化和从特殊到一般的数学思想．使学生成为知识的发现者，让他们在实践中发现知识，再将知识运用于实践，培养学生创新精神和实践能力．
在创设情景中，以蕴含哲理的数学问题抓住学生的兴趣，快速调动学生学习本节课的热情和激情，形成学生愿意参与的心态．在遇到解决问题过程中的困难时，将学生独立思考、自主探究和表达交流结合起来，通过老师由浅入深的“问题驱动”，让学生经历“不会-会-熟-巧”的学习历程，并通过问题的创设形成教师与学生，学生与学生的多向交流、多角思考，促进思维火花不断闪现，激趣效果达成明显．
通过第2，3，4，5教学环节内容的解决，探索求多边形内角和的途径与方法，并从中总结出其核心方法（通法）是把多边形转化为三角形．这几个探索活动从学生已有的关于三角形内角和以及特殊四边形的内角和的知识、经验出发层层递进，从易到难，符合学生的认知规律，得出多边形的内角和，符合学生的认识规律，学生易于接受，由此自觉参加，从学生发现的一些方法上看，学生也能想到度量法，拼图法和转化法．而转化中，添加辅助线是重要的一个手段，而度量法和拼图法都的一定的局限性．
通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解；同时，体会类比的方法．如果有学生采用不同的方法或者预料之外的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出n边形的内角和如何表示，我会指导他们从数的角度去发现规律，或者用同一种较简单的方法去探究．在四边形的基础上，继续探索连续边数的多边形的内角和与边数之间的关系，再由此归纳n边形内角和与边数的关系，这样由特殊到一般地层层推进，突出重点，符合学生的认知特点，有利于学生发现规律，归纳公式．由于采用的方法不同，得出的表达式可能会不同．为体现数学结论的确定性，对于学生采用不同方法得出的不同的表达式，引导学生观察思考，明确几个表达式的实质是一样的．在此过程中，教师充分听取学生的意见，对不同的意见进行总结．
最后，学生回顾、总结，从而养成良好的归纳与总结的习惯．通过课堂小结进一步巩固所学知识，并将知识进行梳理，形成知识体系，感受学习数学的魅力，建立学好数学的自信心，形成良好的自我评价．
总之，本节课我注重学生的过程性评价与结论性评价．过程性评价时，我对学生的问题的分析过程认真倾听，对小组活动的评价不以中心发言人为主，而是对全体组员在研究问题中所起的作用与思维状况进行全面的考查．对结论性评价，不但注重结论的正确与否，同时也对学生回答问题中的思路进行认真的评价．把更多的时间和空间都交给学生，让学生在教师的组织和引导下，充分发挥各自的聪明才智，自主探究；同时汇集集体的力量，群策群力，合作交流，使学生成为知识的发现者，成为数学学习的主人．
（三）板书设计
（四）教学目标检测设计
1.随堂检测设计
（1）试求20边形的内角和．
（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，试求它的边数．
（3）把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的多边形内角和是多少度？
设计意图：学生尝试练习，用本节课学到的多边形内角和公式解决已知边数求内角和、已知内角和求边数等问题．三个练习，层层递进，练习1直接巩固公式，练习2深化边角关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用以及分类讨论的数学思想；通过练习强化对多边形内角和定理掌握．达到教学目标中掌握公式的目的，进一步优化学生思维，提高能力．
2.课后检测设计
（1）用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，请用本节课的知识说明理由．
（2）请探究，除了四边形以外，哪些正多边形纸板还可以拼成无空隙的纸板？
设计意图：本题是是开放性问题，是课堂活动的延展，面向全体学生，不同学生能根据自己的理解获得属于自己的答案，适应学生个性发展的需要，是 “人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．学生通过完成开放性的探究性作业作业，进一步思考多边形内角和在实际生活中的应用价值．
六、【教学反思】
整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极．师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值．同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴．总的说来有如下几点反思：
1. 重视知识生长过程，凸显数学思想体验
本节课的设计非常强调数学知识的生长过程，渗透从特殊到一般和转化、类比、化归等数学思想，教学过程的六个环节从不同的角度体现了这样的理念．
2.层层问题铺垫引导，确保教学目标达成
在整个课堂活动过程中，特别强调了环节的设置与目标的达成相呼应，做到了由做到了由目标确定环节，在环节中实现目标．具体如下：
3.用活新课程理念，力求生本性设计
有意的设计多处开放性的问题，引起学生的思维碰撞，鼓励学生大胆的尝试新方法解决问题，深度经历探究过程，使学生获得了较好的数学学习经验．如何在课堂活动，更好的把握问题引导中“收”与“放”的度，做到收放自如，是我在今后的课堂中需要进一步研究提升的课题．
附一：部分课堂活动照片
合作探究 引导点拨
交流展示 互助倾听
归纳总结 巩固提高
附件二：教材内容
设计新颖 功夫扎实 活动高效
观摩了这堂课从设计到实施的全过程，对这堂课的体会可以概括为12个字“设计新颖、功夫扎实、活动高效”．
1．设计新颖
教学的核心就是“教学设计”．荣彬老师巧妙抓住了教学活动中学生的三次突破，层层推进教学，在以下几个方面表现了他对这堂课的设计的用心．
