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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.4探索三角形相似的条件 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，，，，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．B．C．D．
解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与△ABC不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与△ABC相似，故选项D不符合题意；
故选C．
2．（本题6分）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与△ABC相似的是（ ）
A．B．C． D．
解：由题意，，，
，
选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．故选：A．
3．（本题6分）如图，点在△ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意；
B、当且，故，此选项正确，但不符合题意；
C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意；
D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意．
故选：C．
4．（本题6分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；
C、两条边对应成比例且有一个夹角相等的两个三角形相似，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
5．（本题6分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．C．D．
解：在三角形纸片中，，，．
A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
故选：A．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图， 已知点D、E分别在△ABC的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”）
解：∵，不能判断，
∴不能得到，
故答案为：不能．
7．（本题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）．
解：△ABC和中，，
若，则需要增加的一个条件是：或或，
故答案为：（答案不唯一）．
8．（本题6分）如图，△ABC中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ．
解：∵，
∴，即，
∴当或或时，．
故答案为：或或
9．（本题6分）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到△AOB与相似的概率为 ．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，而不一定等于，
∴△AOB与不一定相似；
∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到△AOB与相似的概率为；
故答案为：
10．（本题6分）如图，点分别在△ABC的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号）
解：∵，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意；
由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与相似，故③⑤不符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且．
(1)求证：
(2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________．
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，即，
当时，
；
或当时，
；
或当时，
∴，
故答案为：或或
12．（本题8分）如图，△ABC中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
证明：选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
13．（本题8分）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：．
证明：选择①
∵，
∴，
∵，
∴．
或选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
14．（本题8分）如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，．
(2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论．
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴，
，
∴，
解得：；
（2）解：在中，
∵，QA边上的高，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变；
（3）解：在矩形中，
，
分两种情况：
当时，即，
解得：（秒）；
当时，即，
解得：（秒）．
故当经过秒或3秒时，与△ABC相似．
15．（本题8分）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）
求证：．
解：选择条件①的证明为：
∵，
∴，
又∵，
∴；
选择条件②的证明为：
∵，
∴．
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§4.4探索三角形相似的条件 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，，，，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．B．C．D．
2.（本题6分）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与△ABC相似的是（）
A．B．C． D．
3．（本题6分）如图，点在△ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
5．（本题6分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图， 已知点D、E分别在△ABC的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”）
7．（本题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）．
8．（本题6分）如图，△ABC中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ．
9．（本题6分）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ．
10．（本题6分）如图，点分别在△ABC的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使△ADE与一定相似的有 ．（填序号）
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且．
(1)求证：
(2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________．
12．（本题8分）如图，△ABC中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
13．（本题8分）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：．
14．（本题8分）如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，．
(2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论．
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
15．（本题8分）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）
求证：．
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