阶段性测试题 一元二次方程及其解法（含答案）

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阶段性测试题
一元二次方程及其解法
[时间：45分钟 分值：100分]
一、选择题（每题4分，共28分）
1.已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A.4,1,6 B.4,6,1 C.4,-6,1 D.4,-6,-1
3.一元二次方程配方后可变形为（ ）
4.眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
5.解方程，最合适的方法是（ ）
A.配方法 B.因式分解法 C.公式法 D.直接开平方法
6.欧几里得的《几何原本》记载，形如的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC,使，，，再在斜边AB上截取，连接CD，则该方程的一个正根是 （ ）
A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
7.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程m=0的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）
二、填空题（每题4分，共16分）
8.把一元二次方程化成的形式，则的值为_____________。
9.若，，则的值等于____________。
10.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为_____________。
11.已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有____________个。
三、解答题（共56分）
12.（8分）设a,b,c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程：
(1),且;
(2)
13.(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
14.(10分)已知关于x的一元二次方程
(1)当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值，并求此时方程的根。
15.(12分)解方程(时，我们可以将看成一个整体，然后设，
则原方程可化为，①
解得,
当时，
当时，,
∴原方程的根为，，,
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上方法解下列方程：
16.(14分)已知x ,x 是关于x的一元二次方程的两个实数根。
(1)若x ,x 恰好是矩形的两邻边长，且m=3,求该矩形的周长和面积；
(2)若2x ,2x 恰好是边长为6的菱形的两条对角线的长，则m的值为_____________；
(3)若等腰三角形ABC的一边长为7,且x ,x 恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长。
参考答案
一、1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B
7.C 【点拨】设x ,x 是关于x的一元二次方程m=0的两个实数根，则菱形的两条对角线的长分别为x ,,根据菱形的面积可得，菱形的对角线互相垂直平分，∴易得菱形的边长为
二、8. 9
9.19 【点拨】,,,b是关于一元二次方程的两个实数根.∴.
【点拨】，∵原方程化为一般形式后为，解得，
11.5 【点拨】的根都是整数，
∴①当a=1时，原方程为2x=2=0,解得x=1;
②当a≠1时，原方程可整理为[(a=1)x+a+1](x=1)=0;则x-1=0或(a-1)x+a+1=0,解得x=1或，易知x=1是方程的整数根，要使为整数，则1=a=±1或1-a=±2,解得：a=0,a=2,a==1或a=3,综上，符合条件的整数a有1,0,2,-1,3,共5个。
三、12.【解】(1)设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0),则3k+4k+5k=12,解得k=1,
∴a=3,b=4,c=5.∴该一元二次方程为
(2)由题意得a=2,b=4,c=5,∴该一元二次方程为
13.【解】(1)，变形，得，即，
,解得，，
(2),
因式分解，得(x-2)(x-2+x)=0,即(x-2)(2x-2)=0,
∴x-2=0或2x-2=0,解得，，
(3)原方程可化为，b=2，c=-3，
,
,
14.【解】(1)由题意得a≠0,
,∴方程有两个不相等的实数根。
(2)（答案不唯一）∵方程有两个相等的实数根，
若b=2,a=1,则方程为，解得，
15.【解】(1)换元
(2)①设x =t，则原方程可化为t -t-6=0,解得,
当t=3时，,
当t=-2时，（舍去）。
∴原方程的根为,
②设,则原方程可化为,解得，，
当y=4时，，,∴;
当y=5时，，，，
古原方程的根为，，，，
16.【解】(1)∵,∴原方程可化为，
,∴该矩形的周长，面积.
(2)3 【点拨】由题易知，，
∵2x ,2x2是边长为6的菱形的两条对角线的长，
∴易得,
解得,
由题意可知，，，，，
(3)①当7为底边长时，方程的两根为腰长，由题意知△=0,解得m=2，代入原方程可解得
∵3+3＜7，∴不能构成三角形，故舍去；
②当7为腰长时，x=7是方程的一个根，把x=7代入方程，得，整理得0,解得m =10,m =4,
当m=10时，，
,而7+7＜15，不能构成三角形，故舍去；
当m=4时，，，
易知能构成三角形，则三角形的周长为.
综上，这个三角形的周长为17,
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