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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.3相似多边形
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（本题6分）下列各组图形中，一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（本题6分）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
4．（本题6分）如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题6分）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
7．（本题6分）如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ．
8．（本题6分）若两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为 ．
9．（本题6分）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ．
10．（本题6分）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，已知四边形四边形，求，和．
12．（本题8分）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．
13．（本题8分）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
14．（本题8分）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等）
(1)求的长度：
(2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由．
15．（本题8分）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．
(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.3相似多边形
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．（本题6分）下列各组图形中，一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①两个矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
②两个正方形，对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形；
③两个等腰三角形，对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形；
④两个等边三角形，对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形；
⑤两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形；
⑥四个角对应相等的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，不一定是相似图形；
⑦有一个角为的两个菱形，边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形；
∴有3个相似图形．
故选：C．
3．（本题6分）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
解：∵矩形∽矩形，
∴即，
∴，
∴，
故选：B．
4．（本题6分）如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可知：矩形矩形，
，
，
，
整理得：，
，
解得：或(负值，舍去)，故选：B．
5．（本题6分）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵四边形四边形，相似比为k，
∴，，，
∴，
综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确，
故选：D
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
解:两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
7．（本题6分）如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ．
解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴，
∴AE AD＝AB2=1，即AD2＝1，
解得，AD＝，
故答案为：．
8．（本题6分）若两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为 ．
解：∵两个相似四边形的相似比是，
∴这两个相似四边形的周长比是，
又∵较小四边形的周长为6，
∴较大四边形的周长为，
故答案为：12．
9．（本题6分）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ．
解：四边形是矩形，
，
，分别为，两边的中点，
，
两个矩形与原矩形相似，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（本题6分）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
解：设，
∵四边形是一张矩形纸片，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，已知四边形四边形，求，和．
解：∵四边形四边形，
∴，，，，，
∴，
∵，，，，，，
∴，
解得：，．
12．（本题8分）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．
解：，
，
．
，，
，
则．
13．（本题8分）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，
∴、纸的长与宽对应比成比例，得，
∴；
（2）∵纸的周长为286厘米，；
∴纸的周长．
14．（本题8分）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等）
(1)求的长度：
(2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由．
（1）解：∵四边形是矩形
∴厘米，厘米，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
解得或9，
经检验，或9符合题意，
∴的长度为4或9；
（2）解：设，，
∵矩形矩形
∴
∴
整理得，
根据题意得，
∴
∴（负值舍去）
原矩形的长与宽的比值k的取值范围为．
15．（本题8分）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．
(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
（1）解：设矩形①的长为，宽为．
矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，
矩形②的长为，宽为，
由图可知，，，
解得，，
矩形①的面积为；
（2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，
正方形的边长为，
设，，
，，
，
整理可得，
解得， 负数舍去，
，
小直角三角形的周长是．
每个小三角形的实际周长为．
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