21.4 二次函数的应用 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 21.4 二次函数的应用 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-13 11:41:12 | ||
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文档简介
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21.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2024九下·江阴模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件）
1 9 16
2 8 14
3 7 12
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
2．（2024九上·汉阳期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·顺平期中）某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元
4．（2023九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
5．（2024九下·嘉禾期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·定州模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·金安期中）某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
8．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
9．（2018九上·绍兴期中）已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
10．（2020九上·霸州期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 从点 出发，沿抛物线向点 匀速运动，到达点 停止，设运动时间为 秒，当 和 时， 的值相等．有下列结论：① 时， 的值最大；② 时，点 停止运动；③当 和 时， 的值不相等；④ 时， ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．（2023九上·招远期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ．
12．（2023九上·平邑月考）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元．当定价为 元能获得最大利润．
13．（2024九上·济宁月考）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m．
14．（2021九上·雄县）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）日销售的最大利润为 元．
15．（2023·平凉模拟） 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是
16．（2023九上·上虞月考）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是 ．
（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是 ．
三、计算题
17．（2025·罗湖模拟）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
（1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18．（2023九上·新会期中）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．
19．（2024九上·大安期中）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
20．（2024九上·黑龙江期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
21．（2023九上·杭州月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）水流喷出的最大高度是多少？
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
22．（2025九上·门头沟期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2， 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
23．（2024九下·凉州期中）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）如图（2），若是线段上的一个动点与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】（1）
（2）2450
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
17．【答案】（1）
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米
（2）时，取最小值为15平方厘米
【知识点】二次函数-动态几何问题
21．【答案】（1）
（2）当米时，水流不落在池外
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1）.
（2）
（3）①
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
21.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2024九下·江阴模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件）
1 9 16
2 8 14
3 7 12
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
2．（2024九上·汉阳期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·顺平期中）某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元
4．（2023九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
5．（2024九下·嘉禾期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·定州模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·金安期中）某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
8．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
9．（2018九上·绍兴期中）已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
10．（2020九上·霸州期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 从点 出发，沿抛物线向点 匀速运动，到达点 停止，设运动时间为 秒，当 和 时， 的值相等．有下列结论：① 时， 的值最大；② 时，点 停止运动；③当 和 时， 的值不相等；④ 时， ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．（2023九上·招远期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ．
12．（2023九上·平邑月考）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元．当定价为 元能获得最大利润．
13．（2024九上·济宁月考）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m．
14．（2021九上·雄县）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）日销售的最大利润为 元．
15．（2023·平凉模拟） 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是
16．（2023九上·上虞月考）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是 ．
（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是 ．
三、计算题
17．（2025·罗湖模拟）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
（1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18．（2023九上·新会期中）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．
19．（2024九上·大安期中）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
20．（2024九上·黑龙江期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
21．（2023九上·杭州月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）水流喷出的最大高度是多少？
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
22．（2025九上·门头沟期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2， 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
23．（2024九下·凉州期中）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）如图（2），若是线段上的一个动点与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】（1）
（2）2450
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
17．【答案】（1）
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米
（2）时，取最小值为15平方厘米
【知识点】二次函数-动态几何问题
21．【答案】（1）
（2）当米时，水流不落在池外
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1）.
（2）
（3）①
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
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21.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2024九下·江阴模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件）
1 9 16
2 8 14
3 7 12
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
2．（2024九上·汉阳期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·顺平期中）某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元
4．（2023九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
5．（2024九下·嘉禾期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·定州模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·金安期中）某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
8．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
9．（2018九上·绍兴期中）已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
10．（2020九上·霸州期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 从点 出发，沿抛物线向点 匀速运动，到达点 停止，设运动时间为 秒，当 和 时， 的值相等．有下列结论：① 时， 的值最大；② 时，点 停止运动；③当 和 时， 的值不相等；④ 时， ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．（2023九上·招远期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ．
12．（2023九上·平邑月考）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元．当定价为 元能获得最大利润．
13．（2024九上·济宁月考）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m．
14．（2021九上·雄县）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）日销售的最大利润为 元．
15．（2023·平凉模拟） 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是
16．（2023九上·上虞月考）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是 ．
（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是 ．
三、计算题
17．（2025·罗湖模拟）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
（1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18．（2023九上·新会期中）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．
19．（2024九上·大安期中）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
20．（2024九上·黑龙江期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
21．（2023九上·杭州月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）水流喷出的最大高度是多少？
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
22．（2025九上·门头沟期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2， 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
23．（2024九下·凉州期中）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）如图（2），若是线段上的一个动点与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】（1）
（2）2450
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
17．【答案】（1）
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米
（2）时，取最小值为15平方厘米
【知识点】二次函数-动态几何问题
21．【答案】（1）
（2）当米时，水流不落在池外
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1）.
（2）
（3）①
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
21.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2024九下·江阴模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件）
1 9 16
2 8 14
3 7 12
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
2．（2024九上·汉阳期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·顺平期中）某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元
4．（2023九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
5．（2024九下·嘉禾期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·定州模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·金安期中）某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
8．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
9．（2018九上·绍兴期中）已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）
A． B． C． D．
10．（2020九上·霸州期末）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 从点 出发，沿抛物线向点 匀速运动，到达点 停止，设运动时间为 秒，当 和 时， 的值相等．有下列结论：① 时， 的值最大；② 时，点 停止运动；③当 和 时， 的值不相等；④ 时， ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．（2023九上·招远期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ．
12．（2023九上·平邑月考）某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元．当定价为 元能获得最大利润．
13．（2024九上·济宁月考）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m．
14．（2021九上·雄县）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）日销售的最大利润为 元．
15．（2023·平凉模拟） 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是
16．（2023九上·上虞月考）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是 ．
（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是 ．
三、计算题
17．（2025·罗湖模拟）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
（1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18．（2023九上·新会期中）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．
19．（2024九上·大安期中）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
20．（2024九上·黑龙江期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
21．（2023九上·杭州月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
（1）水流喷出的最大高度是多少？
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
22．（2025九上·门头沟期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2， 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
23．（2024九下·凉州期中）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）如图（2），若是线段上的一个动点与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】（1）
（2）2450
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
17．【答案】（1）
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米
（2）时，取最小值为15平方厘米
【知识点】二次函数-动态几何问题
21．【答案】（1）
（2）当米时，水流不落在池外
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1）.
（2）
（3）①
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
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