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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.2平行线分线段成比例
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（本题6分）如图， 在△ABC中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题6分）如图，若，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题6分）如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ．
7．（本题6分）如图，已知，，如果，那么 ．
8．（本题6分）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ．
9．（本题6分）如图，直线，已知，，， ．
10．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，交于点，已知，，，则的周长为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）阅读与思考
下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在中，是斜边上的中线．求证：．解题思路：如图2，延长到点，使，连接四边形是平行四边形（依据：___________）四边形是矩形矩形的对角线相等结论．我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路．已知：如图3，在中，，是斜边上的中线．求证：证明：过点作边的垂线，垂足为．．．．．．．
任务：
(1)解题思路中“依据”处应填___________：利用尺规在图4中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)补全小颖的证明过程
(3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
12．（本题8分）如图，在△ABC中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长．
13．（本题8分）如图，已知，．
(1)若，，．求的长；
(2)求证：．
14．（本题8分）如图，已知，、交于点，且．求证：
(1)；
(2)．
15．（本题8分）综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是_________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.2平行线分线段成比例
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
即，
∴．
故选：C
2．（本题6分）如图， 在△ABC中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
故选项B正确，符合题意；
∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
∵
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．（本题6分）如图，若，则下列各式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，
∴，，，，
∴错误的是选项D；
故选D．
4．（本题6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．（本题6分）如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7．（本题6分）如图，已知，，如果，那么 ．
解：，
，
，
又，
解得：，
故答案为：．
8．（本题6分）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ．
解：菱形中，对角线，相交于点，
，，，
，
∴，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
9．（本题6分）如图，直线，已知，，， ．
解：，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
10．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，交于点，已知，，，则的周长为 ．
解：在△ABC中，，，，则，，，
，即是直角三角形，且，
在平行四边形中，对角线与相交于点，
，
，
由平行线分线段成比例可知，即，
在中，是斜边上的中线，则，
的周长为，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）阅读与思考
下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在中，是斜边上的中线．求证：．解题思路：如图2，延长到点，使，连接四边形是平行四边形（依据：___________）四边形是矩形矩形的对角线相等结论．我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路．已知：如图3，在中，，是斜边上的中线．求证：证明：过点作边的垂线，垂足为．．．．．．．
任务：
(1)解题思路中“依据”处应填___________：利用尺规在图4中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)补全小颖的证明过程
(3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）解：如图，
∵是斜边上的中线，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
补全图形，如下：
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）证明：过点作边的垂线，垂足为D．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵是斜边上的中线，
∴．
∴．
∴D是边的中点，即是的垂直平分线．
∴．
∴；
（3）解：如解图，延长到点F，使，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12．（本题8分）如图，在△ABC中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长．
解：是边上的高线，
，，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
．
13．（本题8分）如图，已知，．
(1)若，，．求的长；
(2)求证：．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（本题8分）如图，已知，、交于点，且．求证：
(1)；
(2)．
（1）证明：∵，
∴，
∵
∴
∴．
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
15．（本题8分）综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是_________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．
解：（1）；
理由：菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
即；
故答案为：；
（2）如图，连接．
四边形是菱形，
，．
，
是等边三角形．
．
，
．
．
在和中，
，，，
．
，．
由旋转的性质，得．
．
．
，
，．
．
．
在和中，
，，，
．
．
，
即．
（3）的长为或．
解：连接交于点．
由（2）可知△ABC是等边三角形，，
．
四边形是菱形，
，，．
．
．
．
，，
．
．
分两种情况：
①当点在线段上时，如图．
．
由（1）可知．
．
由（2）可知，
．
．
．
②当点在线段上时，如图．
．
由（1）可知．
．
由（2）可知，
．
．
．
综上，的长为或．
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