第一次突破：教学一开始，教师以一个开放性的数学问题直接进入这节课的主题，让一个看似很容易的问题引起了学生的认知冲突，也引起了学生的探究兴趣，让学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在“四边形的内角和”上，自然的实现了本节课的第一次突破．这说明教者对数学问题本身的魅力比较领悟到位，问题运用合理．
第二次突破：当学生制定学习方案，把重点“锁”在四边形内角和这个焦点上的时候，教师没有急于求成，反而引导学生先考虑起数学方法来．教师从数学方法入手去引导学生解决新的数学问题，这在一般的课堂教学中是不多见的．事实上，这一教学环节的关键就在引出“转化”的数学方法．对于“转化”的数学方法教师点到为止，至于如何去运用仍由学生自己去完成．这样，本节课的第二次突破也是由学生完成的，由此不难看出教师对学生主体地位的尊重．有了这个环节方法的研究，就使接下去研究五边形、六边形、七边形等过程“有法可依”了．
第三次突破：以四边形为研究对象，在知识和方法上有了突破之后，顺势提出五边形、六边形、七边形、八边形的内角和问题，这既是数学本身发展的需要，更是满足学生刚刚燃烧起来的探究欲望的需要，学生对教学的第三次突破也就自然不期而至了．值得注意的是：如果说对四边形的研究带有很浓的“摸着石头过河”的感觉，那么这一环节的探究就显得很开放了，学生的自主地位很明显，而这正是数学发展的必然规律，学生认知发展的规律．可以看出：“让学生经历数学发展的过程”这是教师努力追求的．
课堂中我们还发现，当实现这三个突破后，学生还没有满足，这时教师顺势再加“一把火”，巧妙地让学生的认识再提高一个层次．这节课的精彩也就出现了！教师以新的具体的学习任务（用多种方法推导多边形的内角和），引发了学生新的认知冲突，而且这种冲突是由学生自己揭示出来的，当然学生解读冲突的欲望也是最强烈的．可以感受到，在这一环节的再次突破过程中，师生都是充满激情的！
2．活动高效
从教学实际情况看，这节课不仅完成了教学任务、实现了既定的教学目标（理解/掌握/思维训练/语言表达/学习方法等），在数学学习方法的指导上荣彬老师也做足了功夫．本节课特别重视在解决问题和证明定理时展示数学思维过程，重视学生发现问题、提出问题的能力，使学生通过做数学、思数学、玩数学去感悟数学的严谨、力量、趣味和魅力．学生在讨论多边形的内角和时各持己见，可以看到以上这个环节，学生展开了积极的交流，交流是学生之间相互学习、相互提高、思维相互碰撞的过程，尽管交流中发现学生的想法有错误，还没有讨论出最正确的结果，但教师始终在保持“沉默”，好一个“无声胜有声”，这样的教学等待是我们教师应该提供给学生的．教师甘心沉默才会有后来学生的精彩发言．这样的“沉默”还有好几处，比如到最后教师要引导学生总结了，还是发现有学生要补充发言，而且，通过最后那位学生精彩的发言中，我们能够想象这一组同学当时是多么地情不自禁啊！同时我真担心执教教师在这个环节得出进行总结，得出结论有些操之过急了，会把这个难得的精彩扼杀了．但是，该教师“火候”把握得很到位，欲擒故纵，又一次让学生抢了发言权，甘心“沉默”．看来在课堂教学中，全面的信息反馈、给学生充分发表自己意见的机会是非常重要的，这也充分的说明此节课为高效的课堂，有深度和广度的课堂．
3．功夫扎实
教学应该是一门艺术，而教学的艺术在于教师个性化的教学功力、在于细节的处理、在于应变的机智、在于美的升华，在于给学生充分的学习、思考、交流的时间．荣彬老师已经表现出扎实基本功．特别值得称道的是他的激情，不仅感染了学生，也感染了听他课的每一位老师．
课件14张PPT。多边形的内角和与外角和北师大版数学教材八年级下册第六章第4节第1课时 同学们，就像一份快乐，如果两人分享就会得到更多的快乐一样，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能变的更大、更多，你们相信吗？一、实践探索，去伪存真 每个组的资料盒里都准备了一些长方形的卡纸，请取出一张，任意的剪掉一个角，可以有几种不同的剪法，剪出可能的图形，并思考以下问题：
1.剪出的图形内角和是多少？
2.你是怎么计算的？
3.结果比原来的长方形内角和增加还是减少了？ 到底任意形状的四边形、五边形等这些多边形的内角和是多少呢？随着边数的变化，内角和的变化有无规律，这是本节课需要重点研究的内容。 请大家回忆一下，可以用哪些方法验证三角形的内角和定理呢？请把想到的方法写在学案上。二、典例回顾，类比方法 将新问题转化为旧知识，用旧知识解决新问题，这种想法是数学上一种非常重要的思想
——转化的思想 对于正方形、长方形、平行四边形、梯形等特殊的四边形我们已经能求得其内角和为360°，但毕竟他们都是特殊的四边形，那对于任意的四边形，能否通过转化求出内角和？三、问题探究，初步解疑 请每个同学都任意画一个四边形，尝试用转化的方法，从不同的角度思考求出它的内角和，做好交流准备。 同学们通过不同角度的思考，充分的证明了四边形内角和为360°，那么五边形、六边形、七边形，甚至n边形的内角和又是多少度呢？请大家运用自己学到的办法，填写表格，在学案相应位置归纳出你的结论。四、深入探究，概括公式五、牛刀小试，问题解决1.试求20边形的内角和。
2.已知一个多边形的每一个内角都是156°，
试求它的边数。
3. 把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的
多边形内角和是多少度？六、归纳总结，形成体系请同学分享一下学完这节课的收获、感受 通过对多边形内角和的研究，不仅学会了转化的方法，而且还能创造地运用以前学过的知识解决新的问题，同时也证实了的确有的事物去掉一部分，反而会变得更大、更多，要有舍才有得！
希望同学们把本节课学到的知识、方法以及数学思想带到生活中去，用数学创造更美好的生活！七、作业布置，巩固提高 （1）已知用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，请用本节课的知识说明理由。
（2）请探究，除了四边形以外，哪些正多边形纸板还可以拼成无空隙的纸板？在下节课的时候分享你的研究成果。
