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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.4探索三角形相似的条件 （1）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，，，．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意．
故选：D．
2．（本题6分）在△ABC中，，，平分，则与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∵△ABC是锐角三角形，
∴△ABC和不相似，
故A不符合题意；
∵平分
∴，
又∵，
∴，故B符合题意；
∵平分，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∵△ABC是锐角三角形，
∴△ABC和不相似，
故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，
∴△ABC和不相似，
故D不符合题意．
故选：B．
3．（本题6分）如图，D是△ABC边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A．△BFA B． C．△BEC D．
解：是的平分线，
，
即：，
又，
，
，
且依据已知条件，无法证明△BFA、△BEC、与△BDF相似，
故选：．
4．（本题6分）如图，在△ABC中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵于点，于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，∴，
∴图中与相似（不含）的三角形有个，
故选：C．
5．（本题6分）如图，在△ABC中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确
C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故甲同学说法正确；
若，
∵，
∴，
∴，故乙同学说法正确；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中点，故丙同学说法正确；
综上，三个同学说法都正确，
故选：．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，△ABC中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使．
解：在△ABC和中，，
是的一个外角，
，
即，且，
，
当时，；或当时，；或当时，；
故答案为：（或或或）（答案不唯一）．
7．（本题6分）如图，在△ABC中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ．
解：在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与相似的三角形是，
故答案为：．
8．（本题6分）如图，△ABC的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
解：∵△ABC的高相交于点O，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
9．（本题6分）如图，在△ABC中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个）
解：①两角对应相等的两个三角形相似：
，
当时，；
当时，；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似：
，
当时，；
综上所述，添加或或，使得，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（本题6分）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处；
(1)求证：；
(2)若是中点，求的值．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴∵∠B=90 ，，
设，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得：，
在中，，
∴．
12．（本题8分）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．
证明：四边形是矩形，
，
．
矩形纸片沿折叠得到，且点在上，
，
，
，
．
13．（本题8分）如图，在△ABC中，，，是△ABC内一点，且．求证：．
证明：，，
．
即．
，
．
．
，
．
14．（本题8分）如图，在△ABC中和中，，，，△ABC和相似吗？为什么？
解：△ABC和相似，理由如下：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
15．（本题8分）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．
(1)求证：；
(2)求的长度．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
由（1）知，
，即，
则，整理得，
，
解得，（不合题意，舍去），
的长度为．
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§4.4探索三角形相似的条件 （1）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，，，．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题6分）在△ABC中，，，平分，则与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题6分）如图，D是△ABC边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A．△BFA B． C．△BEC D．
4．（本题6分）如图，在△ABC中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（本题6分）如图，在△ABC中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确
C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，△ABC中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使．
7．（本题6分）如图，在△ABC中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ．
8．（本题6分）如图，△ABC的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
9．（本题6分）如图，在△ABC中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个）
10．（本题6分）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处；
(1)求证：；
(2)若是中点，求的值．
12．（本题8分）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．
13．（本题8分）如图，在△ABC中，，，是△ABC内一点，且．求证：．
14．（本题8分）如图，在△ABC中和中，，，，△ABC和相似吗？为什么？
15．（本题8分）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．
(1)求证：；
(2)求的长度．
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