21.2.2.1 一元二次方程根的判别式 同步练习（含答案）

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第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
基础提优题
1.一元二次方程 根的情况为 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.不能确定
2.下列所给方程中，没有实数根的是 （ ）
3.小华和小麦对关于x的一元二次方程 展开讨论，小华：若c=0，则此方程一定有实数根；小麦：若a,c异号，则此方程一定有实数根。下列判断正确的是 （ ）
A.小华正确，小麦错误 B.小华错误，小麦正确
C.小华，小麦都正确 D.小华，小麦都错误
4.已知关于x的方程 有两个相等的实数根，若a,b,c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是 （ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.若关于x的一元二次方程 4x+2a=0有实数根，则a的值可以是__________（写出一个即可）。
6.常数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程 c=0根的情况是__________。
7.不解方程，判断下列方程根的情况。
(1) (2)
综合应用题
8.在平面直角坐标系中，若直线y= 不经过第四象限，则关于x的一元二次方程 的实数根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
9.定义运算：对于任意实数a,b，有a★b= ab+1.例如：4★3=4×3+1=13.若关于x的方程x★(mx+2)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 （ ）
10.已知关于x的一元二次方程 a+1=0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是 （ ）
A.1一定不是关于x的方程 的根
B.0一定不是关于x的方程 的根
C.1和-1都是关于x的方程 的根
D.1和-1 不都是关于x 的方程 a=0的根
11.已知关于x的方程 有两个实数根，则 的化简结果是 （ ）
12.已知关于x的方程 2b）x+1=0有两个相等的实数根。若在直角坐标系中，点P在直线l 上，点 在直线l的下方且与直线l平行的直线上，则PQ长度的最小值为___________。
13.如图，有一块矩形菜地ABCD,AB=a m,AD=bm,面积为s m ,现将边AB增加 1m ,边AD增加2m，有且只有一个 a的值使得到的矩形面积为 3sm ,则s的值是___________。
14.已知一元二次方程 c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①b=2,c=1; ②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
15. 已知 ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？并求出此时菱形ABCD的边长。
(2)若AB的长为2,则□ABCD的周长是多少？
16.已知关于x的一元二次方程 n+1=0有两个不相等的实数根。
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值。
创新拓展题
17.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE= ,这时我们把关于x的形如 b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax + 必有实数根；
(2)若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是 ，，求ab的值。
参考答案
1. A 2. D
3. C 【点拨】小华：当c=0时， ，所以此方程一定有实数根；
小麦：若a,c异号，则。 ，所以此方程一定有实数根。
所以小华，小麦都正确。故选C.
4. B 5.2（答案不唯一） 6.有两个不相等的实数根
7.【解】(1)原方程可化为 ，,
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可化为 ，
∴原方程无实数根。
8. A
9. C 【点拨】由题意得x★(mx+2)=x(mx+2)+1=0,整理，得 ∵关于x的方程x★(mx+2)=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且 1=4-4m>0,解得m<1且m≠0,故选C.
10. D 【点拨】∵关于x的一元二次方程( a+1=0有两个相等的实数根,∴a+1≠0且。 ， 或b=-(a+1).当b=a+1时，有a-b+1=0,此时-1是方程。x + bx+a=0的根；当b=-(a+1)时，有a+b+1=0,此时1是方程。 的根。∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程。 的根。
11. A 【点拨】∵关于x的方程 有两个实数根，。 8≥0.∴k≤1. ∴k-1≤0,2-k>0. ∴
【点拨】∵关于x的方程 有两个相等的实数根， , 2b=2或a+2b=-2.∴点 可转化为Q(1-b,b)或Q（-1-b,b）.∴易知点Q所在的直线为y=-x+1或y=-x-1.∵点 在直线 的下方且与直线平行的直线上，∴点Q在直线y=-x-1上。如图，当P,O,Q共线，且PQ⊥AB时,PQ 长度有最小值，为两直线间的距离。∵易得 , ,∴PQ长度的最小值为
【点拨】由题意得， ∵边AB增加 1m ,边AD增加2m,得到的矩形面积为3sm ,∴(a+1)(b+2)= ,整理，得 ·有且只有一个a的值使得到的矩形面积为3s m ,∴△=0,即( 1=0,解得 （不合题意，舍去）或
14.【解】要使方程 有两个不相等的实数根，则 ，即b >4c,∴②③均可。
若选②解方程，则这个方程为 ，
移项，得 ，
配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
,
若选③解方程，则这个方程为。 ，
移项，得 ，
配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
, （选择其中一组即可）
15.【解】(1)∵□ABCD是菱形,∴AB=AD.
,解得
∴当m=1时, ABCD是菱形。
当m=1时，原方程为 ，解得
∴菱形ABCD的边长为
(2)把x=2代入 ，得 2m-1=0,解得 把 代入原方程，得 10x+4=0,解得 ， 四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD的周长为
16.【解】(1)∵关于x的一元二次方程 1=0有两个不相等的实数根，
,解得n>1.
(2)由题意，知n=2,∴方程为
即 ,
即 ，解得x=m+1或x=m-1.
又∵该方程的较大根是较小根的5倍，
17.(1)【证明】由题意知 ， ，
∴关于x的“勾系一元二次方程 必有实数根。
(2)【解】当x=-1时，有 ，即
∵四边形ACDE的周长是12
,
∴. ∴.
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