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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（ ）
A． B．2a C． D．4a-1
2．（本题6分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（ ）
A．和之间 B． 和之间
C．和之间 D． 和之间
3．（本题6分）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（ ）
A． B． C． D．或
4．（本题6分）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题6分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）主持人现站在舞台的一端处，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点点处方可获得最佳美学效果（），若舞台长米，则 米．（别忽视括号内的条件哟！）
7．（本题6分）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）．
8．（本题6分）已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ．
9．（本题6分）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ．
10．（本题6分）定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值．
12．（本题8分）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
13．（本题8分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
14．（本题8分）（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
15．（本题8分）我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？
我们通过如下作图来达到要求：
（1）过点作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（ ）
A． B．2a C． D．4a-1
解：设相邻下一圈螺纹的直径为x，
根据题意得：
．
故选：C．
2．（本题6分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（ ）
A．和之间 B． 和之间
C．和之间 D． 和之间
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（本题6分）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（ ）
A． B． C． D．或
解：∵线段，且点C是的黄金分割点，
∴当时，，
当时， ，
故选D．
4．（本题6分）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵线段，点C是线段的黄金分割点（），
∴，
∴，
故选：C．
5．（本题6分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
解：设，
四边形是正方形，
，
∴．
由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足，
∴
．
经检验：是原方程的根，
．
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）主持人现站在舞台的一端处，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点点处方可获得最佳美学效果（），若舞台长米，则 米．（别忽视括号内的条件哟！）
解：∵点是舞台的黄金分割点（），米，
∴依题意得，，
解得．
故答案为：．
7．（本题6分）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）．
解：由题知，
因为点B为的黄金分割点，
所以．
因为，
所以，
所以
故答案为：．
8．（本题6分）已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ．
解：点是线段的黄金分割点，
，
设，
则，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
故答案为：．
9．（本题6分）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ．
解：由题意得：四边形为正方形，
设，
∵点E是线段的黄金分割点，且，
∴，，
∴
故答案为：．
10．（本题6分）定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．
解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值．
解：点是线段的黄金分割点，，
，
线段的黄金比的值为．
12．（本题8分）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
解：是，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形 ，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点F是的黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
即，
∴矩形是黄金矩形．
13．（本题8分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
14．（本题8分）（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
解：（1）∵是的比例中项，
∴
∴，
∴为或；
（2）∵是的黄金分割点，且，，
∴
15．（本题8分）我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？
我们通过如下作图来达到要求：
（1）过点作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理．
解：设，则，设，即，，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
即，
化简得，
∴，（舍去），
∴ 即 ，
∴所以点为黄金分割点．
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