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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.5相似三角形判定定理的证明
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
2．（本题6分）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解和是两个全等的等腰直角三角形
，
，，
，，，
共有对．
故选：C．
3．（本题6分）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．（本题6分）如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解由图中各正方形的边长均为，根据勾股定理，可得出:
①图中阴影三角形的边长分别为：，，；
②图中阴影三角形的边长分别为：，，；
③图中阴影三角形的边长分别为：，，；
④图中阴影三角形的边长分别为：，，；
可以得出①②两个阴影三角形的边长比，
图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
5．（本题6分）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组．
①； ②； ③；④．
A． B． C． D．
解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，
故选C．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对．
解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴图中相似三角形有4对．
故答案为：4．
7．（本题6分）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对．
解：∵，
∴①．
又∵，
∴②，
∴③．
由平行四边形的性质可得④，
共有4对相似三角形．
故答案为：4．
8．（本题6分）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ．
解∵是斜边上的高，于点，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴图中与相似的三角形有个．
故答案为：．
9．（本题6分）如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对．
解:图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
10．（本题6分）如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是 ．
解: 利用两角法进行相似的判定可添加: ∠ADC=∠ABD; ∠C=∠ADB;
利用两边及其夹角法判定可添加:;
故答案为: 或或.
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
（1）解：证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．（本题8分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，
证明：△ACP∽△APD．
解∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠PAD=∠CAP，∠APD=∠C=60°，
∴△ACP∽△APD．
13．（本题8分）如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
解⑴∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，
∴AB=8，AC=10，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
⑵ ∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵BC=9，
∴DE=4.5.
14．（本题8分）学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
（1）证明：BD⊥AC，CE⊥AB ∠ADB=∠AEC=90°和∠A=∠A △ABD∽△ACE AD：AE=AB：AC AE AB =AD AC；
（2）解方程x2－8x＋15=0得
x1=3，x2=5
∵AB> AD
∴AB=5，AD=3，
∴sin∠ABD=，
由(1)知∠ACE= ∠ABD，
∴sin∠ACE=.
15．（本题8分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
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§4.5相似三角形判定定理的证明
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
2．（本题6分）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．（本题6分）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．（本题6分）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组．
①； ②； ③；④．
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对．
7．（本题6分）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对．
8．（本题6分）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ．
9．（本题6分）如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对．
10．（本题6分）如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
12．（本题8分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，
证明：△ACP∽△APD．
13．（本题8分）如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
14．（本题8分）学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
15．（本题8分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
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